Mengurangkan Fungsi Cara Mengenalpasti, Contoh, Latihan

A fungsi penurunan f adalah nilainya berkurangan kerana nilai x meningkat. Bermaksud bahawa dalam selang tertentu, memandangkan dua nilai x₁ dan x₂ seperti x₁ < x₂, Kemudian f (x₁)> f (x₂).

Contoh fungsi yang selalu berkurangan ialah f (x) = -x³, graf yang menunjukkan dalam angka berikut:

Rajah 1. Fungsi yang selalu berkurangan dalam keseluruhan domainnya ialah f (x) = -x^3. Sumber: f. Zapata melalui geogebra.

Walaupun beberapa fungsi seperti ini dicirikan dengan menurun dalam semua domain mereka, tidak semua berkelakuan seperti ini, terdapat peningkatan dan juga yang tumbuh dan berkurang dalam selang domain tertentu. Kajian pertumbuhan dan penurunan selang dipanggil monotoni fungsi.

Begitu juga, pertumbuhan atau penurunan fungsi dapat dipertimbangkan pada titik domain tertentu. Tetapi apa -apa fungsi yang berkurangan dalam selang waktu yang diberikan, juga pada setiap titik yang dimiliki olehnya.

[TOC]

Cara mengenal pasti fungsi penurunan?

Graf fungsi menunjukkan secara visual sama ada ia berkurangan atau tidak. Jika, apabila bergerak dalam pengertian x yang semakin meningkat, fungsi "turun", ini bermakna ia menurun.

Dan jika anda mempunyai selang di mana ia berkurangan dan tumbuh secara bergantian, yang paling biasa, kerana ini jelas diturunkan dengan memerhatikan tingkah laku fungsi di seluruh domainnya, kerana akan ada selang di mana fungsi "naik" dan lain -lain dalam yang "turun".

Sebagai alternatif, jika graf fungsi tidak tersedia, secara analitik adalah mungkin untuk menentukan sama ada ia menurun pada satu titik atau dalam selang waktu, melalui derivatif pertama.

Kriteria derivatif pertama

Perhatikan tingkah laku fungsi penurunan yang ditunjukkan dalam Rajah 2. Segmen garis merah jambu adalah tangen kepada titik -titik yang koordinatnya [a, f (a)] dan [A+h, f (a+h)] dan mempunyai cerun negatif.

Boleh melayani anda: Bagaimana maklumat yang diperolehi dalam tinjauan?Rajah 2. Cerun garis tangen ke graf f (x) adalah negatif pada x = a, maka fungsi berkurangan pada ketika ini. Sumber: f. Zapata.

Untuk fungsi ini, berikut dipenuhi:

F (a+h) - f (a) < 0 ⇒  F (a+h) < f (a)

Oleh itu dapat dianggap bahawa fungsi itu berkurangan x = a.

Walau bagaimanapun, yang pertama diperoleh dari fungsi f (x), yang dinilai pada x = a, yang dengan definisi adalah cerun garis tangen ke lengkung pada x = a, diberikan oleh:

Had menunjukkan bahawa nilai h boleh dilakukan sekecil yang anda mahukan dan menunjukkan bahawa tanda FA), Ia boleh digunakan untuk mengetahui sama ada fungsi itu berkurangan pada titik tertentu, selagi derivatif wujud pada ketika itu.

Kemudian ya FA) < 0, Ia boleh mengesahkan bahawa fungsi itu berkurangan, dan sebaliknya, jika f '(a)> 0, Maka fungsi semakin meningkat pada ketika itu.

Teorem untuk menurun dan berkembang fungsi

Rujukan sebelum ini dibuat kepada tingkah laku fungsi pada satu ketika. Sekarang, teorem berikut membolehkan mengetahui selang di mana fungsi berkurangan, berkembang atau tetap:

Biarkan f menjadi fungsi yang berbeza dalam selang (a, b). Memang benar bahawa:

-Ya f '(x) < 0 para todo x perteneciente a (a,b), entonces f(x) es decreciente en (a,b).

-Jika sebaliknya f '(x)> 0 untuk semua x milik (a, b), dikatakan bahawa fungsi f (x) berkembang dalam (a, b).

-Akhir.

Demonstrasi

Katakan f '(x) < 0 para cualquier valor de x en el intervalo (a,b), además se tienen x₁ dan x₂ kepunyaan selang tersebut dan keadaan bahawa x₁< x₂.

Teorem nilai purata menyatakan bahawa terdapat nombor sebenar C, antara x₁ dan x₂, seperti itu:

Boleh melayani anda: Faktor umum untuk istilah pengelompokan: Contoh, Latihan

Seperti yang ditubuhkan sejak x₁< x₂,  Δx adalah positif. Jadi, kerana f '(c) adalah negatif, jadi Δy juga. Oleh itu f (x₁) lebih besar daripada f (x₂) Dan fungsi berkurangan secara berkesan pada semua titik dalam selang (a, b).

Langkah untuk mengetahui sama ada fungsi berkurangan

Untuk mencari selang penurunan dan pertumbuhan fungsi dengan menggunakan teorem terdahulu, langkah -langkah ini diikuti:

-Cari yang pertama yang diperoleh dari fungsi dan padankan dengan sifar, menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Juga menentukan perkara di mana derivatif tidak wujud.

Semua perkara ini dipanggil mata kritikal Dan perlu mencari mereka, kerana di dalamnya derivatif mempunyai peluang untuk mengubah tanda mereka, menunjukkan bahawa fungsi itu semakin meningkat hingga menurun atau sebaliknya.

-Domain fungsi dibahagikan kepada selang yang ditentukan oleh titik -titik di mana derivatif pertama dibatalkan atau tidak wujud.

-Akhirnya, tanda derivatif dikaji pada titik sewenang -wenang yang dimiliki oleh setiap selang yang diperolehi dalam langkah sebelumnya.

Contoh penurunan fungsi

Fungsi tidak semua berkurangan pada kadar yang sama, ada yang lebih cepat daripada yang lain. Fungsi berikut, yang sering muncul dalam amalan, berkurangan:

Fungsi eksponen

Fungsi bentuk f (x) = a^x, Dengan antara 0 dan 1, tidak termasuk ini, dengan cepat berkurangan di seluruh domain mereka.

Fungsi 1/x

Melalui program grafik dalam talian sebagai geogebra, graf fungsi f (x) = 1/x dibina, mengesahkan bahawa ia menurun dalam keseluruhan domainnya.

Rajah 3. Fungsi f (x) = 1/x berkurangan. Sumber: f. Zapata melalui geogebra.

Fungsi yang berkaitan

Fungsi borang y = mx + b dengan m<0 tienen gráficas que son rectas de pendiente negativa y por lo tanto son funciones decrecientes.

Dapat melayani anda: kesaksamaan matematik

Latihan diselesaikan

Cari, jika ada, penurunan selang fungsi:

f (x) = x⁴ - 6x² - 4

Penyelesaian

Langkah pertama adalah mencari f '(x):

f '(x) = 4x³ - 12x

Derivatif pertama F (x) adalah fungsi yang berterusan, iaitu, ia tidak mempunyai titik ketidakselarasan, tetapi dibatalkan dalam:

4x³ - 12x = 0 = 4x (x²-3) = 0

Penyelesaian persamaan ini adalah: x₁ = 0, x₂ = - √3 dan x₃ = √3. Ini adalah titik kritikal, yang membahagikan domain f (x) dalam selang waktu: (-∞,- √3); (- √3.0); (0, √3); (√3, ∞+).

Kemudian yang pertama diperolehi dalam nilai x sewenang -wenangnya dinilai, yang dimiliki oleh setiap selang waktu. Nilai -nilai ini dipilih:

Untuk (-∞,- √3)

F '(-2) = 4 (-2)³ - 12x (-2) = -32+24 = -8

Untuk (- √3.0)

F '(-1) = 4 (-1)³ - 12x (-1) = -4+12 = 8

Untuk (0, √3)

f '(1) = 4 (1)³ - 12x (1) = 4-12 = -8

Untuk (√3, ∞+)

f '(2) = 4 (2)³ - 12x (2) = 32-24 = 8

Seperti beberapa selang, adalah idea yang baik untuk membuat jadual untuk mengatur hasilnya. Anak panah ke atas menunjukkan bahawa fungsi tumbuh dan turun, yang berkurangan:

Disimpulkan bahawa fungsi berkurangan pada selang (-∞,- √3) dan (0, √3) dan tumbuh dalam selang selang yang tinggal. Fungsi asal dalam geogebra mudah diperiksa dengan grafik.

Rujukan

1. Ayres, f. 2000. Pengiraan. 5ed. MC Graw Hill.
2. Leithold, l. 1992. Pengiraan dengan geometri analisis. Harla, s.Ke.
3. Purcell, e. J., Varberg, d., & Rigdon, s. Dan. (2007). Pengiraan. Mexico: Pendidikan Pearson.
4. Matemobile. Fungsi, berkembang, berkurangan dan tetap. Pulih dari: Matemovil.com
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.