Sifat fungsi eksponen, contoh, latihan

The fungsi eksponen Ia adalah fungsi matematik yang sangat penting bagi banyak aplikasi yang ada. Ia ditakrifkan seperti berikut:

f (x) = b^x, Dengan b> 0 dan b ≠ 1

Di mana b adalah pemalar sebenar yang sentiasa positif dan berbeza dari 1, yang dikenali sebagai asas. Perhatikan bahawa pemboleh ubah sebenar x terdapat di eksponen, Dengan cara ini f (x) selalu menjadi nombor sebenar.

Rajah 1. Fungsi eksponen dengan pangkalan 2 dan 1/2

Contoh fungsi eksponen adalah seperti berikut:

-f (x) = 2^x

-g (x) = 5 ⋅E^-3x

-H (x) = 4 ⋅ (10^2x)

Ini adalah fungsi yang tumbuh - atau penurunan, mengikut tanda eksponen - dengan cepat, jadi ada perbincangan tentang "pertumbuhan eksponen" apabila beberapa magnitud meningkat dengan cepat. Inilah sebabnya mereka sesuai untuk memodelkan pertumbuhan makhluk hidup, seperti bakteria.

Permohonan lain yang sangat menarik ialah minat kompaun. Lebih banyak wang yang anda ada dalam akaun, lebih banyak minat, dan mereka dapat mengira setiap selang waktu tertentu, sekecil yang anda mahukan.

Dengan bantuan fungsi logaritma, yang merupakan fungsi songsang dari eksponen, dapat diketahui setelah berapa lama modal tertentu meningkat kepada nilai tertentu.

[TOC]

Sifat fungsi eksponen

Rajah 2. Contoh fungsi eksponen. Sumber: f. Zapata.

Berikut adalah sifat umum sebarang fungsi eksponen:

-Graf sebarang fungsi eksponen selalu memotong paksi menegak pada titik (0.1), seperti yang dapat dilihat dalam Rajah 2. Ini kerana b⁰ = 1 untuk sebarang nilai b.

-Fungsi eksponen tidak bersilang pada paksi x, sebenarnya paksi ini adalah asymptote mendatar untuk fungsi tersebut.

-Sejak b¹ = b, titik (1, b) selalu dimiliki oleh grafik fungsi.

Ia dapat melayani anda: prisma hepagon

-Domain fungsi eksponen adalah set nombor sebenar dan f (x) = b^x Ia berterusan dalam semua domainnya.

-Pelbagai fungsi eksponen adalah semua nombor sebenar lebih besar daripada 0, yang juga diperhatikan dengan grafik.

-Fungsi eksponen adalah satu demi satu, iaitu, setiap nilai x milik domain fungsi, mempunyai imej yang unik dalam set ketibaan.

-Kebalikan dari eksponen adalah fungsi logaritma.

Ciri -ciri tertentu fungsi eksponen

Seperti yang telah kita katakan sebelum ini, fungsi eksponen dapat meningkat atau berkurangan.

Sekiranya graf Rajah 2 dikaji dengan teliti, diperhatikan bahawa jika b> 1, fungsi semakin meningkat, contohnya y = 3^x, Tetapi dalam kes y = (1/3)^x, dengan b < 1, la función decrece.

Kami mempunyai dua jenis fungsi eksponen dengan sifat -sifat tertentu berikut:

Untuk b> 1

-Fungsi ini sentiasa berkembang.

-Apabila nilai b meningkat, fungsi tumbuh lebih cepat, contohnya y = 10^x tumbuh lebih cepat daripada y = 2^x.

-Apabila pembolehubah lebih besar daripada 0, fungsi memperoleh nilai lebih besar daripada 1, iaitu:

Untuk x> 0: y> 1

-Dan jika x<0, entonces f(x) < 1.

Untuk b < 1

-Fungsi ini sentiasa berkurangan.

-Dengan mengurangkan nilai b, fungsi berkurangan lebih cepat. Contohnya y = (1/5)^x berkurangan lebih cepat daripada y = (1/3)^x.

-Untuk nilai x lebih rendah daripada 0, fungsi mengambil nilai lebih besar daripada 1, iaitu:

Untuk x 1

-Akhirnya, ketika x> 0, maka dan < 1.

Contoh fungsi eksponen

Fungsi eksponen sangat berguna untuk pemodelan fenomena dalam sains dan ekonomi, seperti yang akan kita lihat di bawah:

Fungsi eksponen semulajadi

Rajah 3: Grafik fungsi eksponen semula jadi

Ia adalah fungsi yang pangkalannya adalah nombor E atau Euler, nombor tidak rasional yang nilainya:

Boleh melayani anda: Sudut Tambahan: Apa, Pengiraan, Contoh, Latihan

E = 2.718181828 ..

Pangkalan ini, walaupun ia bukan nombor bulat, berfungsi dengan baik untuk pelbagai aplikasi. Oleh itu, ia dianggap sebagai asas yang paling penting dalam semua fungsi eksponen. Fungsi eksponen semulajadi dinyatakan dalam cara matematik sebagai:

f (x) = e^x

Fungsi eksponen sering muncul dalam kebarangkalian dan statistik, kerana pelbagai pengagihan kebarangkalian, seperti pengedaran normal, Poisson dan lain -lain, dapat dinyatakan melalui fungsi eksponen.

Kepentingan kompaun berterusan

Rajah 4: Perbandingan minat mudah dan kompaun

Ia juga dipanggil Permodalan berterusan. Untuk mengetahui jumlah wang Ke Anda ada selepas itu t tahun, ekspresi eksponen digunakan:

A (t) = p ⋅ e^Rt

Di mana p adalah jumlah wang yang asalnya didepositkan, r adalah kadar faedah setahun dan akhirnya t adalah bilangan tahun.

Pertumbuhan Bakteria

Rajah 5: Keluk pertumbuhan bakteria di mana fasa latensi, eksponen, pegun dan kematian diperhatikan

Bakteria tumbuh secara eksponen, jadi pertumbuhan boleh dimodelkan oleh:

N (t) = n_{Sama ada} ⋅ e ^Kt

Di mana n (t) adalah penduduk yang sedia ada selepas t (hampir selalu dalam jam), n_{Sama ada} Ia adalah populasi awal dan k adalah malar yang bergantung kepada jenis bakteria dan keadaan di mana nutrien tersedia.

Pereputan radioaktif

Nukleus tertentu tidak stabil, jadi mereka menolak untuk berubah menjadi lebih stabil, proses yang boleh menjadi sangat singkat atau mengambil ribuan tahun, bergantung kepada isotop. Semasa zarah pereputan radioaktif dipancarkan dan kadang -kadang juga foton.

Beberapa isotop radioaktif mempunyai aplikasi perubatan, contohnya iodin radioaktif I-131, yang digunakan oleh doktor dalam diagnosis dan rawatan keadaan tiroid tertentu.

Kerosakan radioaktif dimodelkan oleh fungsi eksponen.

Dapat melayani anda: Berapa kesepuluh di dalam satu unit?

Latihan yang diselesaikan

Persamaan di mana yang tidak diketahui muncul sebagai eksponen dipanggil persamaan eksponen. Untuk membersihkan nilai manipulasi algebra yang tidak diketahui, digunakan dan penggunaan fungsi logaritma, yang merupakan fungsi terbalik dari eksponen.

Mari kita lihat beberapa latihan yang diselesaikan yang menggambarkan titik.

- Latihan 1

Selesaikan persamaan eksponen berikut:

hingga 5^x = 625

b) 5^x = 2^X-1

Penyelesaian kepada

Nombor 625 adalah berganda 5, pada dasarnya, apabila menguraikannya, kita dapati bahawa:

625 = 5⁴

Oleh itu kita boleh menulis:

5^x = 5⁴

Oleh kerana pangkalannya sama dengan kiri dan kanan, kita dapat memadankan eksponen dan mendapatkan:

x = 4

Penyelesaian b

Untuk latihan ini kita tidak boleh menggunakan teknik yang digunakan sebelum ini, kerana pangkalannya tidak sama. Tetapi kita boleh menggunakan logaritma di kedua -dua belah persamaan, dengan cara ini:

5^x = 2^X-1

Log (5^x) = log (2^X-1)

Sekarang harta logaritma berikut digunakan:

Log mⁿ = n ⋅log m

Dan kekal:

x⋅log 5 = (x-1) ⋅log 2

x⋅ (log 5 - log 2) = -log 2

x = - log 2 ÷ (log 5 - log 2)

- Latihan 2

Nyatakan kepada fungsi apa setiap graf yang ditunjukkan di bawah sepadan:

Rajah 6. Grafik parast fungsi eksponen Latihan yang diselesaikan 2. Sumber: Stewart. J. Precalculation.

Penyelesaian kepada

Memandangkan ia adalah graf yang semakin meningkat, B lebih besar daripada 1 dan kita tahu bahawa titik (2.9) tergolong dalam graf, oleh itu:

y = b^x → 9 = b²

Kita tahu bahawa 3² = 9, oleh itu b = 3 dan fungsi adalah y = 3^x

Penyelesaian b

Sekali lagi kita menggantikan titik yang diberikan (-1, 1/5) di y = b^x Untuk mendapatkan:

1/5 = b^-1 = 1/b

Kemudian b = 5 dan fungsi yang dicari adalah:

y = 5^x

Rujukan

1. Figuera, j. 2000. Matematik 1st. Dipelbagaikan. Edisi bersama.
2. Gid Hoffmann, J. Pemilihan isu matematik untuk ke -4. Tahun. Ed. Spphinx.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Larson, r. 2010. Pengiraan pemboleh ubah. 9NA. Edisi. McGraw Hill.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.