Momen formula inersia, persamaan dan contoh pengiraan
![Momen formula inersia, persamaan dan contoh pengiraan](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_10.jpg)
- 3240
- 2
- Clarence Greenholt DDS
Dia momen inersia Dari badan tegar berkenaan dengan paksi putaran tertentu, ia mewakili rintangannya untuk mengubah halaju sudutnya di sekitar paksi itu. Ia berkadar dengan jisim dan juga ke lokasi paksi putaran, kerana badan, menurut geometrinya, lebih mudah berputar di sekitar paksi tertentu daripada yang lain.
Katakan objek yang luas (terdiri daripada banyak zarah) yang boleh berputar di sekitar paksi. Katakan tindakan bertindak F, secara tangen digunakan untuk elemen massa ΔmYo, yang menghasilkan tork atau momen, diberikan oleh τjaring = ΣrYo x FYo. Vektor rYo Ia adalah kedudukan ΔmYo (Lihat Rajah 2).
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo.gif)
Momen ini berserenjang dengan satah putaran (alamat +K = meninggalkan kertas). Oleh kerana kekuatan dan kedudukan radial sentiasa berserenjang, produk silang tetap:
τjaring = Σ fYo rYo k = Σ (ΔmYo keYo) rYo k = Σ ΔmYo (KepadaYo rYo ) k
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo.jpg)
Pecutan aYo mewakili komponen pecutan tangen, kerana pecutan radial tidak menyumbang kepada tork. Bergantung pada pecutan sudut α, kita dapat menunjukkan bahawa:
keYo = α rYo
Oleh itu tork bersih seperti ini:
τjaring = Σ ΔmYo (α rYo2) K = (Σ rYo2 ΔmYo) α k
Percepatan sudut α adalah sama untuk keseluruhan objek, oleh itu ia tidak terjejas oleh subskrip "I" dan boleh meninggalkan jumlah, yang tepatnya momen inersia objek yang dilambangkan dengan huruf I:
I = Σ rYo2 ΔmYo
Inilah momen inersia pengedaran massa diskret. Apabila pengedaran berterusan, jumlahnya digantikan dengan integral dan Δm menjadi perbezaan massa DM. Integral dibuat di atas semua objek:
I = ∫M(r2) Dm
Unit momen inersia dalam sistem antarabangsa jika mereka kg x m2. Ia adalah jumlah skalar dan positif, kerana ia adalah hasil doh oleh kuadrat jarak jauh.
[TOC]
Contoh pengiraan
Objek lanjutan, seperti bar, cakera, sfera atau lain -lain, yang ketumpatannya ρ Ia tetap dan mengetahui bahawa ketumpatan adalah jisim - jumlah quotient, pembezaan massa DM Ia ditulis sebagai:
ρ = dm/dv → dm = ρDv
Menggantikan integral untuk masa inersia, kita ada:
I = ∫r2 ρdv = ρ ∫r2Dv
Ini adalah ungkapan umum, sah untuk objek tiga dimensi, yang jumlahnya V dan kedudukan r Mereka adalah fungsi koordinat ruang x, dan dan z. Perhatikan bahawa tetap, ketumpatan adalah dari integral.
Ketumpatan ρ Ia juga dikenali sebagai ketumpatan volumetrik, tetapi jika objeknya sangat rata, sebagai lembaran atau sangat nipis dan sempit sebagai rod, bentuk ketumpatan lain boleh digunakan, mari kita lihat:
Boleh melayani anda: pergerakan putaran bumi- Untuk lembaran yang sangat halus, ketumpatan yang digunakan adalah σ, ketumpatan permukaan (jisim per unit kawasan) dan memberi adalah pembezaan kawasan.
- Dan jika ia adalah bar nipis, di mana hanya panjang yang relevan, ketumpatan massa linear digunakan λ dan perbezaan panjang, mengikut paksi yang digunakan sebagai rujukan.
Dalam contoh berikut, semua objek dianggap tegar (tidak dapat ditentukan) dan mempunyai ketumpatan seragam.
Momen inersia bar nipis berkenaan dengan paksi yang melewati pusatnya
Di sini kita akan mengira momen inersia bar nipis, tegar, homogen, panjang l dan massa m, berkenaan dengan paksi yang melalui cara.
Di tempat pertama adalah perlu untuk menubuhkan sistem koordinat dan membina angka dengan geometri yang mencukupi, seperti ini:
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_2.jpg)
Dia dipilih X paksi di sepanjang bar dan Paksi y sebagai paksi putaran. Prosedur untuk mewujudkan integral juga memerlukan memilih perbezaan massa di bar, yang dipanggil DM, yang mempunyai panjang pembezaan Dx dan terletak di kedudukan x sewenang -wenangnya, berkenaan dengan pusat x = 0.
Menurut definisi ketumpatan massa linear λ:
λ = m/l
Apabila ketumpatan seragam, yang sah untuk m dan l, ia juga untuk DM dan DX:
λ = dm/dx → dm = λdx.
Sebaliknya, elemen massa berada dalam kedudukan x, Kemudian dengan menggantikan geometri ini dalam definisi, kita mempunyai integral yang pasti, yang batasnya adalah ekstrem bar mengikut sistem koordinat:
Menggantikan ketumpatan linear λ = m/l:
Untuk mencari momen inersia bar berkenaan dengan paksi putaran lain, contohnya satu yang melewati salah satu hujungnya, anda boleh menggunakan teorem Steiner (lihat senaman yang diselesaikan pada akhir) atau melakukan pengiraan langsung yang serupa dengan itu ditunjukkan di sini, tetapi mengubahsuai geometri dengan betul.
Momen inersia album berkenaan dengan paksi yang melewati pusatnya
Album yang sangat nipis, ketebalan hina adalah tokoh rata. Sekiranya adunan diedarkan secara seragam di seluruh kawasan A, ketumpatan massa σ adalah:
σ = M/a
Begitu banyak DM sebagai memberi sesuai dengan jisim dan kawasan cincin pembezaan yang ditunjukkan dalam angka tersebut. Kami akan mengandaikan bahawa keseluruhan set berkisar di sekitar paksi dan.
Anda boleh membayangkan bahawa album itu terdiri bahawa banyak cincin sepusat radio r, masing -masing dengan momen inersia masing -masing. Menambah sumbangan semua cincin sehingga anda sampai ke radio R, Anda akan mempunyai jumlah inersia album.
σ = dm/da → dm = σmemberi
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_3.jpg)
Di mana m mewakili keseluruhan adunan album. Kawasan album bergantung pada jejari r sebagai:
Dapat melayani anda: kelajuan penyebaran gelombangA = π.r2
Memperoleh mengenai R:
Da /dr = 2 = 2π.R → da = 2π.rdr
Menggantikan perkara di atas dalam definisi i:
Selepas menilai hasil yang penting:
Menggantikan σ = m/(π.R2 ) ditinggalkan:
Momen inersia sfera pepejal berkenaan dengan diameter
Lingkaran radius r boleh dianggap sebagai satu siri cakera yang disusun di atas satu sama lain, di mana setiap album massa infinitesimal DM, radio r dan ketebalan Dz, Ia mempunyai momen inersia yang diberikan oleh:
membericakera = (½) r2DM
Untuk mencari perbezaan ini, formula bahagian sebelumnya hanya diambil dan diganti M dan R oleh DM dan r, masing -masing. Album seperti ini dapat dilihat dalam geometri Rajah 5.
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_4.jpg)
Dengan menambahkan semua momen inersia infinitesimal cakera yang disusun, momen jumlah inersia sfera diperolehi:
Yosfera = ∫dicakera
Yang bersamaan dengan:
I = ∫sfera (½) r2DM
Untuk menyelesaikan integral, anda perlu menyatakan DM betul. Seperti biasa, ia dicapai dari ketumpatan:
ρ = m/v = dm/dv → dm = ρ.Dv
Jumlah cakera perbezaan adalah:
Dv = kawasan asas x ketinggian
Ketinggian album adalah ketebalan Dz, Walaupun kawasan asas adalah πr2, Oleh itu:
Dv = πr2Dz
Dan menggantikan yang bersepadu akan menjadi seperti ini:
I = ∫sfera(½) r2Dm = ∫ (½) r2(ρπr2Dz)
Tetapi sebelum mengintegrasikan, ia mesti. Melalui teorem Pythagoras:
R2 = r2 + z2 → R2 = R2 - z2
Itu membawa kita ke:
I = ∫sfera(½) ρ r2(πr2dz) = ∫sfera(½) ρ π r4Dz= ∫sfera(½) ρ π (r2 - z2)2 Dz
Untuk mengintegrasikan keseluruhan sfera, kami melihat bahawa Z berbeza antara -r dan r, oleh itu:
Mengetahui bahawa ρ = m/v = m/[(4/3) πr3] Akhirnya, ia diperolehi, setelah memudahkan:
Momen inersia silinder pepejal berkenaan dengan paksi paksi
Untuk objek ini kaedah yang serupa dengan yang digunakan untuk sfera digunakan, hanya kali ini lebih mudah jika silinder dibayangkan untuk kerang silinder radio r, ketebalan Dr dan ketinggian H, Seolah -olah mereka adalah lapisan bawang.
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_5.jpg)
Kelantangan Dv lapisan silinder adalah:
Dv = 2π.Rl.Dr
Oleh itu jisim cascaron adalah:
Boleh melayani anda: Skala mikroskopik: sifat, kiraan zarah, contohDm = ρ.Dv = ρ. 2π.r.L.Dr
Ungkapan ini digantikan dalam definisi momen inersia:
Memandangkan itu ρ = m / (π.R2L) ditinggalkan:
Persamaan sebelumnya menunjukkan bahawa momen inersia silinder tidak bergantung pada panjangnya, tetapi pada jisimnya dan radiusnya sahaja. Yeah L berubah, momen inersia berkenaan dengan paksi paksi akan terus sama. Atas sebab ini, Yo silinder bertepatan dengan album nipis yang dikira sebelumnya.
Momen inersia lembaran segi empat tepat berkenaan dengan paksi yang melewati pusatnya
The Paksi y Mendatar sebagai paksi putaran. Angka di bawah menunjukkan geometri yang diperlukan untuk menjalankan integrasi:
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_6.jpg)
Elemen kawasan yang ditunjukkan dalam warna merah adalah segi empat tepat. Kawasannya adalah ketinggian x asas, oleh itu:
da = a.Dz
Oleh itu perbezaan massa adalah:
Dm = σ.da = σ.(Kepada.Dz)
Bagi jarak elemen kawasan ke paksi putaran, selalu z. Kami menggantikan semua ini dalam integral momen inersia:
Sekarang ketumpatan jisim permukaan σ digantikan oleh:
σ = m/ab
Dan ia pasti seperti ini:
Perhatikan bahawa ia seperti bar nipis.
Momen inersia lembaran persegi berkenaan dengan paksi yang melewati pusatnya
Untuk satu persegi di sebelah L, Dalam ungkapan sebelumnya yang sah untuk segi empat tepat, nilai b oleh yang satu L:
Teorema Momen Inersia
Terdapat dua teorema yang sangat berguna untuk memudahkan pengiraan momen inersia berkenaan dengan paksi lain, yang sebaliknya boleh menjadi rumit untuk mencari kekurangan simetri. Teorema ini adalah:
Teorem Steiner
Juga dipanggil Teorem paksi selari, mengaitkan momen inersia mengenai paksi dengan yang lain yang melewati pusat jisim objek, selagi paksi selari. Untuk memohonnya, jarak d perlu diketahui di antara kedua -dua paksi dan tentu saja jisim m objek.
Menjadi Yoz saat inersia objek lanjutan berkenaan dengan Z, saya paksiCm Momen inersia berkenaan dengan paksi yang melewati Pusat Massa (cm) objek tersebut, maka ia dipenuhi bahawa:
Yoz = ICm + Md2
Atau dalam notasi angka berikut: Yoz ' = Iz + Md2
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_7.jpg)
Teorem paksi tegak lurus
Teorem ini digunakan untuk permukaan rata dan berkata: Momen inersia objek rata di sekitar paksi serenjang padanya adalah jumlah momen inersia sekitar dua paksi serenjang dengan paksi pertama:
Yoz = Ix + Yodan
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_8.jpg)
Sekiranya objek mempunyai simetri seperti itu Yox dan Yodan Mereka sama, maka ia dipenuhi:
Yoz = 2ix
Latihan diselesaikan
Cari momen inersia bar berkenaan dengan paksi yang melewati salah satu hujungnya, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1 (di bawah dan ke kanan) dan Rajah 10.
![](https://learnaboutworld.com/storage/img/images_1/momento-de-inercia-frmulas-ecuaciones-y-ejemplos-de-clculo_9.jpg)
Penyelesaian:
Kami sudah mempunyai momen inersia bar di sekitar paksi yang melalui pusat geometri. Oleh kerana bar adalah homogen, pusat jisimnya pada ketika itu, jadi ini akan menjadi milik kita YoCm Untuk memohon Teorem Steiner.
Sekiranya panjang bar adalah L, Paksi z berada pada jarak d = l/2, oleh itu:
Yoz = ICm + Md2= (1/12) ml2+M (l/2)2= (1/3) ml2
Rujukan
- Bauer, w. 2011. Fizik untuk Kejuruteraan dan Sains. Jilid 1. MC Graw Hill. 313-340
- Rex, a. 2011. Asas Fizik. Pearson. 190-200.
- Teorem paksi selari. Pulih dari: Hyperphysics.Phy-Astr.GSU.Edu.
- Serway, r. 2018. Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Cengage.
- Sevilla University. Momen inersia pepejal sfera. Pulih dari: Laplace.kita.adalah.
- Sevilla University. Momen inersia sistem zarah. Pulih dari: Laplace.kita.adalah.
- Wikipedia. Teorem paksi selari. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.org
- « Konsep dan Pencirian Sistem Kristal, Jenis, Contoh
- Sumber perundingan untuk berkhidmat, jenis dan contoh »