Fizikal

Ciri dan contoh ellipsoid

Ciri dan contoh ellipsoid

Dia ellipsoid Ia adalah permukaan di ruang yang dimiliki oleh kumpulan permukaan quadric dan persamaan umumnya adalah bentuk:

Kapak2 + Oleh2 + Cz2 + DXY + EXZ + FYZ + GX + HY + IZ + J = 0

Ia adalah setara tiga elips, dicirikan dengan mempunyai jejak elips dan bulat dalam beberapa kes khas. Jejak adalah lengkung yang diperoleh ketika bersilang ellipsoid dengan satah.

Rajah 1. Tiga ellipsoids yang berbeza: di atas sfera di mana tiga separuh -semi adalah sama, ke kiri spheroid, dengan dua setengah setengah -satu -satu -axis dan akhirnya ke kanan, spheroid triaxial, dengan tiga paksi panjang yang berbeza. Sumber: Wikimedia Commons. AG2GAEH/CC BY-S (https: // creativeCommons.Org/lesen/by-sa/4.0)

Sebagai tambahan kepada ellipsoid, terdapat lima kuadrik lain: hyperboloid satu daun dan dua daun, dua jenis paraboloid (hiperbolik dan elips) dan kon elips. Jejaknya juga bersuara.

Ellipsoid juga boleh dinyatakan oleh persamaan standard dalam koordinat Cartesian. ELLIPSOID memberi tumpuan kepada asal (0.0.0) dan dinyatakan dengan cara ini, mengingatkan elips, tetapi dengan istilah tambahan:

Nilai -nilai ke, b dan c Mereka adalah nombor sebenar lebih besar daripada 0 dan mewakili tiga ellipsoid separuh.

[TOC]

Ciri -ciri ellipsoid

- Persamaan standard 

Persamaan standard dalam koordinat Cartesian untuk elips yang difokuskan pada titik (H, k, m) adalah:

- Persamaan parametrik ellipsoid

Dalam koordinat sfera, ellipsoid boleh digambarkan seperti berikut:

x = dosa θ. cos φ

y = b sin θ. dosa φ

Z = c cos θ

Peralihan ellipsoid masih A, B dan C, manakala parameter adalah sudut θ dan φ dari angka berikut:

Rajah 2. Sistem koordinat sfera. Ellipsoid boleh diasingkan menggunakan sudut yang ditunjukkan theta dan phi sebagai parameter. Sumber: Wikimedia Commons. Andeggs / Pub Domain.

- Jejak ellipsoid

Persamaan umum permukaan di ruang adalah f (x, y, z) = 0 dan jejak permukaan adalah lengkung:

Boleh melayani anda: magnitud vektor

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- Z = c; F (x, y, c) = 0

Dalam kes ellipsoid, lengkung tersebut adalah elips dan kadang -kadang lilitan.

- Kelantangan

Jilid V dari ellipsoid diberikan oleh (4/3) π kali produk tiga setengahnya:

V = (4/3) π. ABC

Kes ellipsoid khas

-Ellipsoid menjadi sfera apabila semua separuh bersaiz adalah saiz yang sama: a = b = c ≠ 0. Ini masuk akal, kerana ellipsoid adalah seperti sfera yang telah diregangkan secara berbeza di setiap paksi.

-Spheroid adalah ellipsoid di mana dua semijen adalah sama dan yang ketiga adalah berbeza, contohnya ia boleh a = b ≠ c.

Spheroid juga dipanggil revolusi ellipsoid, kerana ia boleh dihasilkan oleh elips berputar di sekitar paksi.

Sekiranya paksi giliran bertepatan dengan paksi utama, spheroid adalah Prolisi, Tetapi jika ia bertepatan dengan paksi kecil, ia adalah oblate:

Rajah 3. Spheroid kiri ke kiri dan spheroid prolition ke kanan. Sumber: Wikimedia Commons.

Ukuran pemadatan spheroid (eliptik) diberikan oleh perbezaan panjang antara kedua -dua separuh, yang dinyatakan dalam bentuk pecahan, iaitu, ia adalah unit yang meratakan, yang diberikan oleh:

F = (a - b) / a

Dalam persamaan ini, A mewakili separa -senije dan b separa -axis kecil, ingat bahawa paksi ketiga adalah sama dengan mana -mana untuk spheroid. Nilai f adalah antara 0 dan 1 dan untuk spheroid ia harus lebih besar daripada 0 (jika sama dengan 0 kita hanya akan mempunyai sfera).

Boleh melayani anda: Bethelgeuse

Ellipsoid rujukan

Planet dan secara umum bintang -bintang, biasanya tidak sempurna sfera, kerana pergerakan putaran di sekeliling paksi mereka memancarkan badan di tiang dan bassinal di Ecuador.

Itulah sebabnya bumi ternyata seperti spheroid oblate, walaupun tidak seperti dibesar -besarkan seperti angka sebelumnya, dan sebaliknya gergasi Saturnus gas adalah yang paling pahit planet dalam sistem suria.

Oleh itu, cara yang lebih realistik untuk mewakili planet, adalah untuk mengandaikan bahawa mereka seperti spheroid atau ellipsoid revolusi, yang semi -semi -major adalah radio khatulistiwa dan semi -axis minor jejari polar.

Langkah -langkah berhati -hati yang dibuat di dunia telah dibenarkan untuk membina Rujukan ellipsoid bumi sebagai bentuk yang paling tepat untuk bekerja secara matematik.

Bintang juga mempunyai pergerakan putaran yang memberi mereka lebih kurang bentuk yang diratakan. Bintang Aternar Cepat, bintang paling terang kelapan di langit malam, di buruj Selatan Eridanus sangat elips apabila membandingkannya dengan majoriti. Ia adalah 144 tahun cahaya dari kita.

Pada masa yang lain, beberapa tahun yang lalu, para saintis memberikan objek yang paling sfera yang ditemui setakat ini: bintang Kepler 11145123, 5000 tahun cahaya, dengan saiz dua kali dari matahari kita dan perbezaan antara separuh daripada hanya 3 km. Seperti yang dijangkakan, ia juga menjadi lebih perlahan.

Bagi bumi, ia bukan spheroid yang sempurna kerana permukaannya yang lasak dan variasi graviti tempatan. Itulah sebabnya terdapat lebih daripada satu spheroid rujukan yang tersedia dan di setiap laman web yang paling sesuai untuk geografi tempatan dipilih.

Ia dapat melayani anda: apakah lembah dalam fizik? (Dengan contoh)

Bantuan satelit tidak ternilai dalam mewujudkan model yang semakin tepat dari bentuk bumi, terima kasih kepada mereka yang terkenal sebagai contoh bahawa Kutub Selatan lebih dekat dengan Ecuador daripada Kutub Utara.

Rajah 4. Haumea, planet kerdil transneptunian mempunyai bentuk ellipsoidal. Sumber: Wikimedia Commons.

Contoh berangka

Oleh kerana putaran bumi, daya sentrifugal dijana yang memberikannya bentuk ellipsoid bujur, bukannya sfera. Adalah diketahui bahawa radio khatulistiwa bumi adalah 3963 batu dan jejari kutub adalah 3942 batu.

Cari persamaan jejak khatulistiwa, ellipsoid ini dan ukuran meratakannya. Juga bandingkan dengan Ellipticity Saturn, dengan data yang disediakan di bawah:

-Radio Khatulistiwa Saturnus: 60268 km

-Radio Polar Saturn: 54364 km

Penyelesaian

Sistem koordinat diperlukan, yang akan kita anggap fokus pada asal (pusat bumi). Kami akan menganggap paksi z menegak dan jejak yang sepadan dengan khatulistiwa adalah pada satah XY, bersamaan dengan satah z = 0.

Dalam satah khatulistiwa, separuh dan b adalah sama, oleh itu A = B = 3963 batu, manakala C = 3942 batu. Ini adalah kes khas: spheroid memberi tumpuan pada titik (0.0.0) seperti yang dinyatakan di atas.

Jejak khatulistiwa adalah lingkaran radius r = 3963 batu, memberi tumpuan kepada asal. Ia dikira dengan melakukan z = 0 dalam persamaan standard:


Dan persamaan standard ellipsoid bumi adalah:

Akhirnya, ukuran pelarasan (elips) dikira menilai dalam persamaan:

F Tanah = (a - b) / a = (3963-3942) batu / 3963 batu = 0.0053

F Saturnus = (60268-54363) km/60268 km = 0.0980

Perhatikan bahawa elips f adalah jumlah tanpa dimensi.

Rujukan

  1. ArcGIS untuk desktop. Spheroid dan sfera. Pulih dari: desktop.Arcgis.com.
  2. BBC World. Misteri objek paling sfera yang pernah ditemui di alam semesta. Diperolehi dari: BBC.com.
  3. Larson, r. Pengiraan dan geometri analisis. Edisi keenam. Jilid 2. McGraw Hill.
  4. Wikipedia. Ellipsooid. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.org.
  5. Wikipedia. Siperoid. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.org.