Peraturan derivasi (dengan contoh)

Apakah peraturan derivasi?

The Peraturan Derrying Mereka adalah satu set petunjuk untuk diikuti untuk mencari derivatif biasa fungsi pembolehubah sebenar f (x).

Derivatif biasa fungsi f (x), yang dilambangkan sebagai f '(x), ditafsirkan sebagai kadar pertukaran segera fungsi tersebut berkenaan dengan pembolehubah x. Secara grafik, derivatif adalah cerun garis tangen ke lengkung f (x), dikira pada titik tertentu yang koordinatnya adalah x_{Sama ada}, seperti yang diwakili dalam gambar di bawah.

Derivatif sebagai cerun garis tangen ke f (x) pada titik tertentu. Sumber: Wikimedia Anemos/Diubahsuai oleh F. Zapata.

Sekarang, secara analitik derivatif dikira melalui had berikut:

Oleh itu, setiap kali derivatif beberapa fungsi diperlukan, had harus dinilai seperti yang ditunjukkan. Walau bagaimanapun, terdapat peraturan derifan, yang mudah dihafal dengan sedikit amalan dan menyelamatkan kerja mengira had, yang dalam beberapa kes adalah rumit.

Apakah peraturan derivasi?

Peraturan terbitan yang ditunjukkan di bawah mudah diperoleh melalui definisi derivatif rasmi.

1. Derivatif segera

Berasal dari yang berterusan

Derivatif malar k ialah 0:

f (x) = k ⇒ f '(x) = 0

• Contoh

f (x) = 5, kemudian f '(5) = 0

Berasal dari x

Derivatif f (x) = x selalu 1, iaitu:

f (x) = x, kemudian f '(x) = 1

2. Fungsi linear diperolehi

Fungsi linear mempunyai bentuk:

f (x) = kapak

Di mana A adalah nombor sebenar.

Derivatifnya ialah:

f '(x) = a

• Contoh

Biarkan f (x) = 3x, kemudian:

f '(x) = 3

3. Berasal dari jumlah

Jika f (x) adalah jumlah atau penolakan dua fungsi u dan v, kedua -duanya berbeza:

f (x) = u ± v

Jadi:

f '(x) = u' (x) ± v '(x)

Berasal dari fungsi yang berkaitan

Fungsi yang berkaitan adalah jumlah dua istilah:

Boleh melayani anda: Operasi gabungan

f (x) = kapak + b

Di mana a dan b adalah nombor sebenar. Memohon Jumlah Jumlah:

f '(x) = (kapak)' + (b) '

Tetapi:

(kapak) '= a (peraturan 2)

(b) '= 0 (Peraturan 1)

Oleh itu:

f '(x) = a

• Contoh

Derivatif f (x) = -8x + 6 adalah:

f '(x) = (-8x)' + (6) '= -8

4. Berasal dari kuasa

Kes 1

Biarkan f (x) menjadi fungsi berpotensi bentuk f (x) = xⁿ, Jadi:

f (x) = xⁿ ⇒ f '(x) = n ∙ x^{N - 1}

• Contoh

Apabila diperoleh:

f (x) = x³

Hasilnya:

f '(x) = 3 ⋅x^3-1 = 3x²

Kes 2

Sekiranya fungsi mempunyai bentuk f (x) = kapakⁿ, Di mana A adalah nombor sebenar, ia keluar dari derivatif:

f '(x) = a ∙ nx^{N - 1}

• Contoh

Dapatkan:

f (x) = 4x⁵

Diperoleh:

f '(x) = 4 ∙ 5 x^5-1 = 20x⁴

Kes 3

Sekiranya eksponen adalah pecahan, ia meneruskan dengan cara yang sama yang dijelaskan dalam kes 1 dan 2. Ini berlaku apabila pemboleh ubah x dijumpai sebagai argumen akar.

• Contoh

Menjadi fungsi:

f (x) = 3x^3/2

Derivatif adalah:

 Sekiranya anda ingin menulis dalam bentuk akar:

5. Produk yang diperolehi

Peraturan produk terpakai kepada fungsi berbentuk produk antara dua fungsi U dan V, kedua -duanya berbeza:

f (x) = u ∙ v

f '(x) = u' ∙ v + u ∙ v '

Iaitu, terbitan produk dua fungsi adalah terbitan yang pertama, oleh yang kedua tanpa mendapat, ditambah yang pertama tanpa memperoleh, didarabkan oleh terbitan kedua.

• Contoh

Cari, mengikuti peraturan produk dan peraturan yang diterangkan di atas, terbitan:

G (x) = (2x+3) (4x²−1)

Perkara pertama ialah menentukan siapa U dan V, ingat bahawa urutan faktor tidak mengubah produk, mereka boleh dipilih dengan cara ini:

• U = 2x+3
• V = 4x²-1

Kemudian peraturan produk dinaikkan dan derivatif yang ditunjukkan diselesaikan, mengikut peraturan yang diterangkan di atas:

G '(x) = (2x+3)' (4x²-1) + (2x + 3) (4x²−1) '

Boleh melayani anda: pengaturcaraan linear: Apa itu, model, sekatan, aplikasi

Kamu perlu:

• (2x+3) '= 2
• (4x²−1) '= 8x

Mengganti:

G '(x) = 2x (4x²-1)+(2x+3) 8x

Derivatif sudah siap, tetapi ungkapan masih boleh menjadi faktor:

G '(x) = 2x [4x²-1+8 (2x+3)] =

= 2x [4x²-1+16x+24] =

= 2x (4x²+16x+23)

Hasil ini juga boleh diperolehi dengan menggunakan harta pengedaran sebelum ini kepada produk (2x+3) (4x²−1) dan kemudian menggunakan peraturan dari 1 hingga 4. Ia ditinggalkan sebagai latihan untuk pembaca.

6. Berasal dari kota

Menjadi fungsi bentuk:

Dengan keadaan v ≠ 0, dan kedua -duanya, u dan v, boleh dibezakan. Dalam kes ini, derivatifnya dikira melalui:

• Contoh

Cari derivatif:

Untuk contoh ini anda perlu:

• U = x+1
• V = x²

Nisbah peraturan kota membawa kepada:

Yang perlu menggantikan perkara berikut:

• (x+1) '= 1
• (x²) '= 2x
• (x²)² = x⁴

Dan ketika menggantikannya adalah:

Memohon harta pengedaran dalam pengangka dan mengurangkan istilah, ungkapan untuk f '(x) adalah:

Latihan ini dapat diselesaikan dengan cara lain, menulis semula f (x) sebagai:

f (x) = (x+1) ∙ x^-2

Dan kemudian menggunakan peraturan produk dan beberapa algebra. Ia dibiarkan sebagai latihan bagi pembaca untuk mengesahkan bahawa ia diperolehi hasil yang sama.

7. peraturan rantai

Terpakai untuk fungsi komposit, bentuk:

f = f (u)

Di mana u = g (x)

Derivatifnya dijalankan seperti berikut:

f '(x) = f' (u) ∙ u '= f' [g (x)] ∙ g '(x)

A g '(x) dikenali sebagai Derivatif dalaman. Memohon peraturan rantai lebih mudah daripada yang kelihatan pada pandangan pertama, lihat contoh ini:

• Contoh

Memohon peraturan rantai, cari terbitan:

f (x) = (2x²-1)⁷

u = g (x) = 2x²-1

Oleh itu, f (u) = u⁷ Dan derivatifnya, menurut Peraturan 4 adalah:

f '(u) = 7u⁶ = 7 (2x²-1)⁶

Hasil ini disimpan dan derivatif dalaman g '(x) dikira:

G '(x) = u' = (2x²-1) '= (2x²) '-(1)'

Di sini perlu menerapkan peraturan berturut -turut: 3 (untuk jumlah/penolakan fungsi), 4 (untuk kuasa) dan 1 (untuk terbitan pemalar).

Ia dapat melayani anda: Teori giliran: sejarah, model, apa itu dan contoh untuk

Diperoleh:

G '(x) = (2x²) '-(1)' = 4x

Langkah terakhir adalah untuk melipatgandakan hasilnya:

f '(x) = 7 (2x²-1)⁶∙ 4x

Dan akhirnya menyusun semula faktor:

f '(x) = 28x ∙ (2x²-1)⁶

8. Berasal dari fungsi trigonometri

Derivatif fungsi trigonometri adalah:

• Contoh

Dapatkan:

H (x) = dosa (4x)

Melakukan u = 4x dan memohon peraturan rantai diperolehi:

H '(x) = 4cos (4x)

9. Berasal dari fungsi trigonometri songsang

Mereka ditunjukkan dalam jadual berikut:

• Contoh

Dapatkan:

g (x) = arct tg (-2x)

Sentiasa ingat peraturan rantai, u = -2x dilakukan dan derivatif adalah:

10. Berasal dari fungsi eksponen dan logaritma

Fungsi eksponen

Sekiranya pangkalannya nombor e:

f (x) = e^x ⇒ f '(x) = e^x

Apabila pangkalan adalah nombor A:

f (x) = a^x ⇒ f '(x) = (ln a) ∙ a^x

Fungsi logaritma

Apabila fungsi logaritma neperian diperolehi:

f (x) = ln x

Dalam kes logaritma di pangkalan lain:

f (x) = log_ke x

• Contoh

Dapatkan:

H (x) = x ∙ lnx

sebelas. Derivatif tersirat

Ia digunakan apabila pelepasan y (x) tidak segera, oleh itu, tidak ada ekspresi eksplisit untuk f (x), seperti dalam kes sebelumnya. Walaupun begitu, adalah mungkin untuk mencari derivatif dengan prosedur yang digambarkan dalam contoh berikut:

• Contoh

Secara tersirat memperoleh ungkapan berikut untuk mencari dan ':

4x³+11xy²-2y³ = 0

Seperti yang dapat anda lihat, tidak mudah untuk mencari dan bergantung kepada x secara langsung, jadi untuk mencari derivatif yang diminta, peraturan yang diterangkan digunakan, merujuk pada kedua -dua belah persamaan:

(4x³) '+ [11 (x)'+ 11x (dan²) '] - (2y³) '= 0 (peraturan dan peraturan produk)

Objektifnya adalah untuk membersihkan dan ', yang merupakan derivatif yang dicari, yang mana peraturan rantai digunakan:

12x² + [11 + 11x ∙ 2yy '] - 6y²dan '= 12x² + 11 + 22xy ∙ dan ' - 6y² ∙ dan '= 0

dan '∙ (22xy - 6y²) + 12x² + 11 = 0