Gelombang unidimensial ungkapan dan contoh matematik

The Gelombang unidimensional Mereka adalah yang menyebarkan ke satu arah tanpa mengira sama ada getaran berlaku atau tidak dalam arah penyebaran yang sama. Contoh yang baik dari mereka adalah gelombang yang bergerak di sepanjang tali tegang seperti gitar.

Dalam gelombang rata menyeberang, Zarah bergetar secara menegak (mereka memanjat dan turun, lihat anak panah merah dalam Rajah 1), tetapi ia adalah satu -dimensi kerana gangguan perjalanan ke satu arah, mengikuti anak panah kuning.

Rajah 1: Imej mewakili gelombang satu -dimensi. Perhatikan bahawa rabung dan lembah membentuk garis selari antara satu sama lain dan tegak lurus dengan arah penyebaran. Sumber: Diri Diri.

Gelombang unidimensi kelihatan agak kerap dalam kehidupan seharian. Bahagian berikut menerangkan beberapa contohnya dan juga gelombang yang tidak bersuara, untuk menetapkan perbezaannya dengan jelas.

[TOC]

Contoh gelombang unidimensi dan gelombang bukan -sunidimensial

Gelombang unidimensional

Ini adalah beberapa contoh satu gelombang dimensi yang boleh diperhatikan dengan mudah:

- Denyutan bunyi yang bergerak melalui bar lurus, kerana ia adalah gangguan yang menyebar ke seluruh bar.

- Gelombang yang bergerak melalui saluran air, walaupun anjakan permukaan air tidak selari dengan saluran.

- Gelombang yang tersebar di permukaan atau melalui ruang tiga dimensi juga boleh menjadi satu -dimensi, dengan syarat bahawa depan gelombang mereka adalah pesawat selari antara satu sama lain dan bergerak ke satu arah.

Gelombang bukan dimensi

Contoh gelombang yang tidak dimensi ditemui di gelombang yang terbentuk di permukaan air masih apabila batu jatuh. Ia adalah gelombang gelombang dua dimensi gelombang silinder.

Boleh melayani anda: lengan tuilRajah 2. Imej mewakili contoh apa yang bukan gelombang satu -dimensi. Perhatikan bahawa rabung dan lembah membentuk bulatan dan arah penyebaran adalah radial ke luar, kemudian gelombang pekeliling dua dimensi. Sumber: Pixabay.

Satu lagi contoh gelombang dimensi bukan kesatuan ialah gelombang bunyi yang menghasilkan mercun dengan letupan pada ketinggian tertentu. Ini adalah gelombang tiga dimensi dengan depan gelombang sfera.

Ekspresi matematik gelombang satu dimensi

Cara paling umum untuk menyatakan gelombang satu dimensi yang merebak tanpa pelemahan dalam arah positif paksi x dan dengan kelajuan v Ia secara matematik:

dan (x, t) = f (x - v.t)

Dalam ungkapan ini dan mewakili gangguan dalam kedudukan x Serta -merta t. Bentuk gelombang diberikan oleh fungsi F. Sebagai contoh, fungsi gelombang yang ditunjukkan dalam Rajah 1 ialah:  dan (x, t) = cos (x - v t) dan imej gelombang sepadan dengan masa ini t = 0.

Gelombang seperti ini, yang diterangkan oleh fungsi kosinus atau sinus, dipanggil Gelombang Harmonik. Walaupun bukan satu -satunya bentuk gelombang yang wujud, ia adalah yang paling penting, kerana gelombang lain boleh diwakili sebagai pertindihan atau jumlah gelombang harmonik. Ia adalah kenalan Teorem Fourier, jadi digunakan untuk menggambarkan isyarat semua jenis.

Apabila gelombang bergerak ke arah negatif paksi x, ia hanya berubah v oleh -v Dalam hujah, menjadi:

dan (x, t) = g (x + v t)

Rajah 3 menunjukkan animasi gelombang yang bergerak ke kiri: ia adalah bentuk yang disebut fungsi Lorentziana dan dia Ekspresi matematik adalah:

Boleh melayani anda: kerja: formula, unit, contoh, latihan

dan (x, t) = 1 / (1 + (x + 1⋅t)²

Dalam contoh ini, kelajuan penyebaran adalah V = 1, -satu unit ruang untuk setiap unit masa-.

Rajah 3. Contoh gelombang Lorentzian yang bergerak ke kiri dengan cepat v = 1. Sumber: Disediakan oleh f. Zapata dengan geogebra.

Persamaan gelombang unidimensional

Persamaan gelombang adalah persamaan dalam derivatif separa, yang penyelesaiannya tentu saja gelombang. Ia mewujudkan hubungan matematik antara bahagian ruang dan bahagian temporalnya, dan mempunyai bentuk:

Penyelesaiannya, yang tepatnya fungsi y (x, t), boleh disahkan oleh penggantian dan pembangunan dalam persamaan ini. Contohnya, fungsi f (x - v t)  dan  G (x + vt)  disebutkan, mereka adalah penyelesaian persamaan gelombang.

Contoh yang diselesaikan

Kemudian anda mempunyai ungkapan umum y (x, t) untuk gelombang harmonik:

dan (x, t) = a⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo)

a) Huraikan makna fizikal parameter A, k, Ω dan θo.

b) Apakah makna mempunyai tanda -tanda ± pada hujah coseno?

c) Sahkan bahawa ungkapan yang diberikan memang penyelesaian persamaan gelombang bahagian sebelumnya dan dapatkan kelajuan v penyebaran.

Penyelesaian untuk)

Ciri -ciri gelombang berada dalam parameter berikut:

-Ke mewakili amplitud atau "ketinggian gelombang".

-k masuk Nombor gelombang Dan ia berkaitan dengan panjang gelombang λ melalui K = 2π/ λ.

-Ω Ia adalah fpengembangan sudut Dan ia berkaitan dengan tempoh T Gelombang ayunan oleh

Ω = 2π/ t.

-θo Ia adalah Fasa awal, yang berkaitan dengan titik permulaan gelombang.

Boleh melayani anda: geseran statik: pekali, contoh, senaman

Penyelesaian b)

Tanda negatif diambil jika gelombang bergerak ke arah positif paksi x dan tanda positif sebaliknya.

Penyelesaian c)

Sahkan bahawa ungkapan yang diberikan adalah penyelesaian kepada persamaan gelombang adalah mudah: derivatif separa fungsi diambil dan (x, t) Mengenai X dua kali, ia sebahagiannya diperoleh dari T dua kali dan kemudian kedua -dua keputusan memenuhi kesamaan:

Kedua berasal dari x: ∂²dan/ ∂x²= -K². Ke⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo)

Kedua diperoleh dari t: ∂²dan/ ∂t²= -Ω². Ke⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo)

Keputusan ini digantikan dalam persamaan gelombang:

 -k². Ke⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo) = (1/v²) (-Ω². Ke⋅cos (k⋅x ± Ω⋅t + θo))

Begitu banyak Ke Oleh kerana kosinus dipermudahkan, kerana ia muncul di kedua -dua belah persamaan dan argumen kosinus adalah sama, oleh itu ungkapan dikurangkan ke:

-k² = (1/v²) (-Ω²)

Yang membolehkan untuk mendapatkan persamaan untuk v dari segi Ω dan k:

v² = Ω² / k²

V = ± Ω / k

Rujukan

1. E-pendidikan. Persamaan gelombang harmonik unidimensional. Pulih dari: e-ducative.Cathedu.adalah
2. Rincón Fizik. Kelas gelombang. Diperolehi dari: Fizik.Blogspot.com.
3. Figueroa, d. 2006. Gelombang dan Fizik Kuantum. Siri: Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Disunting oleh Douglas Figueroa. Simon Bolivar University. Caracas Venezuela.
4. Makmal Fizik. Gerakan gelombang. Pulih dari: fisicalab.com.
5. Peirce, a. Kuliah 21: Persamaan Gelombang Satu Dimensi: Penyelesaian D'Alembert. Diperolehi dari: UBC.Ac.
6. Persamaan Gelombang. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.com