Matematik

Laplace Transform

3591
193
Julius Dibbert

Apa itu transformasi Laplace?

The Laplace Transform Pada tahun -tahun kebelakangan ini sangat penting dalam kejuruteraan, matematik, fizik, antara kawasan saintifik lain, kerana sebagai tambahan kepada minat yang besar dalam teoritis, ia menyediakan cara mudah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan, mengubahnya menjadi persamaan algebra.

Pada asalnya transformasi Laplace disampaikan oleh Pierre-Simon Laplace (1745-1827) dalam kajiannya mengenai teori kebarangkalian, dan pada dasarnya dianggap sebagai objek matematik hanya kepentingan teoritis.

Aplikasi semasa timbul apabila pelbagai ahli matematik cuba memberikan justifikasi rasmi kepada "peraturan operasi" yang digunakan oleh Oliver Heaviside (1850-1925) dalam kajian persamaan teori elektromagnetik.

Definisi transformasi Laplace

Biarkan f menjadi fungsi yang ditetapkan untuk t ≥ 0. Transform Laplace ditakrifkan seperti berikut:

Dikatakan bahawa transformasi Laplace wujud jika integral sebelumnya menumpu, jika tidak dikatakan bahawa transformasi Laplace tidak wujud.

Secara umum, untuk menunjukkan fungsi yang dikehendaki untuk mengubah huruf kecil dan huruf besar sepadan dengan perubahannya. Dengan cara ini kita akan mempunyai:

Contoh

Pertimbangkan fungsi malar f (t) = 1. Kita mesti mengubah:

Dengan syarat bahawa integral berkumpul, iaitu, dengan syarat s> 0. Jika tidak, s < 0, la integral diverge.

Biarkan g (t) = t. Transformasi Laplace beliau diberikan oleh:

Semasa mengintegrasikan dengan bahagian dan mengetahui perkara itu^-St Ia cenderung kepada 0 apabila T cenderung kepada Infinity dan S> 0, bersama -sama dengan contoh sebelumnya kita perlu:

Transformal mungkin atau mungkin tidak wujud, contohnya untuk fungsi f (t) = 1/t, integral yang mentakrifkan transformasi Laplace tidak berkumpul dan oleh itu berubah tidak ada.

Syarat yang mencukupi untuk memastikan bahawa transformasi Laplace fungsi f wujud, adalah bahawa f berterusan di bahagian -bahagian untuk t ≥ 0 dan adalah urutan eksponen.

Dikatakan bahawa fungsi berterusan di bahagian untuk t ≥ 0, apabila untuk sebarang selang [a, b] dengan> 0, terdapat bilangan titik terhingga t_k, Di mana f mempunyai ketidakpastian dan berterusan dalam setiap subinterval [t_K-1,t_k].

Sebaliknya, dikatakan bahawa fungsi eksponen c jika terdapat pemalar sebenar m> 0, c dan t> 0 seperti itu:

Sebagai contoh kita perlu f (t) = t² Ia adalah eksponen, kerana | t²| < e^3t Untuk semua t> 0.

Secara rasmi kita mempunyai teorem berikut:

Teorem (syarat yang mencukupi untuk kewujudan)

Sekiranya f adalah fungsi berterusan untuk t> 0 dan eksponen c, maka terdapat perubahan Laplace untuk s> c.

Adalah penting untuk menyerlahkan bahawa ini adalah keadaan kecukupan, ia.

Contohnya ialah fungsi f (t) = t^-1/2 yang tidak berterusan di bahagian untuk t ≥ 0 tetapi transformasi Laplace wujud.

Laplace transform beberapa fungsi asas

Jadual berikut menunjukkan perubahan Laplace fungsi yang paling biasa.

Boleh melayani anda: keseluruhan nombor

Sejarah Transform Laplace

Transformasi Laplace berhutang namanya kepada Pierre-Simon Laplace, ahli matematik, dan ahli astronomi Perancis dan ahli teori yang dilahirkan pada tahun 1749 dan meninggal dunia pada tahun 1827. Kemasyhurannya sedemikian rupa sehingga dia dikenali sebagai Newton di Perancis.

Pada tahun 1744, Leonard Euler (1707-1783) mendedikasikan pengajiannya untuk integral dengan bentuknya

Sebagai penyelesaian persamaan pembezaan biasa, tetapi dengan cepat meninggalkan penyelidikan ini. Kemudian, Joseph Louis LaGrange (1736-1813), yang mengagumi Euler banyak, juga menyiasat jenis ini yang penting dan berkaitan dengan teori kebarangkalian.

1782, Laplace

Pada tahun 1782 Laplace mula mempelajari integral ini sebagai penyelesaian kepada persamaan pembezaan dan, menurut ahli sejarah, pada tahun 1785 dia memutuskan untuk merumuskan semula masalah itu, yang kemudiannya melahirkan perubahan Laplace seperti yang difahami hari ini.

Setelah diperkenalkan dalam bidang teori kebarangkalian, ia tidak begitu menarik minat saintis pada masa ini, dan hanya dilihat sebagai objek matematik hanya dari kepentingan teoritis.

Heaviside Oliver

Ia berada di pertengahan abad ke -19 ketika jurutera Inggeris Oliver Heaviside mendapati bahawa pengendali pembezaan boleh dianggap sebagai pembolehubah algebra, dengan itu memberikan permohonan moden mereka ke Laplace Transforms.

Oliver Heaviside adalah ahli fizik, jurutera elektrik dan matematik Inggeris yang dilahirkan pada tahun 1850 di London dan meninggal dunia pada tahun 1925. Semasa cuba menyelesaikan masalah persamaan pembezaan yang digunakan untuk teori getaran, dan menggunakan kajian Laplace, ia mula membentuk aplikasi moden Lapla Transforms.

Hasilnya yang terdedah oleh heaviside tersebar pesat.

Walau bagaimanapun, kegunaan kerja berat ketika menyelesaikan persamaan fizik menyebabkan kaedah mereka menjadi popular antara ahli fizik dan jurutera.

Walaupun kemunduran ini dan selepas beberapa dekad percubaan gagal, pada awal abad ke -20 ia dapat diberikan justifikasi yang ketat kepada peraturan operasi yang ditubuhkan oleh Heaviside.

Percubaan ini membuahkan hasil terima kasih kepada usaha pelbagai ahli matematik, seperti Bromwich, Carson, van der Pol, antara lain.

Laplace Transform Properties

Di antara sifat -sifat transformasi Laplace, yang berikut menonjol:

Linearity

Biarkan C1 dan C2 tetap dan fungsi F (t) dan G (t) yang mengubah Laplace masing -masing adalah F (s) dan G (s), maka ia harus:

Oleh kerana harta ini dikatakan bahawa transformasi Laplace adalah pengendali linear.

Contoh:

Teorem Terjemahan Pertama

Sekiranya ia berlaku:

Dan 'A' adalah nombor sebenar, maka:

Contoh:

Seperti transformasi Laplace de cos (2t) = s/(s^2 + 4) maka:

Teorem Terjemahan Kedua

Yeah

Jadi

Contoh:

Jika f (t) = t^3, maka f (s) = 6/s^4. Dan oleh itu, transformasi

adalah g (s) = 6e^-2s/s^4

Perubahan skala

Yeah

Dan 'a' adalah yang berbeza dari sifar, kita harus

Contoh:

Seperti transformasi f (t) = sen (t) adalah f (s) = 1/(s^2 + 1)

Boleh melayani anda: notasi yang dibangunkan: apakah, contoh dan latihan

Laplace berubah dari derivatif

Jika f, f ', f ", ..., f^(N) Mereka berterusan untuk t ≥ 0 dan eksponen dan f^(N)(t) berterusan di bahagian untuk t ≥ 0, maka

Transformasi Laplace Integral

Yeah

Jadi

Pendaraban oleh tⁿ

Sekiranya kita mesti

Jadi

Bahagian oleh t

Sekiranya kita mesti

Jadi

Fungsi berkala

Biarkan f menjadi fungsi berkala dengan tempoh t> 0, iaitu, f (t +t) = f (t), kemudian

Tingkah laku f (s) apabila s cenderung ke tak terhingga

Sekiranya f berterusan di bahagian dan perintah eksponen dan

Jadi

Songsang berubah

Apabila kita menggunakan transformasi Laplace ke fungsi f (t) kita memperoleh f (s), yang mewakili perubahan tersebut. Dengan cara yang sama kita boleh mengatakan bahawa f (t) adalah transformasi Laplace songsang F (s), dan ditulis sebagai

Kami tahu bahawa Laplace mengubah f (t) = 1 dan g (t) = t adalah f (s) = 1/s dan g (s) = 1/s² masing -masing, oleh itu kita harus

Beberapa Laplace biasa berubah adalah yang berikut

Di samping itu, transformasi Laplace terbalik adalah linear, iaitu, ia dipenuhi bahawa

Senaman

Cari

Untuk menyelesaikan latihan ini, kita mesti sepadan dengan fungsi F (s) dengan beberapa jadual sebelumnya. Dalam kes ini, jika kita mengambil n + 1 = 5 dan menggunakan sifat linearity transformasi terbalik, kita membiak dan membahagikan dengan 4! Mendapat

Untuk transformasi songsang kedua, kami menggunakan pecahan separa untuk menulis semula fungsi f (s) dan kemudian harta linearity, memperoleh

Seperti yang dapat kita lihat dari contoh -contoh ini, adalah perkara biasa bahawa fungsi f (s) yang dinilai tidak sepadan dengan tepat mana -mana fungsi yang diberikan dalam jadual. Untuk kes -kes ini, seperti yang diperhatikan, sudah cukup untuk menulis semula fungsi sehingga mencapai bentuk yang betul.

Laplace Transform Applications

Persamaan pembezaan

Aplikasi utama yang dimiliki Laplace adalah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan.

Menggunakan harta transformasi derivatif, jelas bahawa

Dan n-1 yang dinilai pada t = 0.

Harta ini menjadikannya berubah.

Contoh berikut menunjukkan cara menggunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan pembezaan.

Contoh 1

Memandangkan masalah nilai awal berikut

Gunakan transformasi Laplace untuk mencari penyelesaiannya.

Kami menggunakan perubahan Laplace kepada setiap ahli persamaan pembezaan

Untuk harta transformasi derivatif yang kita ada

Semasa membangunkan semua ungkapan dan penjelasan dan (s) kita ada

Menggunakan pecahan separa untuk menulis semula sebelah kanan persamaan yang kami perolehi

Akhirnya, matlamat kami adalah untuk mencari fungsi dan (t) yang memenuhi persamaan pembezaan. Menggunakan Laplace songsang mengubahnya menghasilkan

Contoh 2

Menyelesaikan

Seperti dalam kes sebelumnya, kami memohon perubahan pada kedua -dua belah persamaan dan istilah yang berasingan.

Dengan cara ini kita mempunyai hasilnya

Menggantikan dengan nilai awal yang diberikan dan penjelasan dan (s)

Menggunakan pecahan mudah kita dapat menulis semula bagaimana persamaannya mengikuti

Dan menerapkan perubahan terbalik Laplace memberi kita hasilnya

Dalam contoh -contoh ini kesimpulan yang salah dapat dicapai bahawa kaedah ini tidak jauh lebih baik daripada kaedah tradisional untuk menyelesaikan persamaan pembezaan.

Boleh melayani anda: perkadaran

Kelebihan yang ditawarkan oleh transformasi Laplace adalah bahawa tidak perlu.

Di samping itu, apabila menyelesaikan masalah nilai awal dengan kaedah ini, dari awal kita menggunakan keadaan awal, jadi tidak perlu melakukan pengiraan lain untuk mencari penyelesaian tertentu.

Sistem Persamaan Pembezaan

Transform Laplace juga boleh digunakan untuk mencari penyelesaian untuk persamaan pembezaan biasa serentak, seperti yang ditunjukkan dalam contoh berikut.