Pengiraan pendekatan menggunakan perbezaan

Pendekatan dalam matematik adalah nombor yang bukan nilai tepat sesuatu, tetapi hampir dengan ini yang dianggap berguna seperti nilai yang tepat.

Apabila dalam pendekatan matematik dilakukan, ia adalah secara manual (atau kadang -kadang mustahil) untuk mengetahui nilai yang tepat dari apa yang anda mahukan.

Alat utama ketika bekerja dengan pendekatan adalah pembezaan fungsi. Pembezaan fungsi F, yang dilambangkan oleh ΔF (x), tidak lebih daripada derivatif fungsi F didarab dengan perubahan dalam pemboleh ubah bebas, iaitu, ΔF (x) = f '(x)*Δx.

Kadang -kadang df dan dx digunakan bukannya ΔF dan Δx.

Pendekatan menggunakan perbezaan

Formula yang digunakan untuk melakukan penghampiran melalui perbezaan timbul hanya dari definisi derivatif fungsi sebagai had.

Formula ini diberikan oleh:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)*(x-x0) = f (x0) + f' (x0)*Δx.

Di sini difahami bahawa Δx = x-x0, oleh itu, x = x0+Δx. Menggunakan ini formula boleh ditulis semula sebagai

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0)*Δx.

Harus diingat bahawa "X0" bukan nilai sewenang -wenangnya, tetapi ia adalah nilai yang f (x0) mudah diketahui; Di samping itu, "f (x)" hanyalah nilai yang kita mahu mendekati.

Adakah terdapat pendekatan yang lebih baik?

Jawapannya ya. Yang sebelumnya adalah yang paling mudah dari pendekatan yang disebut "Pendekatan Linear".

Untuk pendekatan berkualiti yang lebih baik (kesilapan yang dibuat lebih rendah), polinomial dengan lebih banyak derivatif yang disebut "polinomial Taylor" digunakan, serta kaedah berangka lain seperti kaedah Newton-Raphson antara lain antara lain.

Strategi

Strategi yang perlu diikuti adalah:

- Pilih fungsi F yang mencukupi untuk menjalankan penghampiran dan nilai "x" yang f (x) adalah nilai yang anda mahu anggaran.

- Pilih nilai "x0", dekat dengan "x", sehingga f (x0) mudah dikira.

- Hitung Δx = x-x0.

- Kirakan fungsi yang diperoleh dan f '(x0).

- Ganti data dalam formula.

Latihan penghampiran yang diselesaikan

Dalam apa yang berterusan terdapat beberapa latihan di mana perkiraan dilakukan menggunakan perbezaan.

1. Latihan pertama

Anggaran √3.

Penyelesaian

Mengikuti strategi anda mesti memilih fungsi yang mencukupi. Dalam kes ini dapat dilihat bahawa fungsi yang akan dipilih mestilah f (x) = √x dan nilai untuk anggaran adalah f (3) = √3.

Sekarang anda mesti memilih nilai "x0" dekat dengan "3" sehingga f (x0) mudah dikira. Jika "x0 = 2" dipilih, ia harus "x0" hampir "3" tetapi f (x0) = f (2) = √2 tidak mudah dikira.

Nilai "x0" yang sesuai adalah "4", kerana "4" hampir "3" dan juga f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Jika "x = 3" dan "x0 = 4", maka Δx = 3-4 = -1. Sekarang derivatif f dikira. Iaitu, f '(x) = 1/2*√x, supaya f' (4) = 1/2√4 = 1/2*2 = 1/4.

Menggantikan semua nilai dalam formula diperoleh:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4)*( - 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Sekiranya kalkulator digunakan, ia diperolehi bahawa √3 ≈1.73205 ... Ini menunjukkan bahawa hasil sebelumnya adalah penghampiran yang baik dari nilai sebenar.

2. Latihan kedua

Anggaran √10.

Penyelesaian

Seperti sebelum ia dipilih sebagai fungsi f (x) = √x dan dalam kes ini x = 10.

Nilai x0 yang mesti dipilih pada kesempatan ini ialah "x0 = 9". Ia perlu.

Semasa menilai dalam formula ia diperolehi

√10 = f (10) ≈ 3 + 1*1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ..

Menggunakan kalkulator ia diperolehi bahawa √10 ≈ 3.1622776 ... di sini anda juga dapat melihat bahawa pendekatan yang baik telah diperolehi sebelum ini.

3. Latihan ketiga

Kira -kira ³√10, di mana ³√ menandakan akar padu.

Penyelesaian

Jelas, fungsi yang harus digunakan dalam latihan ini adalah f (x) = ³√x dan nilai "x" mestilah "10".

Nilai dekat dengan "10" sehingga akar padu diketahui adalah "x0 = 8". Maka anda perlu Δx = 10-8 = 2 dan f (x0) = f (8) = 2. Anda juga perlu f '(x) = 1/3*³√x², dan akibat /12.

Menggantikan data dalam formula ia diperolehi:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12)*2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.16666 .. .

Kalkulator mengatakan bahawa ³√10 ≈ 2.15443469 ... Oleh itu, penghampiran yang dijumpai adalah baik.

4. Latihan keempat

LN Seramai (1.3), di mana "ln" menandakan fungsi logaritma semulajadi.

Penyelesaian

Pertama ia dipilih sebagai fungsi f (x) = ln (x) dan nilai "x" adalah 1.3. Sekarang, mengetahui sedikit mengenai fungsi logaritma, anda boleh tahu bahawa ln (1) = 0, dan juga "1" hampir dengan "1.3 ". Oleh itu, "x0 = 1" dipilih dan sebagainya Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Sebaliknya, f '(x) = 1/x, supaya f' (1) = 1. Semasa menilai dalam formula yang diberikan, anda perlu:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1*0.3 = 0.3.

Semasa menggunakan kalkulator, anda perlu ln (1.3) ≈ 0.262364 ... supaya penghampiran dibuat adalah baik.