Matematik

Ellipse

Ellipse
Rajah 1. Kaedah tukang kebun untuk melukis elips. Jumlah jarak antara titik P elips (merah) dan lampu sorot (dalam warna hitam), tetap berterusan. Sumber: AG2GAEH, CC BY-SA 4.0, melalui Wikimedia Commons.

Apa itu elips?

Ellipse adalah satu set titik koordinat (x, y), yang mana jumlah jarak ke dua titik tetap, yang dipanggil Focos, ia tetap. Sebaliknya, lampu sorot dipisahkan antara satu sama lain jarak yang sama dengan 2c.

Elips ditemui di alam semula jadi. Sebagai contoh, ia berada di pergerakan bumi di sekitar matahari, kerana seperti yang ditunjukkan oleh astronomi Jerman.

Di samping itu, bentuk elips ditemui dalam reka bentuk pembinaan seni bina, adalah sebahagian daripada rawatan perubatan untuk memusnahkan pengiraan buah pinggang dan berfungsi untuk membentuk pelbagai objek seperti tangki dan bekas lain.

Pada angka atas elips ditunjukkan dengan dua lampu sorotnya, terletak sama dari pusat angka dan pada paksi terpanjang. Keadaan bahawa titik P mesti bertemu untuk menjadi milik elips adalah bahawa jumlah jarak ke setiap tumpuan ditetapkan:

d1 + d2 = malar.

Oleh itu, apabila tukang kebun mahu. Kemudian ambil tali saiz yang baik, mengikat hujungnya ke kepentingan, dan menyokong tongkat di atas tali di atasnya untuk menandakan alur elips di bumi lembut. Ini adalah Kaedah tukang kebun Untuk menarik elips.

Elipse Elements

Unsur utama elips

Ini adalah elemen utama elips:

  1. Focos, titik tetap terletak pada paksi terpanjang elips.
  2. Simpang, Mereka adalah dua titik elips di mana garis berlalu yang menyertai lampu sorot.
  3. Paksi utama, Ia adalah tali yang bergabung dengan simpang dan juga mengandungi lampu sorot.
  4. Pusat, Titik tengah paksi utama, yang sepadan dengan titik koordinat (H, K). Setiap tumpuan adalah sama dari pusat dan jauh c yang sama.
  5. Paksi kecil, Ia adalah tali yang melewati pusat dan berserenjang dengan paksi utama.
  6. Radio vektor, segmen yang menyatukan setiap fokus dengan P dari elips.
  7. Focal Axis, lurus di mana lampu sorot.
  8. Jarak fokus, Ia adalah jarak antara lampu sorot, dilambangkan sebagai 2c.
  9. Paksi sekunder, paksi tegak lurus dengan paksi utama, yang pada masa yang sama meditrix segmen yang mengikat lampu sorot.
  10. Pusat Simetri, Titik bertepatan dengan pusat elips, di mana paksi simetri yang sama diseberang.
  11. Paksi simetri, garis yang mengandungi paksi terbesar dan lebih kecil dari elips.
Boleh melayani anda: cukai

Jenis Ellipse

Terdapat dua jenis elips:

  • Mereka yang mempunyai paksi utama mendatar.
  • Mereka yang mempunyai paksi menegak terbesar.

Kemudian mereka digambarkan secara matematik:

Elips dengan paksi mendatar utama

Biarkan titik C koordinat (h, k) pusat elips, panjang paksi utama adalah 2a dan panjang paksi yang lebih kecil sama dengan 2b, dengan a> b.

Persamaan elips ini adalah:

Ellipse dengan paksi menegak utama

Dengan parameter yang sama elips dengan paksi mendatar, elips dengan paksi menegak utama ditulis sebagai:

Dalam kedua -dua kes, jarak dari fokus ke pusat c Ia berkaitan dengan sedimen utama dan kecil melalui:

c2 = a2 - b2

Contoh elips

Ellipse mendatar

Imej berikut menunjukkan elips yang paksi utama adalah mendatar. Pusat ini berada pada titik (0.0) dan lampu sorot dalam (-3.0) dan (3.0). Titik p (0, -4) yang diserlahkan milik elips.

Rajah 2.- Ellipse yang paksi utama adalah mendatar. Sumber: f. Zapata melalui geogebra.

Persamaan elips ini adalah:

16x2 + 25 dan2 = 400

Tidak sukar untuk menyatakan persamaan ini dalam bentuk kanonik, sudah cukup untuk membahagikan semua istilah antara 400 dan memudahkan dengan mudah (lihat latihan yang diselesaikan kemudian).

Ellipse menegak

Berikut adalah elips menegak, yang paksi utama bertepatan dengan paksi dan. Ia memberi tumpuan kepada titik (0.0) dan persamaannya adalah:

36x2 + 9y2 = 324

Rajah 3.- Elips dengan paksi menegak utama. Sumber: f. Zapata melalui geogebra.

Harta refleksi

Ia terdiri daripada yang berikut: Jika reflektor atau sumber bunyi diletakkan di salah satu lampu sorot elips, gelombang yang dipancarkan dicerminkan ke arah fokus yang lain. Ini adalah cara yang baik untuk mengalihkan gelombang di mana tenaga anda diperlukan.

Boleh melayani anda: endecagon

Itulah sebabnya di dewan elips, ketika seseorang bercakap berada di salah satu lampu sorot, pendengar yang terletak di fokus yang lain mendengarkan dengan jelas.

Dan dalam bidang perubatan, harta refleksi ini digunakan untuk memusnahkan batu ginjal dengan meletakkan pesakit di salah satu lampu sorot tab elips yang penuh dengan air, sementara penjana gelombang ultrasound diletakkan dalam fokus yang lain. Gelombang dicerminkan dalam pengiraan dan serpihannya dalam zarah yang lebih kecil, yang kemudiannya diusir melalui air kencing.

Radio Ska

Teleskop radio ini adalah yang terbesar dalam jenisnya dan dijangka mula bekerja pada tahun 2021. Permukaannya adalah 1 km persegi dan itulah sebabnya ia dipanggil ska (dalam bahasa Inggeris mereka adalah akronim untuk Arahan kilometer persegi).

Mengambil kesempatan daripada harta refleksi elips, strukturnya terdiri daripada susunan 3000 antena dengan bentuk elips kira -kira 15 m lebar, diedarkan antara Australia dan Afrika Selatan. Dengan instrumen ini, 50 kali lebih sensitif daripada yang digunakan sekarang, dijangka akan melihat alam semesta ketika masih jauh lebih muda: kira -kira satu bilion tahun hampir tidak.

Rajah 4.- Tafsiran Artistik Ska Radio Ska. Sumber: Wikimedia Commons.

Latihan diselesaikan

Cari persamaan kanonik elips yang ditunjukkan dalam Rajah 2 dan 3 dan dalam setiap kes menentukan panjang deria lebih besar dan lebih kecil, serta jarak fokus.

Penyelesaian

Untuk elips mendatar, persamaannya adalah 16x2 + 25 dan2 = 400, semua istilah antara 400 dibahagikan, menghasilkan:

Boleh melayani anda: Cotangent Berasal: Pengiraan, Demonstrasi, Latihan

 Yang dipermudahkan:

Semi -axis "A" mengukur 5 dan sedikit "B" langkah 4, yang juga diberi amaran dengan memerhatikan imej dengan teliti. Bagi jarak fokus, anda perlu:

c2 = a2 - b2

c2 = 25 - 16 = 9 ⇒ C = √9 = 3

Oleh itu c = 3 adalah jarak antara pusat dan salah satu lampu sorot. Kedua -dua foci adalah jarak 2c = 6.

Bagi Ellipse Vertikal 36x2 + 9y2 = 324 anda ada:

Dengan memudahkan:

c2 = 36 - 9 = 27

C = √27 ≅ 5.2

Oleh itu jarak antara lampu sorot adalah 10.4 unit.

Rujukan

  1. Hoffman, J. Pemilihan masalah matematik. Jilid 3.
  2. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.
  3. Formula Universe. Ellipse. Pulih dari: universoformulas.com.
  4. Wikipedia. Arahan kilometer persegi. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.org.
  5. Zill, d. 1984. Algebra dan trigonometri. McGraw Hill.