Teorem Euclid

Apakah teorem Euclid?

Dia Teorem Euclid Ia menunjukkan sifat -sifat segitiga yang betul dengan melukis garis yang membahagikannya kepada dua segi empat tepat baru yang sama antara satu sama lain dan, pada gilirannya, sama dengan segitiga asal; Jadi, ada hubungan berkadar.

Euclides adalah salah seorang ahli matematik dan geometer yang terbesar dari usia tua yang membuat beberapa demonstrasi teorema penting. Salah satu yang utama adalah yang menanggung namanya, yang mempunyai aplikasi yang luas.

Ini telah berlaku kerana, melalui teorem itu, hubungan geometri yang ada di segitiga segi empat tepat menerangkan, di mana ini berkaitan dengan unjuran mereka dalam hipotenus.

Formula dan demonstrasi

Teorem Euclid mencadangkan bahawa di setiap segitiga kanan, apabila garis ditarik - yang mewakili pada ketinggian yang sepadan dengan puncak sudut kanan berkenaan dengan hipotenus - dua segi empat tepat terbentuk dari segitiga asal dari asal.

Segitiga ini akan sama antara satu sama lain dan juga akan sama dengan segitiga asal, yang bermaksud bahawa sisi yang sama adalah berkadar antara satu sama lain:

Sudut tiga segitiga adalah kongruen; Iaitu, apabila diputar pada 180 darjah di puncaknya, sudut bertepatan dengan yang lain. Ini menunjukkan bahawa semua orang akan sama.

Dengan cara ini, anda juga boleh mengesahkan persamaan yang wujud antara tiga segitiga, untuk kesamaan sudutnya. Sejak persamaan segitiga, Euclid menetapkan perkadaran ini dari dua teorema:

• Teorem Ketinggian.
• Teorem Catetos.

Teorem ini mempunyai aplikasi yang luas. Pada zaman purba ia digunakan untuk mengira ketinggian atau jarak, mewakili kemajuan besar untuk trigonometri.

Boleh melayani anda: Pengiraan pendekatan menggunakan perbezaan

Ia kini digunakan di pelbagai bidang yang berdasarkan matematik, seperti kejuruteraan, fizik, kimia dan astronomi, di antara banyak bidang lain.

Teorem Ketinggian

Teorem ini menetapkan bahawa dalam mana -mana segi empat segi empat tepat, ketinggian yang diambil dari sudut kanan berkenaan dengan hipotenus adalah purata berkadar geometri (kuadrat ketinggian) antara unjuran cotetos yang menentukan pada hipotenus.

Iaitu, persegi ketinggian akan sama dengan pendaraban kaki yang diunjurkan yang membentuk hipotenus:

h_c² = m _* n

Demonstrasi

Memandangkan segitiga ABC, yang merupakan segi empat tepat di puncak C, dua segi empat tepat yang sama, ADC dan BCD dijana; Oleh itu, pihak yang sepadan adalah berkadar:

Sedemikian rupa sehingga ketinggian h_c Ia sepadan dengan segmen CD, sepadan dengan hypotenuse AB = C, jadi anda perlu:

Sebaliknya, ini sepadan dengan:

Membersihkan hipotenus (h_c), Untuk mengalikan dua ahli kesamaan, anda perlu:

h_{C *} h_{C =} m _* n

h_c² = m _* n

Oleh itu, nilai hipotenus diberikan oleh:

Teorem Catetos

Teorem ini menetapkan bahawa, dalam setiap segitiga yang betul, ukuran setiap Cateto akan menjadi purata proporsional geometri (persegi setiap cateto) antara ukuran hipotenus (lengkap) dan unjuran setiap satu di atasnya:

b² = c _* m

ke² = c_* n

Demonstrasi

Memandangkan segitiga ABC, yang merupakan segi empat tepat di puncak C, sehingga hypotenusa adalah C, ketika melukis ketinggian (h) unjuran kategori A dan B ditentukan, iaitu segmen m dan n masing -masing, dan yang ada pada Hipotenus.

Oleh itu, ketinggian yang ditarik pada segitiga segi empat tepat ABC menghasilkan dua segi empat tepat yang sama, ADC dan BCD, supaya sisi yang sepadan berkadar, seperti ini:

Boleh melayani anda: Paraboloid hiperbolik: Definisi, sifat dan contoh

Db = n, yang merupakan unjuran cateto CB pada hipotenus.

Ad = m, yang merupakan unjuran cateto ac pada hipotenus.

Kemudian, Hypotenuse C ditentukan oleh jumlah kaki unjurannya:

C = m + n

Oleh kerana persamaan segitiga ADC dan BCD, anda perlu:

Perkara di atas adalah sama seperti:

Mengosongkan "A" Cateto untuk melipatgandakan dua ahli kesamaan, anda perlu:

ke _* a = c _* n

ke² = c _* n

Oleh itu, nilai Cateto "A" diberikan oleh:

Begitu juga, disebabkan persamaan segitiga ACB dan ADC, anda perlu:

Di atas adalah sama dengan:

Mengosongkan Cateto "B" untuk mengalikan dua ahli kesamaan, anda perlu:

b _* b = c _* m

b² = c _* m

Oleh itu, nilai Cateto "B" diberikan oleh:

Hubungan antara teorem euclid

Teorema dengan merujuk kepada ketinggian dan kategori berkaitan dengan satu sama lain kerana ukuran kedua -duanya dibuat berkenaan dengan hipotenus segitiga segi empat tepat.

Melalui hubungan teorem Euclid, nilai ketinggian juga dapat dijumpai; Yang mungkin dengan membersihkan nilai m dan n dari teorem kategori dan digantikan dalam teorem ketinggian. Dengan cara ini, ia dipenuhi bahawa ketinggian adalah sama dengan pendaraban kaki, dibahagikan dengan hipotenus:

b² = c _* m

m = b² ÷ c

ke² = c _* n

n = a² ÷ c

Dalam ketinggian teorem m dan n diganti:

h_c² = m _* n

h_c² = (b² ÷ c) _* (Kepada² ÷ c)

h_c = (b² _* ke²) ÷ c

Latihan yang diselesaikan

Contoh 1

Memandangkan segitiga ABC, segi empat tepat dalam A, tentukan ukuran AC dan AD, jika AB = 30 cm dan BD = 18 cm

Penyelesaian

Dalam kes ini terdapat ukuran salah satu kaki yang diproyeksikan (BD) dan salah satu daripada Tark dari segitiga asal (AB). Dengan cara itu, anda boleh menggunakan teorem kategori untuk mencari nilai Cateto BC.

Dapat melayani anda: peraturan korespondensi fungsi

Ab² = Bd _* BC

(30)² = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Nilai CD Cateto boleh didapati mengetahui bahawa BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Kini adalah mungkin untuk menentukan nilai Cateto AC, memohon lagi teorem kategori:

Ac² = Cd _* BD

Ac² = 32 _* lima puluh

Ac² = 160

Ac = √1600 = 40 cm

Untuk menentukan nilai ketinggian (AD), teorem ketinggian terpakai, kerana nilai -nilai kategori CD dan BD yang diunjurkan diketahui:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Contoh 2

Tentukan nilai ketinggian (h) segitiga MNL, segi empat tepat dalam n, mengetahui langkah -langkah segmen:

NL = 10 cm

Mn = 5 cm

PM = 2 cm

Penyelesaian

Anda mempunyai ukuran salah satu kaki yang diunjurkan pada hipotenus (PM), serta ukuran kategori segitiga asal. Dengan cara itu, anda boleh memohon teorem kategori untuk mencari nilai Cateto yang lain yang diunjurkan (LN):

Nl² = PM _* Lm

(10)² = 5 _* Lm

100 = 5 _* Lm

PL = 100 ÷ 5 = 20

Oleh kerana nilai kategori dan hipotenus sudah diketahui, melalui hubungan teorema ketinggian dan kategori dapat ditentukan nilai ketinggian:

NL = 10

Mn = 5

LM = 20

H = (b² _* ke²) ÷ c.

H = (10² _* 5²)  ÷ (Dua puluh)

H = (100 _* 25) ÷ (Dua puluh)

H = 2500 ÷ dua puluh

H = 125 cm.