Contoh dan latihan pemfaktoran biasa

The Pemfaktoran umum ungkapan algebra terdiri daripada menentukan dua atau lebih faktor yang produknya sama dengan ungkapan yang dicadangkan. Dengan cara ini, mencari faktor yang sama, proses pemfaktoran selalu bermula.

Untuk ini diperhatikan jika terdapat kehadiran istilah biasa, yang boleh menjadi huruf dan nombor. Dalam kes huruf, literal biasa diambil sebagai faktor yang sama untuk semua istilah yang mempunyai eksponen yang sedikit, dan untuk nombor, pembahagi maksimum (MCD) maksimum semua pekali dikira.

Rajah 1. Dalam pemfaktoran yang sama, literal dan pekali yang biasa bagi setiap istilah yang dicari. Sumber: Pixabay/F. Zapata.

Produk dari kedua -dua faktor biasa, dengan syarat ia berbeza dari 1, akan menjadi faktor umum ungkapan. Setelah dijumpai, dengan pembahagian setiap istilah antara faktor tersebut, pemfaktoran akhir ditubuhkan.

Berikut adalah contoh bagaimana untuk melakukannya, dengan memfokuskan trinomial ini:

4x⁵-12x³+8x²

Dilihat bahawa semua istilah mengandungi "x" literal, yang paling sedikit adalah x². Bagi koefisien berangka: 4, -12 dan 8 adalah semua gandaan 4. Oleh itu faktor biasa ialah 4x².

Sebaik sahaja faktor dijumpai, setiap istilah ungkapan asal dibahagikan di antaranya:

• 4x⁵ / 4x² = x³
• -12x³ / 4x² = -3x
• 8x²/ 4x² = 2

Akhirnya, ungkapan itu ditulis semula sebagai produk faktor umum dan jumlah hasil operasi sebelumnya, seperti ini:

4x⁵-12x³+8x² = 4x² (x³ - 3x +2)

[TOC]

Bagaimana faktor apabila tidak ada faktor biasa

Sekiranya faktor umum tidak jelas seperti dalam contoh terdahulu, masih boleh menjadi faktor, memerhatikan ungkapan dengan teliti, untuk melihat sama ada mungkin untuk melaksanakan mana -mana kaedah berikut:

Ia dapat melayani anda: grafik polybal

Perbezaan dua dataran yang sempurna

Ia adalah ungkapan bentuk binomial:

ke² - b²

Itu boleh menjadi faktor melalui aplikasi produk yang ketara:

ke² - b² = (a+b) ⋅ (a-b)

Prosedurnya adalah seterusnya:

-Pertama ekstrak akar kuadrat setiap dataran yang sempurna.

-Kemudian membentuk produk antara jumlah akar ini dan perbezaannya, seperti yang ditunjukkan.

Trinomial persegi sempurna

Trinomials bentuk:

x² ± 2a ⋅x + a²

Mereka memfaktorkan melalui produk yang ketara:

(x+a)² = x² ± 2a ⋅x + a²

Untuk memohon pemfaktoran ini, mesti disokong bahawa trinomial berkuat kuasa mempunyai dua dataran yang sempurna, dan istilah yang tinggal adalah produk ganda dari akar persegi nilai -nilai ini.

Trinomial bentuk x² + mx + n

Sekiranya Trinomial to Factor tidak mempunyai dua dataran yang sempurna, ia cuba menulisnya sebagai produk dua istilah:

x² + mx + n = x² + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)

Di mana ia harus dipenuhi setiap kali:

N = a ⋅b

M = a+b

Pemfaktoran dengan mengumpulkan istilah

Kadang -kadang ungkapan menjadi faktor tidak mempunyai faktor yang sama, dan tidak sesuai dengan mana -mana kes yang diterangkan di atas. Tetapi jika bilangan istilahnya adalah walaupun, prosedur ini boleh dicuba:

-Pasangan kumpulan yang mempunyai faktor yang sama.

-Fakta setiap pasangan dengan faktor umum, supaya istilah dalam kurungan adalah sama, iaitu, sehingga pula tanda kurungan adalah faktor umum. Sekiranya dengan kumpulan yang dipilih tidak, anda perlu mencuba gabungan lain untuk mencarinya.

-Pemfaktoran yang dicari adalah produk istilah dalam kurungan untuk faktor umum setiap pasangan.

Contoh yang akan membantu menjelaskan kes -kes yang dibincangkan.

Contoh

Faktor Ekspresi Algebra berikut:

a) 6ab² - 18²b³

Ini adalah contoh faktor biasa. Bermula di bahagian literal, huruf A dan B hadir dalam dua istilah. Untuk pembolehubah "A", eksponen kecil adalah 1 dan dalam istilah 6ab², manakala untuk huruf "b" eksponen kecil adalah b².

Boleh melayani anda: Fungsi trigonometri songsang: nilai, derivatif, contoh, latihan

Kemudian, ab² Ini adalah faktor biasa dalam ungkapan asal.

Bagi nombor, terdapat 6 dan -18, yang terakhir adalah pelbagai 6, kerana -18 = -(6 × 3). Oleh itu 6 adalah pekali berangka faktor umum, yang didarab dengan bahagian literal adalah:

6ab²

Sekarang setiap istilah asal dibahagikan dengan faktor umum ini:

• 6ab² ÷ 6ab² = 1
• (-18²b³) ÷ 6ab² = -3ab

Akhirnya, ungkapan asal ditulis semula sebagai produk antara faktor umum dan jumlah algebra dari istilah yang terdapat dalam langkah sebelumnya:

6ab² - 18²b³ = 6ab² ⋅ (1-3ab)

b) 16x² - 9

Ungkapan ini adalah perbezaan dari dataran yang sempurna, jadi, dengan mengekstrak akar persegi untuk kedua -dua istilah, masing -masing diperolehi:

√ (16x²) = 4x

√9 = 3

Ekspresi asal ditulis sebagai hasil dari jumlah akar persegi ini dengan perbezaannya:

16x² - 9 = (4x+3) (4x-3)

c) z² + 6z + 8

Ia adalah trinomial bentuk x² + MX + N, kerana 8 bukan persegi sempurna dari nombor keseluruhan yang lain, jadi anda perlu mencari dua nombor A dan B supaya mereka mematuhi serentak:

• ke.B = 8
• A + B = 6

Oleh Tanteo, iaitu, ujian, nombor yang dicari adalah 4 dan 2, sejak:

4 × 2 = 8 dan 4 + 2 = 6

Jadi:

z² + 6z+8 = (z+4) ⋅ (z+2)

Pembaca boleh menyemak, menggunakan harta pengedaran di sebelah kanan kesamaan, bahawa kedua -dua ungkapan bersamaan.

d) 2x² - 3xy - 4x + 6y

Ekspresi ini adalah calon pemfaktoran dengan istilah pengelompokan, kerana tidak ada faktor umum yang jelas kepada mata kasar dan juga mempunyai beberapa istilah.

Ia dikumpulkan seperti berikut, mengetahui bahawa perintah penambahan tidak mengubah jumlahnya:

Dapat melayani anda: segitiga obtusangle

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x² -3xy) + (4x-6y)

Setiap kurungan mempunyai faktor yang sama:

(2x²  - 3xy) + (4x-6y) = x (2x-3y) + 2 (2x-3y)

Faktor biasa yang pasti telah diturunkan: ia adalah kurungan yang diulang dalam kedua -dua istilah (2x -3y).

Sekarang ia boleh menjadi faktor lagi:

• x (2x-3y) ÷ (2x-3y) = x
• 2 (2x-3y) ÷ (2x-3y) = 2

Oleh itu:

2x² - 3xy + 4x - 6y = (2x -3y) (x + 2)

Sekali lagi, pembaca boleh memohon harta pengedaran ke hak persamaan, untuk menyokong kesamaan.

Latihan yang diselesaikan

Faktor:

a) dan² - 10y + 25

b) 4x² + 12xy + 9y²

c) x² + 5x - 14

d) 3⁴ + ke³ + 15A + 5

Penyelesaian kepada

Ia adalah trinomial persegi yang sempurna, ia bermula dengan mencari akar kuadrat dari istilah persegi yang sempurna:

√ (dan²) = y

√ 25 = 5

Adalah disahkan bahawa istilah pusat adalah produk berganda dari kedua -dua ini:

10y = 2. 5. dan

Dan pemfaktoran yang dicari adalah:

dan² - 10y + 25 = (Y-5)²

Penyelesaian b

Ekspresi juga trinomial persegi yang sempurna:

√ (4x²) = 2x

√ (9y²) = 3y

Istilah pusat disahkan:

12xy = 2 ⋅2x ⋅3y

Akhirnya:

4x² + 12xy + 9y² = (2x+3y)²

Penyelesaian c

Masalahnya adalah trinomial jenis x² + Mx + n:

n = a ⋅ b = -14 = 7 x ( - 2)

M = A + B = 5 = 7 + (- 2) = 5

Nombor yang sesuai adalah 7 dan -2:

x² + 5x - 14 = (x +7) (x - 2)

Penyelesaian d

Ke -3⁴ + ke³ + 15a + 5 = (3a⁴ + ke³) + (15a + 5)

Faktor biasa (ke -3⁴ + ke³) itu³ dan (15a + 5) adalah 5, dikelompokkan seperti berikut:

(Ke -3⁴ + ke³) + (15a + 5) = a³ (3a+1) +5 (3a+1) = (3a+1) (a³ + 5)

Rajah 2. Latihan Pemfaktoran untuk Berlatih. Sumber: f. Zapata.

Rujukan

1. Baldor, a. 2005. Algebra. Kumpulan tanah air budaya.
2. Larson, r. 2012. Precalculation. Ke -8. Edisi. Pembelajaran Cengage.
3. Mathworld. Pemfaktoran. Pulih dari: Mathworld.Wolfram.com.
4. Mathworld. Pemfaktoran polinomial. Pulih dari: Mathworld.Wolfram.com.
5. Stewart, J. 2007. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.
6. Zill, d. 1984. Algebra dan trigonometri. McGraw Hill.