Matematik

Heptadecágono Properties, Diagonal, Perimeter, Kawasan

Heptadecágono Properties, Diagonal, Perimeter, Kawasan

Dia Heptadecágono Ia adalah poligon biasa sebanyak 17 sisi dan 17 simpul. Pembinaannya boleh dilakukan dalam gaya Euclidian, iaitu, hanya menggunakan peraturan dan kompas. Ia adalah jenius hebat matematik Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mengira hanya berumur 18 tahun, yang mendapati prosedur pembinaannya pada tahun 1796. 

Rupa -rupanya, Gauss selalu merasa sangat cenderung kepada angka geometri ini, sehingga dari hari dia menemui pembinaannya, dia memutuskan untuk menjadi ahli matematik. Ia juga mengatakan bahawa dia mahukan heptadecágono direkodkan di batu nisannya.

Rajah 1. Heptadecágono adalah poligon biasa 17 sisi dan 17 simpul. Sumber: f. Zapata.

Gauss juga menemui formula untuk menentukan poligon biasa yang mempunyai kemungkinan dibina dengan peraturan dan kompas, kerana ada yang tidak mempunyai pembinaan Euclidean yang tepat.

[TOC]

Ciri -ciri Heptadecágono

Bagi ciri -cirinya, seperti setiap poligon, jumlah sudut dalamannya penting. Dalam poligon biasa n Sisi, jumlahnya diberikan oleh:

SA (n) = (n -2) *180º.

Untuk heptadecágono bilangan sisi n adalah 17, Yang bermaksud bahawa jumlah sudut dalamannya adalah:

SA (17) = (17 - 2) * 180º = 15 * 180º = 2700º.

Jumlah ini, yang dinyatakan dalam radian adalah seperti ini:

SA (17) = (17 - 2) * π = 15 * π = 15π

Dari formula sebelumnya, ia dapat dengan mudah disimpulkan bahawa setiap sudut dalaman heptadecágono mempunyai ukuran α yang tepat yang diberikan oleh:

α = 2700º/17 = (15/17) π Radianes

Ia mengikuti bahawa sudut dalaman kira -kira adalah:

α ≈ 158,824º

Diagonal dan perimeter

Pepenjuru dan perimeter adalah aspek penting lain. Di mana -mana poligon bilangan pepenjuru adalah: 

D = n (n - 3) / 2 dan dalam kes Heptadecágono, seperti N = 17, Kamu perlu D = 119 Diagonal.

Boleh melayani anda: trinomial

Sebaliknya, jika panjang setiap sisi heptadecágono diketahui, maka perimeter heptadecágon biasa hanya menambah 17 kali panjangnya, atau yang setara 17 kali panjang d Di setiap sisi:

P = 17 d

Perimeter Heptadecágono 

Kadang -kadang hanya radio yang diketahui r dari heptadecágono, jadi perlu untuk membangunkan formula untuk kes ini.

Hingga akhir ini, konsep Apothem. Apotheme adalah segmen yang keluar dari pusat poligon biasa ke titik tengah di satu sisi. Apothem relatif ke sisi berserenjang dengan sisi itu (lihat Rajah 2).

Rajah 2. Bahagian poligon radio r biasa dan apothemnya ditunjukkan. (Huraian sendiri)

Di samping itu, apothem adalah bisektor sudut dengan puncak pusat dan sisi pada dua titik berturut -turut poligon, ini membolehkan untuk mencari hubungan antara radio r dan sebelah d.

Sekiranya ia dipanggil β ke sudut tengah Doe Dan dengan mengambil kira bahawa apothem OJ adalah bisector yang anda ada Ex = D/2 = R Sen (β/2), di mana anda mempunyai hubungan untuk mencari panjang d di sisi poligon mengetahui radionya r dan sudut pusatnya β:

D = 2 r dosa (β/2)

Dalam kes Heptadecágon β = 360º/17 Untuk apa yang anda ada:

D = 2 r sen (180º/17) ≈ 0.3675 r

Akhirnya, formula perimeter heptadecágono diketahui jejari diperolehi:

P = 34 R sen (180º/17) ≈ 6.2475 r

Perimeter heptadecágonon Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Kawasan

Untuk menentukan kawasan heptadecágono kita akan merujuk kepada Rajah 2, yang menunjukkan sisi dan apothem poligon biasa n sisi. Dalam angka itu segitiga EOD Ia mempunyai kawasan yang sama dengan pangkalan d (sisi poligon) dengan ketinggian ke (Polygon Apothem) dibahagikan dengan 2:

Ia boleh melayani anda: Siri Kuasa: Contoh dan Latihan

Eod = (d x a) / 2

Jadi apothem yang dikenali ke Heptadecágono dan sebelah d yang sama adalah:

Kawasan Heptadecágono = (17/2) (D x A)

Kawasan diberi sisi

Untuk mendapatkan formula untuk kawasan Heptadecágono mengetahui panjang tujuh belas sisi, adalah perlu untuk mencapai hubungan antara panjang apotheme ke dan sebelah d.

Merujuk kepada Rajah 2, anda mempunyai hubungan trigonometri berikut:

Tan (β/ 2) = Eg/ oj = (d/ 2)/ a, menjadi β ke sudut tengah Doe. Jadi apothem itu ke boleh dikira jika panjangnya diketahui d dari sisi poligon dan sudut tengah β:

A = (D/2) Cotan (β/2)

Jika ungkapan ini untuk apothem diganti sekarang, dalam formula kawasan heptadecágono yang diperolehi di bahagian sebelumnya, anda mempunyai:

Kawasan Heptadecágono = (17/4) (D2) Cotan (β/2)

Menjadi β = 360º/17 Untuk Heptadecágono, jadi anda akhirnya mempunyai formula yang dikehendaki:

Kawasan Heptadecágono = (17/4) (D2) Cotan (180º/17)

Kawasan diberikan radio

Di bahagian sebelumnya, hubungan antara sisi D dari poligon biasa dan radio R telah dijumpai, yang berikut adalah: yang berikut: yang berikut adalah:

D = 2 r dosa (β/2)

Ungkapan ini untuk d Ia diperkenalkan ke dalam ungkapan yang diperolehi di bahagian sebelumnya untuk kawasan tersebut. Jika penggantian dan penyederhanaan yang berkaitan dibuat, formula yang membolehkan untuk mengira kawasan heptadecágono diperolehi:

Kawasan Heptadecágono = (17/2) (r2) Dosa (β) = (17/2) (r2) Sen (360º/17)

Ekspresi anggaran untuk kawasan itu ialah:

Kawasan Heptadecágono = 3,0706 (r2) 

Seperti yang dijangkakan, kawasan ini sedikit kurang daripada kawasan bulatan yang melekat pada heptadecágon KeCirc = π r2 ≈ 3,1416 r2. Tepat, ia adalah 2% lebih rendah daripada bulatannya.

Boleh melayani anda: kawasan pentagon biasa dan tidak teratur: bagaimana ia diambil, latihan

Contoh

Contoh 1

Untuk heptadecágono mempunyai 2 cm sisi, nilai apa yang harus radius dan diameter lilitan yang dilingkari? Juga cari nilai perimeter.

Untuk menjawab soalan, perlu mengingati hubungan antara sisi dan jejari poligon biasa N sisi:

 D = 2 r sen (180º / n)

Untuk Heptadecágono N = 17, Oleh itu D = 0.3675 r, Dalam kata lain

Diameter 10,8844 cm.

Perimeter heptadecágon 2 cm adalah p = 17* 2 cm = 34 cm.

Contoh 2

Berapa banyak kawasan heptadecágono de 2 cm biasa?

Adalah perlu untuk merujuk kepada formula yang ditunjukkan di bahagian sebelumnya, yang membolehkan untuk mencari kawasan heptadecágono ketika panjangnya d Di sisinya:

Kawasan Heptadecágono = (17/4) (D2) / Tan (180º / 17) 

Semasa menggantikan D = 2 cm dalam formula anterior diperoleh:

Kawasan = 90.94 cm

Rujukan

  1. C. Dan. Ke. (2003). Elemen Geometri: Dengan Latihan dan Geometri Kompas. Universiti Medellin.
  2. Campos, f., Cerecedo, f. J. (2014). Matematik 2. Kumpulan Editorial Patria.
  3. Dibebaskan, k. (2007). Cari poligon. Syarikat Pendidikan Benchmark.
  4. Hendrik, v. (2013). Poligon umum. Birkhäuser.
  5. Iger. (s.F.). Matematik semester pertama Tacaná. Iger.
  6. Jr. Geometri. (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
  7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematik: Penalaran dan Aplikasi (Edisi Kesepuluh). Pendidikan Pearson.
  8. Patiño, m. (2006). Matematik 5. Progreso editorial.
  9. Sada, m. 17 sisi biasa dengan peraturan dan kompas. Pulih dari: geogra.org
  10. Wikipedia. Heptadecágono. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.com