Sifat simetri paksi, contoh dan latihan

The Simetri paksi Ia berlaku apabila titik -titik angka bertepatan dengan titik -titik angka lain dengan menggunakan meditrix lurus yang dipanggil paksi simetri. Ia juga dipanggil simetri radial, putaran atau silinder.

Ia biasanya digunakan dalam angka geometri, tetapi mudah diperhatikan, kerana terdapat haiwan seperti rama -rama, kalajengking, rak atau manusia yang betul yang mempersembahkan simetri paksi.

Dalam foto cakrawala kota Toronto dan pantulannya dalam simetri paksi air dipamerkan. (Sumber: Pixabay)

[TOC]

Cara mencari paksi simetri

Untuk mencari paksi simetri p 'titik p berkenaan dengan garis (l) operasi geometri berikut dilakukan:

1.- Segera ke garisan (l) dikesan yang melalui titik p.

2.- Pemintasan kedua -dua baris menentukan titik atau.

3.- Panjang segmen PO diukur, maka panjang ini disalin pada garis (PO) bermula dari atau ke arah P a atau menentukan titik P '.

4.- Titik p.

Rajah 1. Dua mata p dan p 'adalah simetri paksi kepada paksi (l) jika paksi adalah meditrix dari segmen PP'

Sifat simetri paksi

- Simetri paksi adalah isometrik, iaitu jarak angka geometri dan simetri yang sepadan.

- Ukuran sudut dan simetri yang sama.

- Paksi simetri titik pada paksi simetri adalah titik itu sendiri.

Ia boleh melayani anda: Kaedah Gauss-Seidel: Penjelasan, Aplikasi, Contoh

- Garis simetri garis selari dengan paksi simetri juga selari dengan paksi yang dikatakan.

- Garis secant ke paksi simetri adalah simetri.

- Imej simetri garis adalah garis lain yang membentuk sudut dengan paksi simetri dengan ukuran yang sama seperti garis asal.

- Imej simetri garis serenjang dengan paksi simetri adalah garis lain yang bertindih yang pertama.

- Garis dan garis simetri paksi membentuk sudut yang bisektornya adalah paksi simetri.

Rajah 2. Simetri paksi mengekalkan jarak dan sudut.

Contoh simetri paksi

Alam mempamerkan contoh -contoh simetri paksi yang berlimpah. Sebagai contoh, anda dapat melihat simetri wajah, serangga seperti rama -rama, refleksi di permukaan perairan dan cermin yang tenang atau daun tumbuhan, antara yang lain.

Rajah 3. Rama -rama ini mempamerkan simetri paksi hampir sempurna. (Sumber: Pixabay) Rajah 4. Wajah gadis ini mempunyai simetri paksi. (Sumber: Pixabay)

Latihan simetri paksi

Latihan 1

Anda mempunyai segitiga simpang A, B dan C yang koordinat Cartesian masing -masing A = (2, 5), B = (1, 1) dan C = (3.3). Cari koordinat Cartesian segitiga simetri berkenaan dengan paksi y (paksi ordinat).

Penyelesaian: Jika titik P mempunyai koordinat (x, y) maka simetri itu berkenaan dengan paksi ordinat (paksi y) adalah p '= (-x, y). Dalam kata lain.

Boleh melayani anda: set tak terhingga: sifat, contoh

Dalam kes ini, segitiga simetri simpul a ', b' dan c 'akan mempunyai koordinat:

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) dan c' = (-3, 3) seperti yang boleh diperiksa dalam Rajah 6.

Rajah 6. Sekiranya titik mempunyai koordinat (x, y) simetri dengan paksi y (paksi ordinat) akan mempunyai koordinat (-x, y).

Latihan 2

Merujuk kepada segitiga ABC dan simetri A'B'C 'Latihan 1, periksa bahawa sisi yang sama segi tiga dan simetri mempunyai panjang yang sama.

Penyelesaian: Untuk mencari jarak atau panjang sisi kita menggunakan formula jarak Euclidian:

d (a, b) = √ ((bx-ax)^2 + (by-ay)^2) = √ ((1-2)^2 + (1-5)^2) = √ ((-1 )^2 + (-4)^2) = √ (17) = 4.123

Seterusnya, panjang sisi simetri yang sepadan dengan'b 'dikira:

D (a ', b') = √ ((bx'-ax ')^2 +(by'-y^2) = √ ((-1 +2)^2 +(1-5)^2) = √ ((1)^2 + (-4)^2) = √ (17) = 4,123

Dengan cara ini, terbukti bahawa simetri paksi mengekalkan jarak antara dua mata. Prosedur ini dapat diulangi untuk dua sisi segitiga dan simetri untuk memeriksa invariance panjangnya. Contohnya | AC | = | A'c '| = √5 = 2,236.

Latihan 3

Berhubung dengan segitiga ABC dan simetri A'b'c 'Latihan 1, periksa bahawa sudut yang sepadan dengan segitiga asal dan simetri mereka mempunyai ukuran sudut yang sama.

Penyelesaian: Untuk menentukan langkah -langkah sudut Bac dan B'a'c 'produk skalar vektor akan dikira terlebih dahulu Ab dengan Ac Dan kemudian produk skalar dari A'b ' dengan A'c '.

Ingat bahawa:

A = (2, 5), B = (1, 1) dan C = (3.3)

A '= (-2, 5); B '= (-1, 1) dan c' = (-3, 3).

Kamu ada:

Ab = y Ac =

Begitu juga

A'b ' = y Ac =

Boleh melayani anda: teorem lamy

Kemudian produk skalar berikut dijumpai:

Ab ⋅ac = ⋅ = -1 ⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Begitu juga

A'b' ⋅ a'c ' = ⋅ = 1 ⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Ukuran sudut BAC adalah:

∡bac = arccos ( Ab ⋅ac / (|AB |⋅ |AC |)) = 

Arccos (7 / (4,123 ⋅2,236)) = 40.6º

Begitu juga, ukuran sudut b'a'c 'adalah:

∡b'a'c '= arccos ( A'b' ⋅ a'c ' / (|A'b '|⋅ |A'c '|)) = 

Arccos (7 / (4,123 ⋅2,236)) = 40.6º

Menyimpulkan bahawa simetri paksi mengekalkan ukuran sudut.

Latihan 4

Jadilah titik P koordinat (a, b). Cari koordinat p 'paksi simetri berkenaan dengan garis y = x.

Penyelesaian: Kami akan memanggil (a ', b') ke koordinat titik simetri p 'berkenaan dengan garis y = x. Titik tengah m segmen PP 'mempunyai koordinat ((a+a')/2, (b+b ')/2) dan juga pada garis y = x, jadi persamaan berikut dipenuhi:

A + a '= b + b'

Sebaliknya, segmen pp 'telah menunggu -1 kerana berserenjang dengan garis y = x cerun 1, jadi kesamaan berikut dipenuhi:

B - b '= a' -a

Membersihkan kedua -dua kesamaan sebelum 'dan b' disimpulkan bahawa:

a '= b dan apa b' = a.

Iaitu, diberi titik P (a, b), paksi simetri berkenaan dengan garis y = x adalah p '(b, a).

Rujukan

1. Arce m., Blázquez s dan lain -lain. Transformasi pesawat. Pulih dari: Educutmxli.Fail.WordPress.com
2. Pengiraan CC. Simetri paksi. Pulih dari: pengiraan.DC
3. Superprof. Simetri paksi. Pulih dari: superprof.adalah
4. Wikipedia. Simetri paksi. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Pekeliling simetri. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.com