Pecahan separa

Kaedah penguraian dalam pecahan separa digunakan untuk menyelesaikan integral. Sumber: f. Zapata.

Apakah pecahan separa?

Kaedah pecahan separa o Fraksi mudah digunakan dalam pengiraan algebra dan matematik untuk menguraikan ungkapan rasional, meninggalkan jumlah algebra dari pecahan yang lebih mudah.

Menjadi pecahan mudah tambahan, pengiraan operasi seperti derivatif dan integral, antara lain, difasilitasi.

Pertimbangkan ungkapan algebra rasional berikut, yang terdiri daripada polinomial p (x) dan q (x) dalam pengangka dan penyebut, masing -masing:

Anda mahu menulis ungkapan ini sebagai jumlah pecahan yang lebih kecil. Untuk melakukan ini, perlu diperhatikan bahawa polinomial q (x) dalam penyebut adalah trinomial persegi, yang boleh menjadi faktor yang cepat, sebagai hasil daripada dua faktor:

x²+x - 12 = (x+4) (x - 3)

Oleh itu, ungkapan sebelumnya tetap seperti berikut:

Mengetahui jumlah pecahan, cara menulis ungkapan ini dengan mudah membawa kepada yang lain:

Ia tetap mencari nilai a dan b, sehingga ekspresi asal dinyatakan sebagai jumlah dua pecahan yang lebih kecil. Untuk contoh yang ditunjukkan, nilai -nilai adalah: a = 3 dan b = 2, dan pembaca dapat mengesahkan bahawa, sebenarnya, jumlah:

Ia bersamaan dengan ungkapan asal:

Memandangkan itu:

Bagaimana pecahan separa dikira?

Terdapat kaedah untuk pengiraan pekali yang mesti masuk dalam pengangka pecahan mudah, yang bergantung kepada bentuk ekspresi rasional asal, iaitu, dalam bentuk p (x)/q (x).

Pada mulanya, perlu diingat bahawa, apabila tahap p (x) kurang daripada q (x), ia adalah a ekspresi rasional sendiri, Dan jika bertentangan berlaku, ia adalah ungkapan rasional yang tidak betul.

Kaedah untuk mengurai dalam pecahan mudah merujuk kepada ekspresi algebra mereka sendiri, jika mereka tidak, mereka mesti terlebih dahulu dikurangkan, menjalankan operasi pembahagian p (x)/q (x).

Ia boleh melayani anda: identiti trigonometri (contoh dan latihan)

Kemudian, matlamatnya adalah untuk mencari pengangka setiap pecahan, yang mana empat kes dibezakan, yang bergantung kepada pemfaktoran penyebut q (x).

Kes 1: Faktor Q (x) adalah linear dan tidak diulang

Sekiranya faktor q (x) linear dan tidak diulang, iaitu, mereka adalah bentuk (x-a_Yo):

Q (x) = (x -a₁) (untuk₂) ... (untuk_n)

Dengan₁ ≠ a₂  ≠ a₃ ... ≠ a_n, iaitu, semua faktor q (x) adalah berbeza, ungkapan rasional ditulis sebagai:

Nilai a₁, Ke₂, Ke₃... ke_n, Mereka mesti ditentukan. Ekspresi rasional yang ditunjukkan pada mulanya adalah contoh kes ini.

Kes 2: Q (x) telah mengulangi faktor linear

Jika q (x) terdiri daripada faktor berulang borang (x - a)ⁿ, Dengan n ≥ 2, penguraian dalam pecahan separa dilakukan seperti berikut:

Seperti dalam kes sebelumnya, koefisien mesti ditentukan oleh prosedur algebra.

Kes 3: q (x) mempunyai faktor kuadrat yang tidak dapat dipertahankan

Sekiranya dengan pemfaktoran q (x) faktor kuadratik yang tidak dapat dielakkan muncul, bentuk kapak²+Bx+C, untuk faktor ini, dalam penguraian mesti dimasukkan, menambah dengan bentuk ini:

Nilai A dan B mesti dijumpai.

Kes 4: Q (x) mempunyai faktor kuadrat yang tidak dapat diulangi dan berulang

Dengan mengandaikan bahawa pemfaktoran q (x) mengandungi faktor kuadrat yang tidak dapat diulangi dan berulang²+Bx+c)ⁿ, Penambah berikut mesti dimasukkan:

Seperti biasa, koefisien yang diperlukan mesti dikira. Contoh di bawah menunjukkan prosedur algebra yang diperlukan.

Contoh pecahan separa

Contoh 1

Ungkapan rasional berikut:

Ia sudah dilengkapi dengan penyebut yang difokuskan, yang terdiri daripada dua faktor linear yang tidak direkatkan, jadi q (x) adalah:

Q (x) = (x+2) (x -1)

Kemudian, penguraian dalam pecahan separa dicari sepadan dengan kes 1, dapat menulis:

Untuk mencari nilai A dan B masing -masing, jumlah kesamaan dijalankan:

Boleh melayani anda: Ellipse

Menyamakan pengangka:

A (x - 1) + b (x + 2) = 3x

Memohon harta pengedaran dan mengumpulkan istilah yang serupa:

Kapak - a + bx + 2b = 3x

(A +b) x +( - a +2b) = 3x

Koefisien (a+b) adalah sama dengan 3, kerana kedua -duanya mengiringi, di kedua -dua belah persamaan, kepada istilah yang mengandungi "x". Bagi pihaknya, pekali (-a+2b) adalah sama dengan 0, kerana ke hak kesamaan tidak ada istilah lain yang serupa.

Sistem berikut dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui kemudian dibentuk:

A+B = 3
-A+2b = 0

Penyelesaiannya adalah:

A = 2
B = 1

Oleh itu:

Pembaca boleh memeriksa kesamaan, menjalankan jumlah bahagian di sebelah kanan.

Contoh 2

Dalam ungkapan lain ini:

Juga difokuskan, penampilan istilah berulang (x+1) diperhatikan², Sebagai tambahan kepada istilah linear (x+2). Dalam hal ini, penguraian dalam pecahan separa, seperti yang ditunjukkan dalam kes 2, adalah:

Untuk mencari nilai A, B dan C, jumlah hak dilaksanakan, dan hanya pengangka yang digunakan:

Pengangka ekspresi yang dihasilkan adalah sama dengan ekspresi asal, membangun secara algebra untuk memisahkan istilah yang sama:

A (x+1)² + B (x+2) (x+1)+c (x+2) = x - 3

A (x²+2x+1)+b (x²+3x+2)+c (x+2) = x --3

(A+b) x² + (2a+3b+c) x+(a+2b+2c) = x - 3

Dari hasilnya, sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui A, B dan C:

A + B = 0
2a+3b+c = 1
A+2b+2c = -3

Penyelesaian sistem adalah:

A = -5
B = 5
C = -4

Penguraian dalam pecahan separa yang diminta ialah:

Latihan diselesaikan

Bahagian ini menunjukkan latihan yang diselesaikan yang menggambarkan penggunaan kaedah pecahan separa atau pecahan mudah, kepada pengiraan integral yang tidak terbatas. Matlamatnya adalah untuk menulis pengintegrasian dengan cara yang lebih mudah.

Setelah ditulis semula, integral mudah yang dihasilkan dicari dalam jadual atau diselesaikan oleh perubahan pembolehubah yang mudah.

Boleh melayani anda: latar belakang sejarah geometri analisis

Diminta untuk mengira integral berikut:

Penyelesaian

Yang pertama adalah untuk mengesahkan bahawa pengintegrasian adalah, sememangnya, ungkapan algebra rasional sendiri, kerana tahap pengangka adalah kurang daripada penyebut. Penyebutnya mudah faktor dan kekal:

Oleh itu, q (x) adalah:

Q (x) = x (x²+2)

Dan ia terdiri daripada istilah linear: x dan istilah kuadratik yang tidak dapat diulangi tidak diulang: x x²+2, oleh itu, ia adalah gabungan kes 1 dan kes 3. Penguraian dalam pecahan separa pengintegrasian adalah:

Membuat jumlah di sebelah kanan kesamaan:

Seperti biasa, untuk pecahan separa hanya berfungsi dengan pengangka ekspresi jumlah, yang sepatutnya sama dengan ungkapan asal:

A (x² + 2) + x (bx + c) = 2

Membangun:

Kapak² + 2a + bx² + Cx = 2

Mengumpulkan istilah yang serupa:

(A+b) x² + CX + 2A = 2

Sama dengan koefisien istilah yang sama, sistem persamaan yang dapat diselesaikan diperoleh, dengan yang tidak diketahui A, B dan C:

A + B = 0
C = 0
2a = 2

Dari persamaan kedua, sudah diketahui bahawa c = 0, dari yang terakhir ia mengikuti bahawa a = 1, oleh itu b = -1, sehingga yang pertama. Dengan nilai -nilai ini diperoleh:

Sekarang ia digantikan dalam integral asal:

Dan dua integral mudah dengan fungsi asas diperoleh, yang terdapat dalam jadual atau penyelesaian cepat.

IDE pertama ini integral adalah asas:

Dan integral kedua:

Ia diselesaikan dengan perubahan pembolehubah berikut: u = x²+4, du = 2xdx, menimbulkan:

Mengembalikan perubahan pembolehubah:

Akhirnya, mengumpulkan kedua -dua keputusan, penyelesaiannya ditentukan:

Kedua -dua pemalar integrasi pergi dalam satu, yang dipanggil C.

Rujukan

1. Araujo, f. 2018. Kalkulus integral. Universiti Politeknik Salesian. Editorial Universiti Abya-Nama. Quito, Ecuador.
2. Arcega, r. Integrasi dengan penguraian dalam pecahan separa. Pulih dari: uaeh.Edu.mx.
3. Larson, r. 2012. Precalculation. Ke -8. Edisi. Pembelajaran Cengage.
4. Purcell, e. J. 2007. Pengiraan. 9NA. Edisi. Prentice Hall.
5. Swokowski, e. 2011. Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Ke -13. Edisi. Pembelajaran Cengage.