Contoh, Peraturan dan Latihan Kuadratik

The Penggantian kuadrat, Dalam istilah matematik, mereka terdiri daripada urutan nombor yang mengikuti peraturan aritmetik tertentu. Sangat menarik untuk mengetahui peraturan ini untuk menentukan mana -mana syarat penggantian.

Salah satu cara untuk mencapai matlamat ini adalah untuk menentukan perbezaan antara dua istilah berturut -turut dan melihat apakah nilai yang diperoleh selalu diulang. Apabila demikian, dikatakan bahawa ia adalah penggantian tetap.

Penggantian berangka adalah cara mengatur urutan nombor. Sumber: Pixabay.com

Tetapi jika ia tidak diulang, maka anda boleh cuba memeriksa perbezaan antara perbezaan Dan lihat apakah nilai ini tetap. Jika ya, maka itu adalah Penggantian kuadrat. 

[TOC]

Contoh penggantian biasa dan penggantian kuadrat

Contoh berikut membantu menjelaskan apa yang telah dijelaskan setakat ini:

Contoh penggantian biasa

Jadilah penggantian s = 4, 7, 10, 13, 16, ...

Penggantian ini, yang dilambangkan oleh S, adalah set berangka yang tidak terhingga, dalam kes ini.

Ia dapat dilihat bahawa ia adalah penggantian biasa, kerana setiap istilah diperoleh dengan menambahkan 3 ke istilah atau elemen sebelumnya:

4

4 +3 = 7

7+3 = 10

10+3 = 13

13+3 = 16

Dengan kata lain: penggantian ini adalah biasa kerana perbezaan antara istilah berikut dan yang sebelumnya memberikan nilai tetap. Dalam contoh yang diberikan nilai ini ialah 3.

Penggantian biasa yang diperoleh dengan menambahkan jumlah tetap pada istilah sebelumnya, juga dipanggil perkembangan aritmetik. Dan perbezaannya - malar - antara istilah berturut -turut yang dipanggil sebab Dan ia dilambangkan sebagai r.

Contoh penggantian yang tidak berkedut dan kuadrat

Lihat sekarang penggantian berikut:

S = 2, 6, 12, 20, 30, .. .

Apabila perbezaan berturut -turut dikira, nilai berikut diperolehi:

Boleh melayani anda: pilihan rawak dengan atau tanpa penggantian

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Perbezaan mereka tidak tetap, jadi dapat dikatakan bahawa ia adalah penggantian yang tidak berpatutan.

Walau bagaimanapun, jika kita menganggap set perbezaan, terdapat satu lagi penggantian, yang akan dilambangkan sebagai s_Dif:

S_Dif = 4, 6, 8, 10, .. .

Penggantian baru ini adalah penggantian tetap, Oleh kerana setiap istilah diperoleh dengan menambahkan nilai tetap r = 2 hingga sebelumnya. Itulah sebabnya kita boleh mengesahkan bahawa S adalah Penggantian kuadrat.

Peraturan Umum Membina Penggantian Kuadrat

Terdapat formula umum untuk membina penggantian kuadrat:

T_n = A ∙ n² + B ∙ n +c

Dalam formula ini, t_n Itu adalah istilah n penggantian. A, B dan C adalah nilai tetap, manakala N bervariasi satu demi satu, iaitu 1, 2, 3, 4, ..

Berturut -turut dari contoh sebelumnya a = 1, b = 1 dan c = 0. Dari sana ia mengikuti bahawa formula yang menghasilkan semua istilah adalah: t_n = n² + n

Iaitu:

T₁ = 1² + 1 = 2

T₂ = 2² + 2 = 6

T₃ = 3² + 3 = 12

T₅ = 5² + 5 = 30

T_n = n² + n

Perbezaan antara dua syarat berturut -turut pengganti kuadrat

T_N+1 - T_n = [A ∙ (n+1)² + B ∙ (n + 1) + c] - [a ∙ n² + B ∙ n +c]

Membangunkan ungkapan melalui produk yang luar biasa tetap:

T_N+1 - T_n = A ∙ n² + A ∙ 2 ∙ n + a + b ∙ n + b + c - a ∙ n² - B ∙ n - c

Dengan memudahkan anda mendapat:

T_N+1 - T_n = 2 ∙ A ∙ n + a + b

Ini adalah formula yang memberikan penggantian perbezaan s_Dif yang boleh ditulis seperti ini:

Dif_n = A ∙ (2n+1)+b

Di mana jelas istilah berikut adalah 2 ∙ kadang -kadang sebelumnya. Iaitu alasan penggantian perbezaan s_Dif Es: r = 2 ∙ a.

Latihan yang diselesaikan penggantian kuadrat

Latihan 1

Jadilah penggantian s = 1, 3, 7, 13, 21, .... Tentukan ya:

i) ia biasa atau tidak

ii) adalah kuadrat atau tidak

iii) adalah kuadratik, penggantian perbezaan dan alasan mereka

Ia boleh melayani anda: had sifat (dengan contoh)

Jawapan

i) Mari kita mengira perbezaan istilah berikut dan yang sebelumnya:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Kita boleh mengesahkan bahawa penggantian s tidak biasa, kerana perbezaan antara istilah berturut -turut tidak tetap.

ii) Penggantian perbezaan adalah biasa, kerana perbezaan antara istilahnya adalah nilai malar 2. Oleh itu penggantian asal s adalah kuadrat.

iii) Kami telah menentukan bahawa S adalah kuadratik, penggantian perbezaannya adalah:

S_Dif = 2, 4, 6, 8, ... dan alasannya adalah r = 2.

Latihan 2

Jadilah penggantian s = 1, 3, 7, 13, 21, ... contoh sebelumnya, di mana ia telah disahkan bahawa ia adalah kuadrat. Tentukan:

i) formula yang menentukan istilah umum t_{n .}

ii) Sahkan penggal ketiga dan kelima.

iii) nilai jangka kesepuluh.

Jawapan

i) Formula umum t_n adalah ∙ n² + B ∙ n +c. Kemudian diketahui nilai a, b dan c.

Penggantian perbezaan betul 2. Sebagai tambahan kepada penggantian kuadrat, sebab r ialah 2 ∙ A seperti yang ditunjukkan di bahagian sebelumnya.

R = 2 ∙ a = 2 yang membawa kita menyimpulkan bahawa a = 1.

Istilah pertama penggantian perbezaan s_Dif Ia adalah 2 dan mesti mematuhi ∙ (2n+1)+b, dengan n = 1 dan a = 1, iaitu:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1+1)+b

Clearing B diperoleh: B = -1

Kemudian istilah pertama s (n = 1) vale 1, iaitu: 1 = a ∙ 1² + B ∙ 1 + c. Seperti yang kita sudah tahu bahawa A = 1 dan B = -1, menggantikan kita, kita dibiarkan:

1 = 1 ∙ 1² + (-1) ∙ 1 +c

Clearing C diperoleh nilainya: c = 1.

Ringkasnya:

A = 1, B = -1 dan C = 1

Maka istilahnya hanya_n = n² - N + 1

ii) istilah ketiga t₃ = 3² - 3 + 1 = 7 dan disahkan. Kelima t₅ = 5² - 5 + 1 = 21 yang juga disahkan.

iii) Tempoh kesepuluh akan t₁₀ = 10² - 10 + 1 = 91.

Latihan 3

Urutan kawasan untuk Latihan 3. Sumber: Diri Diri.

Angka ini menunjukkan urutan lima angka. Reticulate mewakili unit panjang.

Boleh melayani anda: perbezaan antara pecahan biasa dan nombor perpuluhan

i) Tentukan penggantian kawasan angka.

i) menunjukkan bahawa ia adalah penggantian kuadrat.

iii) Cari kawasan Rajah # 10 (tidak ditunjukkan).

Jawapan

i) Penggantian yang sepadan dengan kawasan urutan angka adalah:

S = 0, 2, 6, 12, 20, ...

ii) Penggantian yang sepadan dengan perbezaan berturut -turut syarat -syarat S ialah:

S_Dif = 2, 4, 6, 8, ...

Oleh kerana perbezaan antara istilah berturut -turut tidak tetap, jadi s bukan penggantian biasa. Ia mesti tahu sama ada ia kuadrat, yang mana kita sekali lagi membuat urutan perbezaan, mendapatkan:

2, 2, 2, .. .

Oleh kerana semua syarat urutan diulang, ia disahkan bahawa s adalah penggantian kuadrat.

iii) penggantian s_Dif biasa dan alasannya adalah 2. Menggunakan persamaan yang ditunjukkan sebelumnya r = 2 ∙ a, kekal:

2 = 2 ∙ a, yang menunjukkan bahawa a = 1.

Istilah kedua penggantian perbezaan s_Dif Ia adalah 4 dan n-eme s_Dif adalah

A ∙ (2n+1)+b.

Istilah kedua mempunyai n = 2. Ia juga ditentukan bahawa a = 1, jadi menggunakan persamaan sebelumnya dan menggantikannya adalah:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2+1)+b

Clearing B diperoleh: B = -1.

Adalah diketahui bahawa istilah kedua s bernilai 2, dan formula istilah umum mesti dipenuhi dengan n = 2:

T_n = A ∙ n² + B ∙ n +c; n = 2; A = 1; B = -1; T₂ = 2

Iaitu

2 = 1 ∙ 2² - 1 ∙ 2 + c

Disimpulkan bahawa c = 0, iaitu formula yang memberikan istilah umum penggantian adalah:

T_n = 1 ∙ n² - 1 ∙ n +0 = n² - n

Sekarang istilah kelima disahkan:

T₅ = 5² - 5 = 20

iii) Rajah #10, yang belum ditarik di sini, akan mempunyai kawasan yang sepadan dengan tempoh kesepuluh dari penggantian:

T₁₀ = 10² - 10 = 90

Rujukan

1. https: // www.Geogebra.org