Sejarah nombor sebenar, contoh, sifat, operasi

The Nombor sebenar Mereka membentuk set berangka yang merangkumi bilangan semula jadi, bilangan bulat, rasional dan tidak rasional. Mereka dilambangkan dengan simbol ℝ atau sederhana R Dan jangkauan yang mereka ada dalam sains, kejuruteraan dan ekonomi adalah seperti ketika bercakap tentang "nombor", hampir diandaikan bahawa ia adalah bilangan sebenar.

Nombor sebenar telah digunakan sejak zaman purba, walaupun mereka tidak diberi nama itu. Dari masa ketika Pythagoras mengembangkan teoremnya yang terkenal, bilangan timbul yang tidak dapat diperolehi sebagai nombor yang agak semula jadi atau jumlah keseluruhan.

Rajah 1. Rajah Venn menunjukkan bagaimana set nombor sebenar mengandungi set berangka lain. Sumber> Wikimedia Commons.

Contoh nombor adalah √2, √3 dan π. Nombor ini dipanggil tidak rasional, Berbeza dengan nombor rasional, yang berasal dari kuota antara nombor keseluruhan. Oleh itu, perlu, satu set berangka yang meliputi kedua -dua jenis nombor.

Istilah "nombor sebenar" dicipta oleh ahli matematik yang hebat René Descartes (1596-1650), untuk membezakan antara kedua-dua jenis akar yang mungkin timbul daripada menyelesaikan persamaan polinomial.

Beberapa akar ini boleh menjadi pasangan nombor negatif, Descartes ini memanggil mereka "nombor khayalan" dan mereka yang tidak, adalah nombor sebenar.

Denominasi berterusan dari masa ke masa, menimbulkan dua set berangka besar: nombor sebenar dan nombor kompleks, set yang lebih luas yang merangkumi nombor sebenar, khayalan dan mereka yang berada dalam khayalan sebenar dan sebahagiannya.

Evolusi bilangan sebenar meneruskan perjalanannya sehingga pada tahun 1872, ahli matematik Richard Dedekind (1831-1936) ditakrifkan dengan semua formaliti set nombor sebenar melalui panggilan Kortur Dedekind. Sintesis karyanya disiarkan dalam artikel yang melihat cahaya pada tahun yang sama.

Boleh melayani anda: poligon biasa: sifat, elemen, sudut, contoh

[TOC]

Contoh nombor sebenar

Jadual berikut menunjukkan contoh nombor sebenar. Set ini mempunyai subset ke nombor semula jadi, bilangan bulat, rasional dan tidak rasional. Sebarang bilangan set ini, dengan sendirinya, nombor sebenar.

Oleh itu 0, negatif, positif, pecahan dan perpuluhan adalah nombor sebenar.

Rajah 2. Contoh nombor sebenar adalah orang asli, bilangan bulat, rasional, tidak rasional dan transenden. Sumber: f. Zapata.

Perwakilan nombor nyata pada baris sebenar 

Nombor sebenar boleh diwakili pada baris sebenar R, Seperti yang ditunjukkan oleh gambar. Tidak perlu bahawa 0 sentiasa hadir, namun ia adalah mudah untuk mengetahui bahawa reais negatif berada di sebelah kiri mereka dan ke kanan positif. Itulah sebabnya ia adalah titik rujukan yang sangat baik.

Pada baris sebenar skala diambil, di mana bilangan bulat dijumpai: ... 3, -2, -1, 1, 2, 3 .. . Anak panah menunjukkan bahawa garisan meluas ke tak terhingga. Tetapi itu bukan semua, dalam apa selang yang dipertimbangkan, kita akan sentiasa mencari nombor sebenar yang tidak terhingga.

Nombor sebenar diwakili mengikut urutan. Bermula, ada urutan nombor keseluruhan, di mana positif.

Pesanan ini kekal dalam jumlah sebenar. Ketidaksamaan berikut ditunjukkan sebagai contoh:

a) -1/2 < √2

b) e < π

c) π> -1/2

Rajah 3.- Garis sebenar. Sumber: Wikimedia Commons.

Sifat nombor sebenar

-Nombor sebenar termasuk nombor semula jadi, bilangan bulat, rasional dan tidak rasional.

Boleh melayani anda: Apakah nombor segi tiga? Sifat dan demonstrasi

-Harta komutatif jumlahnya dipenuhi: urutan tambahan tidak mengubah jumlahnya. Jika A dan B adalah dua nombor sebenar, selalu benar bahawa:

A + b = b + a

-0 adalah elemen neutral jumlah: a + 0 = a

-Harta bersekutu dipenuhi untuk jumlah. Jika A, B dan C adalah nombor sebenar: (A + B) + C = A + (B + C).

-Kebalikan dari nombor sebenar A ialah -a.

-Penolakan ditakrifkan sebagai jumlah yang bertentangan: a - b = a + (-b).

-Harta komutatif produk dipenuhi: susunan faktor tidak mengubah produk: a.b = b.ke

-Harta bersekutu juga digunakan untuk produk: (a.b).C = a.(b.c)

-1 adalah elemen pendaraban neutral: a.1 = a

-Harta pendaraban pengedaran berkenaan dengan penambahan adalah sah: a. (b+c) = a.B + a.c

-Pembahagian oleh 0 tidak ditakrifkan.

-Sebarang nombor sebenar A, kecuali 0, mempunyai kebalikan berbilang untuk^-1 seperti itu.ke^-1 = 1.

-Sekiranya A adalah nombor sebenar: a⁰ = 1 dan a¹ = a.

-Nilai mutlak atau modul nombor sebenar adalah jarak antara nombor tersebut dan 0.

Operasi dengan nombor sebenar

Dengan nombor sebenar anda boleh melakukan operasi yang dibuat dengan set berangka lain, termasuk jumlah, penolakan, pendaraban, pembahagian, peningkatan, radiasi, logaritma dan banyak lagi.

Seperti biasa, pembahagian oleh 0 tidak ditakrifkan, tidak ada logaritma nombor negatif atau 0, walaupun benar bahawa log 1 = 0 dan logaritma nombor antara 0 dan 1 adalah negatif.

Aplikasi

Aplikasi nombor sebenar untuk semua jenis situasi sangat bervariasi. Nombor sebenar muncul sebagai tindak balas kepada banyak masalah dalam sains, komputer, kejuruteraan, ekonomi dan sains sosial yang tepat.

Ia boleh melayani anda: Hipparco of Nicea: Biografi dan Sumbangan kepada Sains

Semua jenis magnitud dan jumlah seperti jarak, masa, daya, intensiti bunyi, wang dan banyak lagi, mempunyai ekspresi mereka dalam jumlah sebenar.

Penghantaran isyarat telefon, imej dan bunyi video, suhu penghawa dingin, pemanas atau peti sejuk boleh dikawal secara digital, yang bermaksud mengubah magnitud fizikal menjadi urutan berangka.

Perkara yang sama berlaku apabila transaksi bank dibuat dalam talian atau pemesejan segera dirujuk. Nombor sebenar ada di mana -mana.

Latihan diselesaikan

Mari kita lihat dengan latihan bagaimana angka -angka ini berfungsi dalam situasi yang sama dengan mana kita setiap hari.

Latihan 1

Pejabat Pos hanya menerima pakej yang panjangnya, ditambah dengan pengukuran kontur, tidak melebihi 108 inci. Oleh itu, untuk pakej yang ditunjukkan untuk diterima, ia mesti dipenuhi bahawa:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Adakah anda akan lulus pakej yang berukuran 6 inci lebar, 8 inci tinggi dan 5 kaki panjang?

b) Bagaimana dengan satu yang mengukur 2 x 2 x 4 kaki³?

c) Apakah yang tertinggi boleh diterima untuk pakej yang asasnya persegi dan mengukur 9 x 9 inci²?

Jawapan kepada

L = 5 kaki = 60 inci

x = 6 inci

y = 8 inci

Operasi yang akan diselesaikan adalah:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inci = 60 + 2 x 14 inci = 60 + 28 inci = 88 inci

Pakej ini diterima.

Jawab b

Dimensi pakej ini lebih rendah daripada pakej a), jadi kedua -duanya berjaya lulus.

Jawab c

Dalam pakej ini:

x = L = 9 inci

Ia mesti dipenuhi bahawa:

9+ 2 (9+ y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

dan ≤ 40.5 inci

Rujukan

1. Carena, m. 2019. Manual Matematik PraUniversiti. Universiti Kebangsaan Pantai.
2. Diego, a. Nombor sebenar dan sifat mereka. Pulih dari: matematik.Uns.Edu.ar.
3. Figuera, j. 2000. Matematik ke -9. Ijazah. Edisi bersama.
4. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.