Sifat asas, contoh dan latihan ortonormal

A Asas Ortonormal Ia dibentuk dengan vektor tegak lurus antara satu sama lain dan modulnya juga bernilai 1 (vektor unit). Ingat bahawa pangkalan B di ruang vektor V, Ia ditakrifkan sebagai satu set vektor bebas linear yang mampu menjana ruang ini.

Sebaliknya, ruang vektor adalah entiti matematik abstrak antara unsur -unsurnya adalah vektor, umumnya dikaitkan dengan magnitud fizikal seperti kelajuan, kekuatan dan anjakan atau juga matriks, polinomial dan fungsi.

Rajah 1. Asas orthonormal dalam pesawat. Sumber: Wikimedia Commons. Quartl [CC BY-SA (https: // creativeCommons.Org/lesen/by-sa/3.0)].

Vektor mempunyai tiga elemen tersendiri: magnitud atau modul, arah dan makna. Pangkalan ortonormal amat berguna untuk mewakili dan beroperasi dengan mereka, kerana mana -mana vektor yang dimiliki oleh ruang vektor tertentu V, Ia boleh ditulis sebagai gabungan linear vektor yang membentuk asas ortonormal.

Dengan cara ini, operasi antara vektor, seperti jumlah, penolakan dan pelbagai jenis produk yang ditakrifkan dalam ruang tersebut dianalisis secara analitik.

Antara asas fizik yang paling banyak digunakan ialah asas yang dibentuk oleh vektor unit Yo, J dan k Mewakili tiga arah tersendiri ruang tiga dimensi: tinggi, lebar dan kedalaman. Vektor ini juga dikenali dengan nama Vektor kanonik kesatuan.

Jika, sebaliknya, vektor bekerja di atas kapal terbang, ia akan cukup dengan dua daripada tiga komponen ini, sementara hanya satu.

[TOC]

Base Properties

1- Pangkalan B Ia adalah set vektor yang paling kecil yang menjana ruang vektor V.

2- unsur-unsur B Mereka bebas secara linear.

3- Mana-mana asas B ruang vektor V, membolehkan untuk menyatakan semua vektor V Sebagai gabungan linear dan bentuk ini unik untuk setiap vektor. Oleh itu a B Ia juga dikenali sebagai Sistem penjana.

4- Ruang vektor yang sama V boleh mempunyai pangkalan yang berbeza.

Boleh melayani anda: daya sentrifugal: formula, bagaimana ia dikira, contoh, latihan

Contoh pangkalan

Di bawah beberapa contoh pangkalan dan pangkalan orthonormal secara umum:

Asas kanonik di ℜ ⁿ

Juga dipanggil asas semula jadi atau asas standard ℜ ⁿ, Di mana ℜ ⁿ Ia adalah ruang n-dimensi, Sebagai contoh, ruang tiga dimensi ialah ℜ ³. Kepada nilai n Ia dikenali sebagai dimensi ruang vektor dan menandakan sebagai Dim (v).

Semua vektor yang tergolong dalam ℜ ⁿ Mereka diwakili oleh N-usa Mengarahkan. Untuk ruang ℜⁿ, Pangkalan kanonik adalah:

dan₁ =; dan₂ =; dan_n =

Dalam contoh ini, kami telah menggunakan notasi dengan kurungan atau "kurungan" dan berani untuk vektor unit dan₁, dan₂, dan₃…

Asas kanonik di ℜ³

Vektor keluarga Yo, J dan k Mereka mengakui perwakilan yang sama dan mereka cukup untuk tiga untuk mewakili vektor dalam ℜ ³:

Yo =; J =;  k =

Ini bermakna asas boleh dinyatakan seperti berikut:

B = ; ;

Untuk mengesahkan bahawa mereka bebas secara linear, penentu yang dibentuk dengan mereka vektor adalah tidak -null dan juga sama dengan 1:

Ia juga mungkin untuk menulis mana -mana vektor yang dimiliki oleh ℜ ³ Sebagai gabungan linear dari mereka. Sebagai contoh, daya yang komponen segi empat tepat adalah f_x = 4 n, f_dan = -7 n dan f_z= 0 n akan ditulis dalam bentuk vektor seperti berikut:

F = N = 4Yo -7J + 0k N.

Oleh itu Yo, J dan k membuat sistem penjana ℜ ³.

Asas ortonormal lain di ℜ³

Pangkalan standard yang diterangkan dalam bahagian sebelumnya bukanlah satu -satunya asas ormormal dalam ℜ³. Di sini kita mempunyai contoh pangkalan:

B₁ = ; ;

B₂ = ; ;

Ia dapat ditunjukkan bahawa pangkalan -pangkalan ini adalah orthonormal, kerana ini kita ingat keadaan yang mesti dipenuhi:

Boleh melayani anda: optik bergelora

-Vektor yang membentuk pangkalan mestilah ortogonal antara satu sama lain.

-Masing -masing mesti bersatu padu.

Kita dapat mengesahkannya mengetahui bahawa penentu yang dibentuk oleh mereka mestilah tidak -tidak -null dan sama dengan 1.

Asas b₁ Ia adalah tepatnya koordinat silinder ρ, φ dan z, cara lain untuk mengekspresikan vektor di ruang angkasa.

Rajah 2. Koordinat silinder. Sumber: Wikimedia Commons. Buff Math [CC BY-S (https: // creativeCommons.Org/lesen/by-sa/4.0)].

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Tunjukkan bahawa asas b = ; ; adalah ortonormal.

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahawa vektor berserenjang antara satu sama lain, kami akan menggunakan produk skalar, juga dipanggil titik dalaman atau produk dua vektor.

Biarkan Dua Vektor atau dan v, Produk skalar anda ditakrifkan oleh:

atau • V = atau.v. cosθ

Untuk membezakan vektor dari modul mereka, kami akan menggunakan berani untuk huruf pertama dan normal untuk yang terakhir. θ adalah sudut antara atau dan v, Oleh itu jika mereka berserenjang, ini bermakna θ = 90º dan produk skalar adalah tidak sah.

Sebagai alternatif, jika vektor diberikan dari segi komponen mereka: atau = x, atau_dan,atau_z > dan v = x, v_dan,v_z >, produk skalar kedua -duanya, yang komutatif, dikira dengan cara ini:

atau • V = atau_x .v_x + atau_dan .v_dan + atau_z .v_z

Dengan cara ini, produk skalar antara setiap pasangan vektor adalah, masing -masing:

i) • = (3/5).(-4/5) + (4/5).((3/5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0

Ii) • = 0

iii) • = 0

Untuk keadaan kedua modul setiap vektor dikira, yang diperolehi oleh:

│u │ = √ (u_x² + atau_dan² + atau_z²)

Oleh itu, modul setiap vektor adalah:

│ = √ [(3/5)² + (4/5)²  + 0²)] = √ [(9/25) + (16/25)] = √ (25/25) = 1

│ = √ [(-4/5)² + (3/5)²  + 0²)] = √ [(16/25) + (9/25)] = √ (25/25) = 1

Ia boleh melayani anda: Keadaan Keseimbangan Kedua: Penjelasan, Contoh, Latihan

│ = √ [0² + 0²  + 1²)] = 1

Oleh itu ketiga adalah vektor unit. Akhirnya, penentu mereka membentuk tidak batal dan sama dengan 1:

- Latihan 2

Tulis koordinat vektor W = Dari segi pangkalan sebelumnya.

Penyelesaian

Untuk berbuat demikian, teorem berikut digunakan:

Biarkan B = v₁, v₂, v₃,… v_n Pangkalan orthonormal di ruang V dengan produk domestik, vektor W Ia diwakili oleh B seperti berikut:

W = <W•v₁> v₁ + <W•v₂> v₂ +<W•v₃> v₃ +… <W•v_n> v_n

Ini bermakna kita boleh menulis vektor di pangkalan B, melalui pekali <W•v₁>, <W•v₂>, ..  <W•v_n>, yang mana anda perlu mengira skalar yang ditunjukkan:

• = (2).(3/5) + (3).(4/5) + 1.0 = (6/5) + (12/5) = 18/5

• = (2).(-4/5) + (3).(3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

• = 1

Dengan produk skalar yang diperoleh, matriks dibina, dipanggil Menyelaras matriks daripada w.

Oleh itu koordinat vektor W Di pangkalan B mereka dinyatakan melalui:

[W]_B= [(18/5); (1/5); 1]

Matriks koordinat bukan vektor, kerana vektor tidak sama dengan koordinatnya. Ini hanya satu set nombor yang berfungsi untuk menyatakan vektor pada asas tertentu, bukan vektor seperti itu. Mereka juga bergantung pada asas yang dipilih.

Akhirnya, mengikuti teorem, vektor W akan dinyatakan seperti berikut:

W = (18/5) v₁ + (1/5) v₂ + v₃

Dengan: v₁ =; v₂ =; v₃ =, Iaitu, vektor asas B.

Rujukan

1. Larson, r. Asas aljabar linear. 6th. Edisi. Pembelajaran Cengage.
2. Larson, r. 2006. Pengiraan. Ke -7. Edisi. Jilid 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Algebra linear. Topik 10. Pangkalan Ortonormal. Pulih dari: ocw.UC3m.adalah.
4. Sevilla University. Koordinat silinder. Asas vektor. Pulih dari: Laplace.kita.adalah.
5. Wikipedia. Asas Ortonormal. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.org.