Formula harapan matematik, sifat, contoh, senaman

The Harapan Matematik atau nilai jangkaan dari pembolehubah rawak X, ia dilambangkan sebagai e (x) dan ditakrifkan sebagai jumlah produk antara kebarangkalian peristiwa rawak dan nilai peristiwa tersebut.

Dalam bentuk matematik ia dinyatakan seperti berikut:

μ = e (x) = Σ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Rajah 1. Harapan matematik digunakan secara meluas dalam pasaran saham dan bidang insurans. Sumber: Pixabay.

Di mana x_Yo Ia adalah nilai peristiwa dan p (x_Yo) kebarangkalian kejadiannya. Penjumlahan meluas ke semua nilai yang dimasukkan x. Dan jika ini terhingga, ringkasan yang ditunjukkan ditumpukan kepada nilai e (x), tetapi jika jumlahnya tidak berkumpul, maka hanya pembolehubah tidak mempunyai nilai yang diharapkan.

Ketika datang ke pemboleh ubah yang berterusan x, Pembolehubah ini boleh mempunyai nilai tak terhingga dan integral menggantikan ringkasan:

Di sini f (x) mewakili Fungsi ketumpatan kebarangkalian.

Secara umum, harapan matematik (yang merupakan purata berwajaran) tidak sama dengan aritmetik atau purata purata, melainkan ia adalah pengagihan diskret di mana setiap peristiwa mungkin sama -sama. Jadi, dan hanya kemudian:

μ = e (x) = (1/n) Σ x_Yo

Di mana n adalah bilangan nilai yang mungkin.

Konsep ini sangat berguna di pasaran kewangan dan syarikat insurans, di mana kepastian sering kurang tetapi mungkin.

[TOC]

Sifat harapan matematik

Antara sifat yang paling penting dalam harapan matematik adalah seperti berikut:

- Tanda: Sekiranya x positif, maka E (x) juga akan.

- Nilai yang dijangkakan daripada pemalar: Nilai yang diharapkan dari pemalar sebenar k Ia adalah pemalar.

E (k) = k

- Linearity dalam jumlah: Harapan pemboleh ubah rawak yang pada gilirannya jumlah dua pembolehubah x y y adalah jumlah harapan.

Boleh melayani anda: pasangan teratur

E (x + y) = e (x) + e (y)

- Pendaraban dengan pemalar: Sekiranya pemboleh ubah rawak adalah borang kx, di mana k Ia adalah malar (nombor sebenar), ia keluar dari nilai yang diharapkan.

E (kx) = k e (x)

- Nilai yang dijangkakan produk dan kemerdekaan antara pembolehubah: Jika pemboleh ubah rawak adalah hasil pembolehubah rawak x y y, yang bebas, maka nilai yang diharapkan dari produk adalah hasil dari nilai yang diharapkan.

Ex.Y) = e (x).HEY)

- Pembolehubah rawak Y = kapak + b: Sifat sebelumnya sedang digunakan.

E (kapak + b) = ae (x) + e (b) = ae (x) + b

Secara umum, ya Y = g (x):

E (y) = e [g (x)] = Σ g (x_Yo). P [g (x_Yo)]

- Pesanan dalam nilai yang diharapkan: Ya x ≤ y, maka:

E (x) ≤ e (y)

Oleh kerana terdapat nilai yang diharapkan dari masing -masing.

Harapan Matematik dalam Pertaruhan

Ketika ahli astronomi terkenal Christian Huygens (1629-1695) tidak mengamati langit, dia berdedikasi untuk belajar, antara disiplin lain, kebarangkalian perjudian. Dia yang memperkenalkan konsep harapan matematik dalam karyanya pada tahun 1656 yang berjudul: Penalaran mengenai perjudian.

Rajah 2. Christiaan Huygens (1629-1625) adalah saintis yang cemerlang dan serba boleh, yang kita berhutang dengan konsep nilai yang diharapkan.

Huygens mendapati bahawa pertaruhan boleh diklasifikasikan dalam tiga cara, mengikut nilai yang diharapkan:

-Permainan dengan kelebihan: e (x)> 0

-Pertaruhan adil: e (x) = 0

-Permainan Kelemahan: E (x) < 0

Masalahnya ialah dalam permainan harapan matematik peluang tidak selalu mudah dikira. Dan apabila anda dapat keputusannya kadang -kadang mengecewakan bagi mereka yang bertanya sama ada untuk bertaruh atau tidak.

Mari buat percubaan dengan pertaruhan yang mudah: muka atau salib dan yang kehilangan membayar kopi 1 $. Apakah nilai yang diharapkan dari pertaruhan ini?

Boleh melayani anda: apakah panduannya? (Geometri)

Nah, kebarangkalian menjadi mahal adalah ½, sama seperti salib keluar. Pemboleh ubah rawak adalah untuk memenangi $ 1 atau kehilangan $ 1, keuntungan dilambangkan dengan tanda + dan kerugian dengan tanda -.

Kami menyusun maklumat dalam jadual:

Kami mengalikan nilai lajur: 1. ½ = ½ y (-1). ½ = -½ dan akhirnya hasilnya ditambah. Jumlahnya adalah 0 dan ia adalah permainan yang adil, di mana peserta dijangka menang atau kalah.

Rolet Perancis dan loteri adalah permainan dengan kelemahan di mana kebanyakan traigator kalah. Kemudian terdapat pertaruhan yang sedikit lebih kompleks di bahagian Latihan yang diselesaikan.

Contoh 

Berikut adalah beberapa contoh mudah di mana konsep harapan matematik adalah intuitif dan menjelaskan konsep:

Contoh 1

Kami akan mulakan dengan melancarkan dadu yang jujur. Apakah nilai pelancaran yang diharapkan? Nah, jika dadu jujur ​​dan mempunyai 6 muka, kebarangkalian bahawa sebarang nilai (x = 1, 2, 3 ... 6) meninggalkan 1/6, seperti ini:

E (x) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5.(1/6) + 6. (1/6) = 21/6 = 3.5

Rajah 3. Pada pelancaran dadu yang jujur, nilai yang diharapkan bukanlah nilai yang mungkin. Sumber: Pixabay.

Nilai yang dijangkakan dalam kes ini sama dengan purata, kerana setiap muka mempunyai kebarangkalian yang sama untuk keluar. Tetapi E (x) bukan nilai yang mungkin, kerana tiada wajah bernilai 3.5. Ini sangat mungkin dalam beberapa pengagihan, walaupun dalam kes ini hasilnya tidak banyak membantu pertaruhan.

Mari lihat contoh lain dengan pelancaran dua syiling.

Contoh 2

Dua syiling jujur ​​dilemparkan ke udara dan menentukan pemboleh ubah rawak x sebagai bilangan muka yang diperoleh. Peristiwa yang boleh berlaku adalah seperti berikut:

Boleh melayani anda: 90 pembahagi: Apa dan penjelasan

-Tiada wajah keluar: 0 muka yang sama dengan 2 salib.

-1 muka dan 1 meterai atau salib keluar.

-2 muka keluar.

Biarkan C menjadi wajah dan meterai, ruang sampel yang menggambarkan peristiwa -peristiwa ini adalah seperti berikut:

S_m = Seal-ISO; Seal-cara; Muka-ya; Cara-cara = tt, tc, ct, cc

Peluang peristiwa berlaku adalah:

P (x = 0) = p (t).P (t) = ½ . ½ = ¼

P (x = 1) = p (tc) + p (ct) = p (t).P (c) + p (c).P (t) = ¼ +¼ = ½

P (x = 2) = p (c).P (c) = ½ . ½ = ¼

Jadual dibina dengan nilai yang diperoleh:

Menurut definisi yang diberikan pada mulanya, harapan matematik dikira sebagai:

μ = e (x) = Σ x_Yo. P (x_Yo) = x₁.P (x₁) + x₂.P (x₂) + x₃.P (x₃) +..

Mengganti Nilai:

E (x) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Hasil ini ditafsirkan seperti berikut: Jika seseorang mempunyai masa yang cukup untuk melakukan sejumlah besar eksperimen yang melancarkan dua syiling, ia dijangka mendapat wajah dalam setiap pelancaran.

Walau bagaimanapun, kita tahu bahawa siaran di mana 2 setem keluar adalah sangat mungkin.

Latihan diselesaikan

Dalam pelancaran dua mata wang yang jujur, pertaruhan berikut dibuat: jika 2 muka keluar, mereka memperoleh $ 3, jika 1 muka dimenangi, tetapi jika dua setem keluar, anda perlu membayar $ 5. Kirakan keuntungan yang diharapkan dari pertaruhan.

Rajah 4. Menurut pertaruhan, harapan matematik berubah dengan melancarkan dua syiling jujur. Sumber: Pixabay.

Penyelesaian

Pembolehubah rawak x adalah nilai -nilai yang diambil oleh wang dalam pertaruhan dan kebarangkalian dikira dalam contoh sebelumnya, oleh itu jadual pertaruhan adalah:

E (x) = 3 . ¼ + 1. ½ + (-5) . ¼ = 0

Oleh kerana nilai yang diharapkan adalah 0, ia adalah permainan yang adil, jadi di sini diharapkan bettor tidak menang dan tidak kalah. Walau bagaimanapun, jumlah pertaruhan boleh ditukar untuk mengubah pertaruhan menjadi permainan dengan kelebihan atau permainan dengan kelemahan.

Rujukan

1. Brase, c. 2009. Statistik yang tidak dapat dipulihkan. Hougton Mifflin.
2. Olmedo, f. Pengenalan kepada konsep nilai yang diharapkan atau harapan matematik pemboleh ubah rawak. Pulih dari: peribadi.kita.adalah.
3. Statistik Liberxts. Nilai yang diharapkan dari pembolehubah rawak diskret. Diperolehi daripada: statistik.Libretxts.org.
4. Triola, m. 2010. Statistik asas. 11hb. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, r. 2007. Kebarangkalian dan statistik untuk sains dan kejuruteraan. Ke -8. Edisi. Pendidikan Pearson.