Trinomial

Trinomial adalah polinomial dengan tiga istilah. Sumber: f. Zapata.

Apa itu Trinomial?

Trinomial adalah polinomial yang terdiri daripada jumlah yang ditunjukkan dari tiga istilah yang berbeza, ia. Mereka adalah polinomial yang sangat biasa dalam algebra.

Beberapa contoh trinomial adalah seperti berikut:

• x² + 5x - 3 (Gred 2)
• x- x² - 6x³  (Trinomial gred 3)
• -7xy² + 4x²y - x³ (Trinomial Ijazah Mutlak 3, Gred 3 dalam X dan Gred 2 dalam Y)

Yang pertama dan kedua dari trinomial ini adalah satu pembolehubah, dalam hal ini pembolehubah "x", sementara trinomial ketiga adalah dua pembolehubah "x" dan "y".

Contoh trinomial

Terdapat beberapa jenis trinomial yang dibentangkan dalam pelbagai aplikasi, antaranya:

Trinomial persegi sempurna

Trinomial persegi yang sempurna diperoleh ketika membangunkan kuadrat jumlah atau persegi perbezaan dari segi. Kedua -dua perkembangan itu dikenali sebagai produk yang luar biasa.

Pertama sekali anda mempunyai kuadrat dari jumlah: (a + b)². Semasa membangunkan ungkapan ini yang anda dapat:

(A + b)² = (a + b) × (a + b) = a² + A ∙ B + B ∙ A + B²

Kedua -dua istilah utama adalah sama dan dikurangkan kepada 2a ∙ b, oleh itu:

(A + b)² = a² + 2a ∙ b + b²

Trinomial a² + 2a ∙ b + b² Mengandungi dua dataran yang sempurna: a² dan b², Walaupun baki istilah adalah sama dengan produk ganda dari dua syarat binomial asal.

Dataran perbezaan adalah trinomial yang serupa dengan yang sebelumnya, kecuali tanda negatif yang mempengaruhi produk berganda dari terma binomial asal:

(A - b)² = (a - b) × (a - b) = a² - A ∙ B - B ∙ A + B²

Sekali lagi istilah yang sama dikurangkan kepada satu istilah dan diperolehi:

Boleh melayani anda: teorem moivre

(A - b)² = a² - 2a ∙ b + b²

Tidak lagi mungkin untuk mengurangkan hasilnya.

Produk -produk yang terkenal, mudah dipangkas ini, mengaitkan trinomial persegi yang sempurna dengan kuadrat binomial yang sepadan, sebagai contoh:

• (x - 5)² = x² - 10 ∙ x + 25
• (2y + 3)² = 4y² + 12 ∙ y + 9

Harus diperhatikan bahawa tidak semua trinomial persegi sempurna adalah pembolehubah atau gred 2. Berikut adalah contoh -contoh jenis trinomial ini dengan dua dan lebih banyak pembolehubah dan juga dengan darjah yang berbeza 2:

• (x + y)² = x² + 2 ∙ xy + dan²
• (2Z² + dan)² = 4z⁴ + 4 ∙ z²dan + dan²
• (5xy³ - z)² = 25x²dan⁶ - 10 XY³z + z²

Trinomial bentuk x² + bx + c

Dalam trinomial ini hanya satu istilah yang sempurna persegi, dalam kes ini ia adalah x² dan pekali berangka ialah 1. Istilah b ⋅x berikut adalah linear dan istilah terakhir adalah istilah bebas. Contoh jenis trinomial ini adalah:

• x² +  5 ∙ x + 6 (b = 5; c = 6)
• dan² - 4 ∙ y + 3 (b = -4; c = 3)
• m² - 12 ∙ m + 11 (b = -12; c = 11)

Trinomial bentuk kapak² + bx + c

Ia menyerupai yang sebelumnya, kecuali pekali istilah kuadrat adalah berbeza dari 1, seperti dalam trinomial ini:

• 3x² - 5 ∙ x - 2 (a = 3; b = -5; c = -2)
• 6y² +  7 ∙ y + 2 (a = 6; b = 7; c = 2)
• 2m² + 29 ∙ m + 90 (a = 2; b = 29; c = 90)

Pemfaktoran trinomial

Operasi algebra yang sangat kerap adalah pemfaktoran trinomial, yang terdiri daripada menulisnya sebagai hasil dari faktor -faktor yang berbeza 1. Terdapat prosedur khusus untuk setiap trinomial yang diterangkan.

Pemfaktoran trinomial persegi sempurna

Mereka boleh dipertimbangkan dengan pemeriksaan dari produk yang ketara:

(A + b)² = a² + 2a ∙ b + b²

(A - b)² = a² - 2a ∙ b + b²

Langkah -langkah untuk faktor trinomial persegi yang sempurna adalah:

1.- Sahkan bahawa trinomial mengandungi dua dataran yang sempurna untuk² dan b², Kedua -dua istilah mesti didahului oleh tanda yang sama, biasanya tanda +. Sekiranya kedua -duanya didahului oleh tanda - ini boleh menjadi faktor tanpa masalah.

Boleh melayani anda: trinomial persegi sempurna

2.- Tentukan nilai a dan b dengan mengekstrak akar kuadrat a² dan b².

3.- Menyokong bahawa istilah ketiga adalah produk ganda a dan b.

Pemfaktoran trinomial bentuk x² + bx + c

Ini adalah trinomial dengan istilah kuadrat yang unik, untuk faktor yang ditulis sebagai dua produk binomial:

x² + Bx + c = (x + r) ∙ (x + s)

Di mana r dan s adalah dua nombor untuk ditentukan.

Perhatikan bahawa apabila membangunkan sebelah kanan, melalui harta pengedaran, ia diperolehi:

(x + r) ∙ (x + s) = x² + S ∙ x + r ∙ x + r ∙ s = x² + (R + s) ∙ x + r ∙ s

Jadi, supaya ungkapan ini mencerminkan trinomial asal, nombor u dan v mesti memenuhi syarat -syarat berikut:

R ∙ s = c
R + s = b

Beberapa trinomial dari bentuk x² + BX + C Jangan mengakui pemfaktoran dengan kaedah ini, namun mereka boleh menjadi faktor dengan bantuan formula umum atau formula pelarut.

Pemfaktoran trinomial bentuk kapak² + bx + c

Prosedur untuk faktor jenis trinomial ini adalah:

1. Melipatgandakan dan membahagikan trinomial dengan pekali "a"
2. Buat produk antara "A" dan istilah pertama dan ketiga trinomial, meninggalkan produk tanpa membuat penggal kedua.
3. Prosedur yang diterangkan dalam bahagian sebelumnya digunakan untuk trinomial, iaitu, ia ditulis sebagai hasil dari dua binomial, tetapi dalam hal ini istilah pertama setiap binomial bukan "x", tetapi "A ∙ x".
4. Dua nombor n r dan s dicari bahawa ∙ c = r ∙ s dan juga r + s = b
5. Akhirnya, binomial, lihat Latihan yang diselesaikan 3 dipermudahkan sejauh mungkin.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Cari trinomial yang menghasilkan ketika membangunkan produk yang luar biasa berikut: (4x - 3y)²

• Penyelesaian

Formula produk yang ketara untuk persegi perbezaan digunakan, mengakibatkan:

Ia dapat melayani anda: koordinat segi empat tepat: contoh dan latihan diselesaikan

(4x - 3y)² = (4x)² - 2 ∙ 4x ∙ 3y + (3y)² = 16x² - 24 ∙ xy + 9y²

Latihan 2

Fakta trinomial berikut:

x² +  5x + 6

• Penyelesaian

Ini adalah trinomial bentuk x² + Bx + c, dengan b = 5 dan c = 6, jadi anda boleh cuba faktor dengan prosedur yang diterangkan di atas. Untuk melakukan ini, anda perlu mencari dua nombor R dan S yang didarabkan diperoleh 6 dan ditambah dalam 5:

R ∙ S = 6 dan R + S = 5.

Angka -angka yang dicari adalah r = 3 dan s = 2, kerana mereka memenuhi syarat -syarat ini, oleh itu:

x² +  5x + 6 = (x + 3) (x + 2)

Ia dibiarkan sebagai latihan bagi pembaca untuk mengesahkan bahawa membangunkan sebelah kanan mudah dicapai ke trinomial asal.

Latihan 3

Faktor 3x² - 5x - 2.

• Penyelesaian

Ini adalah trinomial bentuk kapak² + bx + c, dengan a = 3, b = -5 dan c = -2. Prosesnya ialah:

-Multiply dan Bahagikan dengan A = 3:

Buat produk "A" untuk penggal pertama dan ketiga, meninggalkan produk yang ditunjukkan dengan istilah kedua:

Sekarang anda perlu menulis dua produk binomial, yang istilah pertama adalah 3x dan cari dua nombor R dan S seperti itu:

• Apabila didarabkan dalam -6
• Dan apabila ditambah secara algebra ia diperoleh -5

Nombor ini r = -6 dan s = 1:

Akhirnya, produk binomial yang dihasilkan dipermudahkan:

Latihan yang dicadangkan

Faktor trinomial berikut: ²

1. x² - 14x + 49
2. P² + 12pq + 36q²
3. 12x² - x - 6
4. Z² + 6z + 8

Rujukan

1. Baldor. 1977. Algebra Elementary. Edisi Kebudayaan Venezuela.
2. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.
4. Zill, d. 1984. Algebra dan trigonometri. 1st. Edisi. McGraw Hill.
5. Zill, d. 2008. Preccculment dengan kemajuan pengiraan. Ke -4. Edisi. McGraw Hill.