Produk yang luar biasa

Apa produk yang ketara?

Produk terkenal adalah operasi algebra, di mana pendaraban polinomial dinyatakan, yang tidak perlu diselesaikan secara tradisional, tetapi dengan bantuan peraturan tertentu, hasil yang sama dapat dijumpai.

Polinomial didarabkan dengan sama ada, oleh itu mungkin mereka mempunyai banyak terma dan pembolehubah. Untuk membuat proses pendek, peraturan produk terkenal digunakan, yang membolehkan pendaraban tanpa perlu berjangka untuk jangka masa.

Produk dan contoh yang ketara

Setiap produk yang luar biasa adalah formula yang dihasilkan dari pemfaktoran, terdiri daripada polinomial beberapa istilah seperti binomial atau trinomial, yang disebut faktor.

Faktornya adalah asas kuasa dan mempunyai eksponen. Apabila faktor berlipat ganda, eksponen mesti ditambah.

Terdapat beberapa formula produk yang ketara, ada yang lebih digunakan daripada yang lain, bergantung kepada polinomial, dan yang berikut:

Binomial persegi

Ia adalah pendaraban binomial dengan sendirinya, dinyatakan dalam bentuk kuasa, di mana istilah ditambah atau ditolak:

ke. Binomial Jumlah persegi: Ia sama dengan kuadrat istilah pertama, ditambah dua kali ganda produk terma, ditambah dengan kuadrat istilah kedua. Ia dinyatakan seperti berikut:

(A + b)² = (a + b) _* (A + b).

Dalam angka berikut, anda dapat melihat bagaimana produk dibangunkan mengikut peraturan yang disebutkan di atas. Hasilnya dipanggil trinomial dari persegi yang sempurna.

Contoh 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Contoh 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4 _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16 AB + 4b².

b. Binomial penolakan persegi: Peraturan yang sama dari binomial jumlah yang digunakan, hanya dalam hal ini istilah kedua adalah negatif. Formulanya adalah seperti berikut:

(A - b)² = [(a) + (- b)]²

Boleh melayani anda: Analogi berangka: Jenis, Aplikasi dan Latihan

(A - b)² = a² +2 _* (-b) + (-b)²

(A - b)²   = a² - 2ab + b².

Contoh 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36.

Produk Binomial Conjugate

Dua binomial dikonjugasi apabila syarat kedua masing -masing mempunyai tanda -tanda yang berbeza, iaitu, yang pertama adalah positif dan yang kedua negatif atau sebaliknya. Ia diselesaikan dengan menaikkan setiap kuasa monomial dan ditolak. Formulanya adalah seperti berikut:

(A + b) _* (A - b)

Dalam angka berikut, produk dua binomial konjugasi dibangunkan, di mana diperhatikan bahawa hasilnya adalah perbezaan kuadrat.

Contoh 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² + (-6ab) + (6 ab) + (-9b²)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a² - 9b².

Produk dua binomial dengan istilah biasa

Ia adalah salah satu produk terkenal yang paling kompleks dan sedikit digunakan kerana ia adalah pendaraban dua binomial yang mempunyai istilah yang sama. Peraturan menunjukkan perkara berikut:

• Dataran istilah biasa.
• Ditambah jumlah istilah yang tidak biasa dan kemudian melipatgandakannya dengan istilah biasa.
• Ditambah dengan jumlah pendaraban istilah yang tidak biasa.

Ia diwakili dalam formula: (x + a) _* (x + b) dan dibangunkan seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Hasilnya adalah trinomial persegi yang tidak sempurna.

Contoh 1

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* X + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54.

Terdapat kemungkinan bahawa istilah kedua (istilah yang berbeza) adalah negatif dan formulanya adalah seperti berikut: (x + a) _* (x - b).

Contoh 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4 - 2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8.

Ia juga boleh berlaku bahawa kedua -dua istilah yang berbeza adalah negatif. Formula anda akan: (x - a) _* (x - b).

Boleh melayani anda: teorem lamy

Contoh 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6 - 5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² + (-Eleven) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

Polinomial persegi

Dalam kes ini terdapat lebih daripada dua istilah dan untuk membangunkannya, masing -masing dipotong dan menambah bersama dua kali ganda satu penggal satu istilah dengan yang lain; Formulanya ialah: (A + B + C)² Dan hasil operasi adalah trinomial squared.

Contoh 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2 dan)² + (4Z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y² + 16z² + 12xy + 24xz + 16yz.

Cube Binomial

Ia adalah produk terkenal yang kompleks. Untuk membangunkannya, binomial didarabkan dengan persegi, seperti berikut:

ke. Untuk binomial ke kiub sejumlah:

• Cube istilah pertama, ditambah tiga persegi istilah pertama oleh yang kedua.
• Ditambah tiga istilah pertama, dengan kuasa kedua.
• Plus kiub penggal kedua.

(A + b)³ = (a + b) _* (A + b)²

(A + b)³ = (a + b) _* (Kepada² + 2ab + b²)

(A + b)³ = a³ + 2²B + AB² + ba² + 2ab² + b³

(A + b)³ = a³ + Ke -3²B + 3ab² + b³.

Contoh 1

(A + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(A + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(A + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

b. Untuk binomial ke kubus penolakan:

• Kiub istilah pertama, kecuali tiga kuadrat dari istilah pertama oleh yang kedua.
• Ditambah tiga istilah pertama, dengan kuasa kedua.
• Kurang kiub penggal kedua.

(A - b)³ = (a - b) _* (A - b)²

(A - b)³ = (a - b) _* (Kepada² - 2ab + b²)

(A - b)³ = a³ - 2²B + AB² - ba² + 2ab² - b³

(A - b)³ = ke³ - Ke -3²B + 3ab² - b³.

Contoh 2

(B - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(B - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

Boleh melayani anda: Data yang tidak berkumpul: Contoh dan Latihan Diselesaikan

(B - 5)³ = b³ - 15b² +75b - 125.

Trinomial Cube

Ia membangunkan mengalikannya dengan datarannya. Ia adalah produk yang sangat luas kerana terdapat 3 istilah yang dibangkitkan kepada kiub, ditambah tiga istilah setiap segi persegi, didarabkan oleh setiap terma, ditambah enam kali produk dari tiga istilah tersebut. Dilihat dalam bentuk yang lebih baik:

(A + B + C)³ = (A + b + c) _* (A + B + C)²

(A + B + C)³ = (A + b + c) _* (Kepada² + b² + c² + 2AB + 2AC + 2BC)

(A + B + C)³ = A³ + b³ + c³ + Ke -3²B + 3ab² + Ke -3²C + 3ac² + 3b²C + 3BC² + 6ABC.

Contoh 1

Latihan produk yang terkenal

Latihan 1

Kembangkan binomial berikut ke kiub: (4x - 6)³.

Penyelesaian

Mengingati bahawa binomial ke kiub adalah sama dengan istilah pertama yang dibangkitkan kepada kiub, kecuali tiga kuadrat dari istilah pertama oleh yang kedua; ditambah tiga istilah pertama, dengan kuadrat kedua, kecuali kiub istilah kedua.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432X - 36.

Latihan 2

Kembangkan binomial berikut: (x + 3) (x + 8).

Penyelesaian

Anda mempunyai binomial di mana terdapat istilah biasa, iaitu x dan istilah kedua adalah positif. Untuk membangunkannya, hanya istilah biasa yang perlu ditingkatkan, ditambah dengan jumlah istilah yang tidak biasa (3 dan 8) dan kemudian melipatgandakannya dengan istilah umum, ditambah dengan jumlah pendaraban istilah yang tidak biasa.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24.

Rujukan

1. Malaikat, a. R. (2007). Algebra Elementary. Pendidikan Pearson,.
2. Arthur Goodman, l. H. ( Sembilan belas sembilan puluh enam). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
3. Das, s. (s.F.). Matematik ditambah 8. United Kingdom: Sagar Ratna.
4. Jerome e. Kaufmann, k. L. (2011). Algebra Dasar dan Perantaraan: Pendekatan Gabungan. Florida: Pembelajaran Cengage.
5. Pérez, c. D. (2010). Pendidikan Pearson.