Teknik dan contoh pengiraan prinsip berbilang

Apakah prinsip berbilang?

Dia Prinsip Multiplicative Ini adalah teknik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah mengira untuk mencari penyelesaian tanpa perlu untuk menyenaraikan unsur -unsurnya. Ia juga dikenali sebagai prinsip asas analisis gabungan; Ia berdasarkan pendaraban berturut -turut untuk menentukan cara di mana peristiwa boleh berlaku.

Prinsip ini menetapkan bahawa, jika keputusan (d₁) Ia boleh diambil dengan cara n dan keputusan lain (d₂) Mneras boleh diambil, jumlah cara di mana keputusan d boleh dibuat₁ dan d₂ Ia akan sama dengan membiak n _* m. Menurut prinsip, setiap keputusan dibuat selepas satu lagi: bilangan cara = n_{1 *} N₂… _* N_x Cara.

Contoh

Contoh 1

Paula merancang untuk pergi ke pawagam dengan rakan -rakannya, dan memilih pakaian yang akan dipakai, dipisahkan 3 blaus dan 2 skirt. Berapa banyak cara boleh berpakaian Paula?

• Penyelesaian

Dalam kes ini, Paula mesti membuat dua keputusan:

d₁ = Pilih antara 3 blaus = n

d₂ = Pilih antara 2 skirt = m

Dengan cara itu Paula mempunyai n _* keputusan untuk membuat atau cara berpakaian yang berbeza.

n _* M = 3_* 2 = 6 keputusan.

Prinsip Danda.

Contoh 2

Mario sangat dahaga, jadi dia pergi ke kedai roti untuk membeli jus. Luis melayani dia dan memberitahunya bahawa dia mempunyai dua saiz: besar dan kecil; dan empat perisa: epal, oren, lemon dan anggur. Berapa banyak cara boleh Mario memilih jus?

• Penyelesaian

Dalam gambarajah, dapat dilihat bahawa Mario mempunyai 8 cara yang berbeza untuk memilih jus dan, seperti dalam prinsip berbilang, hasil ini diperolehi oleh pendaraban n_*m. Satu -satunya perbezaan ialah melalui rajah ini, anda dapat mengetahui cara -cara di mana Mario memilih jus.

Boleh melayani anda: jenama kelas

Sebaliknya, apabila jumlah hasil yang mungkin sangat besar, lebih praktikal untuk menggunakan prinsip berbilang.

Teknik mengira

Teknik mengira adalah kaedah yang digunakan untuk membuat kiraan langsung, dan dengan itu mengetahui bilangan susunan yang mungkin bahawa unsur -unsur set tertentu boleh. Teknik ini berdasarkan beberapa prinsip:

Prinsip tambahan

Prinsip ini menetapkan bahawa, jika dua peristiwa m dan n tidak dapat berlaku pada masa yang sama, bilangan cara sebagai peristiwa pertama atau kedua akan menjadi jumlah m + n:

Bilangan bentuk = m + n ... + x borang yang berbeza.

Contoh

Antonio mahu membuat perjalanan tetapi tidak menentukan destinasi mana; Di Agensi Pelancongan Selatan mereka menawarkan promosi untuk pergi ke New York atau Las Vegas, sementara Agensi Pelancongan Timur mengesyorkan perjalanan ke Perancis, Itali atau Sepanyol. Berapa banyak alternatif perjalanan yang berbeza yang ditawarkan oleh Antonio?

Penyelesaian

Dengan agensi pelancongan selatan Antonio mempunyai 2 alternatif (New York atau Las Vegas), manakala dengan Agensi Pelancongan Timur ia mempunyai 3 pilihan (Perancis, Itali atau Sepanyol). Bilangan alternatif yang berbeza adalah:

Bilangan alternatif = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.

Prinsip Permutasi

Ini mengenai khusus memerintahkan semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set, untuk memudahkan pengiraan semua pengaturan yang mungkin dapat dibuat dengan unsur -unsur.

Bilangan permutasi un elemen yang berbeza, diambil sekaligus, diwakili sebagai:

_nP_n = n!

Contoh

Empat rakan ingin mengambil gambar dan ingin mengetahui berapa banyak cara yang dapat dipesan.

Penyelesaian

Anda ingin mengetahui set semua cara yang mungkin di mana 4 orang boleh diletakkan untuk mengambil gambar. Oleh itu, anda mesti:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 cara yang berbeza.

Jika bilangan permutasi elemen N yang ada diambil oleh bahagian satu set yang dibentuk oleh elemen R, ia diwakili sebagai:

Boleh melayani anda: berapakah julat statistik? (Dengan contoh)

_nP_{R =} n! ÷ (n - r)!

Contoh

Di dalam kelas anda mempunyai 10 kedudukan. Sekiranya 4 pelajar menghadiri kelas, berapa banyak cara pelajar dapat menduduki jawatan?

Penyelesaian

Jumlah set kerusi adalah 10, dan ini hanya akan digunakan 4. Formula yang diberikan digunakan untuk menentukan bilangan permutasi:

_nP_r = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀P₄ = 10! ÷ 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 ÷ 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 cara untuk menduduki jawatan.

Terdapat kes -kes di mana beberapa elemen yang tersedia dari satu set diulang (mereka sama). Untuk mengira bilangan pengaturan yang mengambil semua elemen pada masa yang sama formula berikut digunakan:

_nP_r = n! ÷ n₁!_* n₂!... n_r!

Contoh

Berapa banyak perkataan dari empat huruf yang dapat dibentuk dari perkataan "serigala"?

Penyelesaian

Dalam kes ini terdapat 4 elemen (huruf) yang mana dua daripadanya sama persis. Memohon formula yang diberikan, diketahui berapa banyak perkataan yang berbeza:

_nP_r = n! ÷ n₁!_* n₂!... n_r!

₄P_{2, 1.1} = 4! ÷ 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) ÷ (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 perkataan yang berbeza.

Prinsip gabungan

Ini mengenai menetapkan semua atau beberapa elemen yang membentuk satu set tanpa perintah tertentu. Sebagai contoh, jika anda mempunyai susunan XYZ, ini akan sama dengan ZXY, YZX, ZYX susunan, antara lain; Ini kerana, walaupun tidak berada dalam urutan yang sama, unsur -unsur setiap susunan adalah sama.

Apabila beberapa elemen (r) set (n) diambil, prinsip gabungan diberikan oleh formula berikut:

_nC_{R =} n! ÷ (n - r)!r!

Contoh

Di kedai mereka menjual 5 jenis coklat yang berbeza. Berapa banyak cara yang boleh dipilih 4 coklat?

Boleh melayani anda: Congruence: angka kongruen, kriteria, contoh, latihan

Penyelesaian

Dalam kes ini, anda harus memilih 4 coklat dari 5 jenis yang dijual di kedai. Perintah di mana mereka dipilih tidak penting dan, di samping itu, jenis coklat boleh dipilih lebih dari dua kali. Memohon formula, anda mesti:

_nC_r = n! ÷ (n - r)!r!

₅C₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅C₄ = 5! ÷ (1)!4!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1 ÷ 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 ÷ 24 = 5 cara yang berbeza untuk memilih 4 coklat.

Apabila semua elemen (r) set (n) diambil, prinsip gabungan diberikan oleh formula berikut:

_nC_{n =} n!

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Anda mempunyai pasukan besbol dengan 14 ahli. Berapa banyak cara 5 jawatan yang dapat ditugaskan untuk permainan?

• Penyelesaian

Set ini terdiri daripada 14 elemen dan anda mahu menetapkan 5 kedudukan tertentu; iaitu, pesanannya. Formula permutasi digunakan di mana elemen n yang ada diambil oleh bahagian set yang dibentuk oleh r.

_nP_{R =} n! ÷ (n - r)!

Di mana n = 14 dan r = 5. Ia digantikan dalam formula:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄P₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄P₅ = 240 240 Cara Menetapkan Posisi 9 Permainan.

Latihan 2

Sekiranya keluarga 9 ahli pergi dan membeli tiket mereka dengan kedudukan berturut -turut, berapa banyak cara yang boleh duduk?

• Penyelesaian

Ini adalah 9 elemen yang akan menduduki 9 kerusi berturut -turut.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 cara duduk yang berbeza.

Rujukan

1. Hopkins, b. (2009). Sumber untuk Mengajar Matematik Diskret: Projek Bilik Darjah, Modul Sejarah, dan Artikel.
2. Johnsonbaugh, r. (2005). Matematik diskret. Pendidikan Pearson,.
3. Lutfiyya, l. Ke. (2012). Pemecah Masalah Matematik yang terhingga dan diskret. Editor Persatuan Penyelidikan & Pendidikan.
4. Padró, f. C. (2001). Matematik diskret. Politèc. daripada Catalonia.
5. Steiner, e. (2005). Matematik untuk Sains Gunaan. Reverte.