Rakan atau contoh yang mesra dan bagaimana mencarinya

The Rakan atau nombor mesra Terdapat dua nombor semula jadi A dan B yang jumlah pembahagi salah satu daripada mereka (tidak termasuk nombor) adalah sama dengan nombor yang lain, dan jumlah pembahagi yang lain (tidak termasuknya sama ada) sama dengan yang pertama isu.

Banyak pasangan nombor yang berkongsi harta yang ingin tahu ini telah dijumpai. Mereka tidak terlalu kecil, kanak -kanak di bawah umur 220 dan 284, ditemui beberapa abad yang lalu. Oleh itu mari kita beri mereka sebagai contoh tentang persahabatan yang aneh antara nombor ini.

Rajah 1. Pasangan rakan 220 dan 284 sudah dikenali selama berabad -abad. Sumber: Pixabay.

Pembahagi 220, tidak termasuk 220, adalah: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 dan 110. Sebaliknya, pembahagi 284, tidak termasuk 284 adalah: 1, 2, 4, 71 dan 142.

Sekarang kita menambah pembahagi isu pertama, iaitu 220:

D₁ = 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284

Kita perhatikan bahawa pada dasarnya, jumlahnya adalah 284, rakan bilangannya.

Kemudian pembahagi 284 ditambah:

D₂ = 1+2+4+71+142 = 220

Dan ahli pertama pasangan itu diperoleh.

Ahli matematik Yunani purba Sekolah Pythagorean, yang diasaskan oleh Pythagoras (569-475 hingga.C.), Pengarang teorem terkenal dengan nama yang sama, berjaya menemui hubungan aneh ini antara kedua -dua nombor ini, yang mana banyak kualiti mistik yang dikaitkan.

Mereka juga dikenali oleh ahli matematik Islam Zaman Pertengahan, yang berjaya menentukan formula umum untuk mencari rakan -rakan tentang 850 -an era kita.

[TOC]

Formula untuk mencari rakan

Ahli matematik Islam Thabit Ibn Qurra (826-901) menemui cara untuk menjana beberapa nombor rakan. Sean p, q dan r Tiga nombor utama, iaitu nombor yang hanya mengakui kepada 1 dan diri mereka sebagai pembahagi.

Setelah memenuhi perkara berikut:

P = 3.2^N-1 - 1

Q = 3.2ⁿ - 1

Boleh melayani anda: Corollary (geometri)

R = 9.2^2n-1 - 1

Dengan n nombor yang lebih besar daripada 1, maka:

A = 2ⁿPQ dan B = 2ⁿr 

Buat beberapa rakan. Kami akan mencuba formula untuk n = 2 dan melihat beberapa nombor rakan yang menjana:

P = 3.2^2-1 - 1 = 3. 2 - 1 = 5

Q = 3.2² - 1 = 11

R = 9.2^2.2-1 - 1 = 71

Jadi:

A = 2ⁿPQ = 2². 5. 11 = 220

B = 2ⁿR = 2². 71 = 284

Formula matematik abad pertengahan.

Walau bagaimanapun, teorem tidak berfungsi untuk semua rakan yang ditemui setakat ini, hanya untuk n = 2, n = 4 dan n = 7.

Berabad-abad kemudian, ahli matematik Switzerland Leonhard Euler (1707-1783) menyimpulkan peraturan baru untuk mencari nombor mesra, berdasarkan Thabit ibn Qurra:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Seperti biasa, nombor p, q dan r adalah sepupu, tetapi sekarang terdapat dua eksponen keseluruhan: m dan n, yang mana M mesti memenuhi syarat berikut:

1 ≤ m ≤ n-1

Pasangan rakan dibentuk dengan cara yang sama:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr 

Jika M = N-1 diperoleh lagi Teorem Thabit, tetapi seperti yang berlaku dengan Teorem Matematik Islam, tidak semua nombor mesra memenuhi peraturan Euler. Walau bagaimanapun, dengan jumlah nombor mesra yang diketahui sehingga itu meningkat.

Berikut adalah pasangan pertama eksponen (m, n) yang dapat mencari beberapa nombor yang mesra:

(1,2), (3,4), (6.7), (1.8) dan (29.40)

Kemudian, di bahagian latihan, kami akan menemui beberapa nombor mesra yang membentuk terima kasih kepada eksponen (3,4) peraturan Euler.

Contoh nombor rakan

-220 dan 284

Boleh melayani anda: Eksperimen rawak: konsep, ruang sampel, contoh

-1184 dan 1210

-2620 dan 2924

-5020 dan 5564

-6232 dan 6368

-10.744 dan 10.856

-12.285 dan 14.595

-17.296 dan 18.416

Sudah tentu, lebih banyak pasangan nombor mesra dapat dihasilkan oleh komputer.

Cara Memecahkan Nombor Dan Cari Pembahagi Anda

Mari kita lihat sekarang bagaimana mencari pembahagi nombor, untuk menyokong jika mereka berkawan. Mengikut definisi nombor yang mesra, semua pembahagi setiap peserta diperlukan untuk dapat menambahkannya, kecuali angka itu sendiri.

Sekarang, nombor semula jadi boleh dibahagikan kepada dua kumpulan: nombor utama dan nombor kompaun.

Nombor Primo hanya mengakui sebagai pembahagi tepat kepada 1 dan diri mereka sendiri. Dan angka -angka yang dikarang oleh pihak mereka, selalu dapat dinyatakan sebagai produk bilangan perdana dan memiliki pembahagi lain, selain dari 1 dan dari diri mereka sendiri.

Sebarang nombor kompaun, sebagai 220 atau 284, boleh dinyatakan dengan cara ini:

N = aⁿ . b^m. c^p... r^k

Di mana A, B, C ... R adalah Nombor Perdana dan N, M, P ... k adalah eksponen yang dimiliki oleh nombor semula jadi, yang boleh bernilai dari 1 dan seterusnya.

Dari segi eksponen ini, terdapat formula untuk mengetahui berapa banyak (tetapi tidak) divisor mempunyai nombor n. Biarkan C menjadi jumlah ini:

C = (n +1) (m +1) (p +1) ... (k +1)

Sebaik sahaja bilangan n dinyatakan dari segi produk nombor utama dan diketahui berapa banyak pembahagi, anda sudah mempunyai alat untuk mengetahui apa pembahagi mereka, kedua -dua sepupu dan bukan -cousin. Dan perlu bertemu dengan mereka semua untuk memeriksa sama ada mereka berkawan, kecuali yang terakhir, yang merupakan nombor itu sendiri.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Cari semua pembahagi beberapa rakan 220 dan 284.

Penyelesaian

Mula -mula kita akan menemui pembahagi utama 220, yang merupakan nombor kompaun:

Boleh melayani anda: anggaran tepat waktu

220 │2
110 │2
55 │5
11 │11
1 │

Penguraian dalam faktor utama 220 adalah:

220 = 2 x 2 x 5 x 11 = 2².5. sebelas

Oleh itu n = 2, m = 1, p = 1 dan memiliki:

C = (2+1). (1+1). (1+1) = 12 divisores

Pembahagi pertama yang diberi amaran mengenai penguraian nombor adalah: 1, 2, 4, 5 dan sebelas. Dan mereka juga 110 dan 55.

5 daripadanya akan hilang, yang membuat produk antara sepupu dan kombinasi mereka: 2².5 = dua puluh;  2².11 = 44; 2. 11 = 22 dan akhirnya 1 dan miliknya sendiri 220.

Prosedur analog untuk 284 diikuti:

284 │2
142 │2
71 │71
1 │

284 = 2². 71

C = (2+1). (1+1) = 3 x 2 = 6 pembahagi

Pembahagi ini ialah: 1, 2, 4, 71, 142 dan 284, seperti yang dinyatakan pada awal.

Rajah 2. Dengan kaedah yang diterangkan pasangan ini dapat dianalisis untuk mengesahkan bahawa mereka adalah nombor kawan. Sumber: f. Zapata.

- Latihan 2

Semak formula Euler untuk n = 4 dan m = 3 menjana senarai nombor perdana (p, q, r) = (23,47, 1151). Apa yang dibentuk oleh beberapa rakan dengan mereka?

Penyelesaian

Nombor Perdana P, Q dan R dikira oleh:

P = (2^N-m + 1). 2^m - 1

Q = (2^N-m + 1). 2ⁿ - 1

R = (2^N-m + 1)². 2^m+n  - 1

Menggantikan nilai m = 3 dan n = 4 diperoleh:

P = (2^4-3 + 1). 2³ - 1 = 23

Q = (2^4-3 + 1). 2⁴ - 1 = 47

R = (2^4-3 + 1)². 2⁴⁺³  - 1 = 1151

Sekarang formula digunakan untuk mencari beberapa rakan nombor a dan b:

A = 2ⁿpq 

B = 2ⁿr 

A = 2ⁿPQ = 16. 23. 47 = 17.296

B = 2ⁿR = 16. 1151 = 18.416

Dan sememangnya, mereka adalah antara senarai pasangan pertama nombor kawan yang kami tunjukkan sebelumnya.

Rujukan

1. Baldor, a. 1986. Aritmetik. Edisi dan Pengagihan Edisi Codex.
2. Semua mengenai nombor Perdana. Nombor rakan. Pulih dari: jururawat.org.
3. Wolfram Mathworld. Peraturan Euler. Pulih dari: Mathworld.Wolfram.com.
4. Wikipedia. Nombor yang baik. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.org.
5. Wikipedia. Nombor rakan. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.org.