Sifat integral, aplikasi, pengiraan (contoh) yang tidak ditentukan (contoh)

The Integral tidak terbatas Ia adalah operasi terbalik terbalik dan menunjukkan simbol "s" yang dipanjangkan: ∫. Secara matematik, integral fungsi f (x) tidak terbatas ditulis:

∫f (x) dx = f (x) + c

Di mana mengintegrasikan f (x) = f '(x) adalah fungsi pembolehubah x, yang pada gilirannya yang diperoleh dari fungsi lain f (x), yang dipanggil integral atau antiderivatif.

Rajah 1. Integral tidak terbatas adalah salah satu alat yang paling berkuasa untuk pemodelan matematik. Sumber: Wikimedia Commons. Domain Wallpoper / Awam.

Sebaliknya, C adalah pemalar yang dikenali sebagai Pemalar integrasi, yang selalu mengiringi hasil dari integral yang tidak terbatas. Kita akan melihat asalnya dengan segera melalui contoh.

Katakan mereka meminta kami untuk mencari integral yang tidak terbatas berikut:

I = ∫x.Dx

Saya segera mengenal pasti f '(x) dengan x. Ini bermakna kita mesti menyediakan fungsi f (x) sehingga derivatifnya adalah x, sesuatu yang tidak sukar:

f (x) = ½ x²

Kita tahu bahawa apabila diperoleh f (x) kita sampai ke f '(x), kita mengesahkannya:

[½ x²] '= 2. (½ x) = x

Sekarang, fungsi: f (x) = ½ x² + 2 juga memenuhi syarat, kerana terbitan linear dan terbitan pemalar adalah 0. Fungsi lain yang, apabila diperoleh, menghasilkan f (x) = adalah:

½ x² -1, ½ x² + lima belas; ½ x² - √2 ..

Dan secara umum semua fungsi bentuk:

f (x) = ½ x² + C

Mereka adalah jawapan yang betul untuk masalahnya.

Mana -mana fungsi ini dipanggil antiderivatif atau primitif f '(x) = x dan tepatnya set semua antiderivatif fungsi yang dikenali sebagai integral tak terbatas.

Sudah cukup untuk mengetahui salah satu primitif, kerana seperti yang dilihat, satu -satunya perbezaan di antara mereka adalah integrasi c tetap.

Ia boleh melayani anda: Pengedaran Poisson: Formula, Persamaan, Model, Hartanah

Sekiranya masalahnya mengandungi keadaan awal, adalah mungkin untuk mengira nilai c untuk menyesuaikan diri dengan mereka (lihat contoh yang diselesaikan kemudian).

[TOC]

Cara mengira integral yang tidak terbatas

Dalam contoh sebelumnya ∫x dikira.dx kerana fungsi f (x) diketahui bahawa apabila ia diperoleh, ia mengintegrasikan.

Itulah sebabnya dari fungsi yang paling terkenal dan derivatif mereka, integral asas dapat diselesaikan.

Di samping itu terdapat beberapa sifat penting yang memperluaskan pelbagai kemungkinan ketika menyelesaikannya. Menjadi k Nombor sebenar, maka itu benar bahawa:

1.- ∫kdx = k ∫dx = kx + c

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

3.- ∫H (x) dx = ∫ [f (x) ± g (x)] dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

4.- ∫xⁿ Dx = [x^N+1/n + 1] + c (n ≠ -1)

5.- ∫x ^-1 Dx = ln x +c

Bergantung pada pengintegrasian, terdapat beberapa kaedah algebra serta berangka untuk menyelesaikan integral. Di sini kita menyebut:

-Perubahan pembolehubah

-Penggantian algebra dan trigonometri.

-Integrasi oleh bahagian

-Penguraian dalam pecahan mudah untuk mengintegrasikan jenis rasional

-Penggunaan jadual

-Kaedah berangka.

Terdapat integral yang dapat diselesaikan dengan lebih daripada satu kaedah. Malangnya, tidak ada kriteria yang unik untuk menentukan priori kaedah yang paling berkesan untuk menyelesaikan integral tertentu.

Malah, beberapa kaedah membolehkan untuk mencapai penyelesaian integral tertentu lebih cepat daripada yang lain. Tetapi sebenarnya adalah untuk memperoleh kemahiran dengan menyelesaikan integral yang harus anda amalkan dengan setiap kaedah.

- Contoh yang diselesaikan

Menyelesaikan:

Penyelesaian

Mari buat perubahan pembolehubah yang mudah untuk kuantiti subradikal:

U = X-3

Dengan:

X = u+3

Memperoleh kedua -dua belah pihak di mana -mana ungkapan yang anda dapat:

Dx = du

Sekarang kita menggantikan Integral, yang akan kita nyatakan seperti saya:

I = ∫x √ (x-3) dx = ∫ (u+3) (√u) du = ∫ (u+3) u^1/2 du

Boleh melayani anda: pemboleh ubah ordinal

Kami memohon harta pengedaran dan pendaraban kuasa asas yang sama, dan diperolehi:

I = ∫ (u^3/2 + 3 u^1/2) du

Untuk harta 3 bahagian sebelumnya:

I = ∫ u^3/2 du +∫ 3u^1/2 du

Sekarang harta 4 digunakan, yang dikenali sebagai Peraturan kuasa:

Integral pertama

∫ u^3/2 du = [u ^{3/2 + 1} / (3/2 + 1)] + c₁ =

= [u^5/2  / (5/2)] + c₁ = (2/5) u^5/2  + C₁

Integral kedua

∫ 3U^1/2 du = 3 ∫u^1/2 du = 3 [u^3/2  / (3/2)] + c₂ =

= 3 (2/3) u^3/2  + C₂ = 2U^3/2  + C₂

Kemudian hasilnya bersatu:

I = (2/5) u^5/2  + 2U^3/2  + C

Kedua -dua pemalar dapat berkumpul tanpa masalah. Akhirnya, kita tidak boleh lupa untuk mengembalikan perubahan pembolehubah yang telah dilakukan sebelum ini dan menyatakan hasil dari segi pembolehubah asal x:

I = (2/5) (x-3)^5/2  + 2 (x-3)^3/2  + C

Adalah mungkin untuk memberi kesan kepada hasilnya:

I = 2 (x-3) ^3/2 [(1/5) (x-3) +1] + c = (2/5) (X-3) ^3/2 (x + 2) + c

Aplikasi

Integral tidak terbatas berlaku untuk pelbagai model dalam sains semula jadi dan sosial, sebagai contoh:

Gerakan

Dalam penyelesaian masalah pergerakan, untuk mengira kelajuan mudah alih, diketahui pecutannya dan dalam pengiraan kedudukan mudah alih, yang diketahui kelajuannya.

Ekonomi

Semasa mengira kos pengeluaran dan memodelkan fungsi permintaan, contohnya.

Latihan Permohonan

Kelajuan minimum yang diperlukan oleh objek untuk melarikan diri dari tarikan graviti terestrial diberikan oleh:

Dalam ungkapan ini:

-v adalah kelajuan objek yang ingin melarikan diri dari bumi

-Dan ia adalah jarak yang diukur dari pusat planet ini

-M adalah jisim bumi

-G adalah graviti berterusan

Boleh melayani anda: Pengagihan Normal: Formula, Ciri, Contoh, Latihan

Diminta untuk mencari hubungan antara v dan dan, menyelesaikan integral yang tidak terbatas, jika objek diberikan halaju awal v_{Sama ada} Dan jejari bumi diketahui dan dipanggil r.

Rajah 2.- Soyuz satelit buatan. Sekiranya terlalu banyak kelajuan disediakan, ia akan melepaskan keterukan bumi, kelajuan minimum untuk ini berlaku disebut kelajuan ekzos. Sumber: Wikimedia Commons.

Penyelesaian

Kami dibentangkan dengan dua integral yang tidak terbatas untuk menyelesaikan melalui peraturan integrasi:

Yo₁ = ∫v dv = v²/2 + c₁

Yo₂ = -Gm ∫ (1/y²) dy = -gm ∫ dan^-2 dy = -gm [dan^-2+1/(-2 + 1)] + c₂ = Gm. dan^-1 + C₂

Kita sama i₁ dan saya₂:

v²/2 + c₁ = Gm. dan^-1 + C₂

Kedua -dua pemalar boleh berkumpul dalam satu:

Setelah integral diselesaikan, kami menggunakan keadaan awal, yang berikut: Apabila objek berada di permukaan bumi, ia berada di jarak r dari pusat yang sama. Dalam pernyataan mereka memberitahu kami bahawa ia adalah jarak yang diukur dari pusat bumi.

Dan hanya berada di permukaan adalah bahawa kelajuan awal disediakan dengan mana ia akan melarikan diri dari tarikan graviti planet ini. Oleh itu kita dapat menetapkan bahawa v (r) = v_{Sama ada}. Dalam hal ini, tidak ada yang menghalang kita daripada menggantikan keadaan ini dalam hasil yang baru saja kita perolehi:

Dan sejak v_{Sama ada} Ia dikenali, dan begitu juga G, M dan R, kita dapat membersihkan nilai integrasi Constant C:

Yang boleh kita ganti hasil dari integral:

Dan akhirnya kita membersihkan v², Pemfaktoran dan kumpulan dengan betul:

Ini adalah ungkapan yang berkaitan dengan kelajuan v satelit yang telah ditembak dari permukaan planet (radius r) dengan cepat vo, Ketika berada di jauh dan dari pusat planet.

Rujukan

1. Haeussler, e. 1992. Matematik untuk Pentadbiran dan Ekonomi. Kumpulan Editorial Iberoamerica.
2. Hyperphysics. Melepaskan halaju. Pulih dari: hthyperphysics.Phy-Astr.GSU.Edu.
3. Larson, r. 2010. Pengiraan pemboleh ubah. 9NA. Edisi. McGraw Hill.
4. Purcell, e. 2007. Pengiraan dengan geometri analisis. 9NA. Edisi. Pendidikan Pearson.
5. Wolfram Mathworld. Contoh integral. Pulih dari: Mathworld.Wolfram.com.