Teorem Moivre

Kami menerangkan teorem Moivre, kami menunjukkan dan mencadangkan latihan yang diselesaikan

Apa itu Teorem Moivre?

Dia Teorem Moivre Guna proses algebra asas, seperti kuasa dan pengekstrakan akar dalam nombor kompleks. Teorem ini dinyatakan oleh ahli matematik Perancis yang terkenal Abraham de Moivre (1730), yang mengaitkan nombor kompleks dengan trigonometri.

Abraham Moivre membuat persatuan ini melalui ungkapan payudara dan coseno. Ahli matematik ini menghasilkan sejenis formula yang mungkin.

Penjelasan

Teorem Moivre menetapkan perkara berikut:

Sekiranya anda mempunyai nombor yang kompleks dalam bentuk kutub z = r_Ɵ, di mana r adalah modul nombor z kompleks, dan sudut ɵ dipanggil amplitud atau argumen mana-mana nombor kompleks dengan 0 ≤ ɵ ≤ 2π, untuk mengira kuasa N-ini tidak perlu untuk membiak dengan sendirinya n- dua belas; iaitu, tidak perlu membuat produk berikut:

Zⁿ = z _* z _* z_{*... *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *... *} r_Ɵ   N-anda.

Untuk kontario, teorem mengatakan bahawa, ketika menulis z dalam bentuk trigonometri, untuk mengira satu -satunya kuasa, teruskan seperti berikut:

Ya z = r (cos ɵ + i _* dosa ɵ) kemudian zⁿ = rⁿ (cos n*ɵ + i _* dosa n*ɵ).

Sebagai contoh, jika n = 2, maka z² = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)]. Sekiranya anda perlu n = 3, maka z³ = z² _* z. Selain:

z³ = r²[cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] _* R [cos 2 (ɵ) + i sen 2 (ɵ)] = r³[cos 3 (ɵ) + i sen 3 (ɵ)].

Dengan cara ini, sebab -sebab trigonometri payudara dan kosinus dapat diperolehi untuk gandaan sudut, selagi sebab -sebab trigonometri sudut diketahui.

Dengan cara yang sama ia boleh digunakan untuk mencari ungkapan yang lebih tepat dan kurang mengelirukan untuk akar n -ini nombor kompleks z, sehingga zⁿ = 1.

Untuk menunjukkan teorem Moivre, prinsip induksi matematik digunakan: jika integer "a" mempunyai harta "p", dan jika bagi mana -mana integer "n" lebih besar daripada "a" yang mempunyai harta "p" se. + 1 juga mempunyai harta "p", jadi semua nombor keseluruhan lebih besar atau sama dengan "a" mempunyai harta "p".

Demonstrasi Teorem Moivre

Dengan cara ini, demonstrasi teorem dilakukan dengan langkah -langkah berikut:

Asas induktif

Pertama ia diperiksa untuk n = 1.

Boleh melayani anda: curtosis: definisi, jenis, formula, apa itu, contohnya

Seperti z¹ = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))¹ = r¹ (Cos ɵ + i _* sen ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* Ɵ) + i _* Sen (1_* Ɵ)], ia mesti n = 1 teorem dipenuhi.

Hipotesis induktif

Formula sepatutnya berlaku untuk beberapa integer positif, iaitu, n = k.

z^k = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^k  = r^k (cos k ɵ + i _* dosa k ɵ).

Pengesahan

Terbukti bahawa memang benar untuk n = k + 1.

Seperti z^K+1= z^k _* Z, kemudian z^K+1 = (r (cos ɵ + i _* Sen ɵ))^K+1 = r^k (Cos kɵ + i _* dosa kɵ) _*  R (cos ɵ + i_* Senɵ).

Kemudian ungkapan itu berlipat ganda:

z^K+1 = r^K+1((cos kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Yo_*dosa) + (i _* dosa kɵ)_*(cosɵ) + (i _* dosa kɵ)_*(Yo_* Senɵ)).

Seketika faktor r tidak diendahkan^K+1,  Dan anda mendapat faktor biasa i:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) + i²(Sen Kɵ)_*(Senɵ).

Seperti i² = -1, kami menggantikannya dalam ungkapan dan mendapatkan:

(cos kɵ)_*(cosɵ) + i (cos kɵ)_*(Senɵ) + I (Sen Kɵ)_*(cosɵ) - (dosa kɵ)_*(Senɵ).

Sekarang bahagian sebenar dan khayalan diperintahkan:

(cos kɵ)_*(cosɵ) - (dosa kɵ)_*(sin ɵ) + i [(sin kɵ)_*(cosɵ) + (cos kɵ)_*(Senɵ)].

Untuk memudahkan ungkapan, identiti trigonometri sudut untuk kosinus dan sinus digunakan, iaitu:

cos (a+b) = cos a _* cos b - sen a _* dosa b.

dosa (a+b) = sen a _* cos b -cos a _* cos b.

Dalam kes ini, pembolehubah adalah sudut ɵ dan kɵ. Memohon identiti trigonometri, anda mempunyai:

cos kɵ _* cosɵ -  dosa kɵ _* sin ɵ = cos (kɵ + ɵ)

dosa kɵ _* cosɵ + cos kɵ _* dosa = dosa (kɵ + ɵ)

Dengan cara ini, ungkapan tetap:

z^K+1 = r^K+1 (cos (kɵ + ɵ) + i _* dosa (kɵ + ɵ))

z^K+1 = r^K+1(cos [(k +1) ɵ] + i _* dosa [(k +1) ɵ]).

Oleh itu, dapat ditunjukkan bahawa hasilnya benar untuk n = k+1. Dengan prinsip induksi matematik, disimpulkan bahawa hasilnya adalah benar untuk semua bilangan bulat positif; iaitu, n ≥ 1.

Keseluruhan negatif

Teorem Moivre juga digunakan apabila n ≤ 0. Mari kita pertimbangkan keseluruhan negatif "n"; Maka "n" boleh ditulis sebagai "-m", iaitu n = -m, menjadi "m" integer positif. Oleh itu:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = (cos ɵ + i _* sen ɵ) ^-m

Untuk mendapatkan eksponen "m" dengan cara yang positif, ungkapan itu ditulis secara terbalik:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos ɵ + i _* sen ɵ) ^m

Boleh melayani anda: sudut null: definisi dan ciri, contoh, latihan

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = 1 ÷ (cos mɵ + i _* dosa mɵ)

Sekarang, ia digunakan jika z = a+b*i adalah nombor kompleks, maka 1 ÷ z = a-b*i. Oleh itu:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = cos (mɵ) - i _* Sen (mɵ).

Menggunakan kos (x) = cos (-x) dan itu -sen (x) = sen (-x), ia harus:

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = [cos (mɵ) - i _* dosa (mɵ)]

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = cos (- mɵ) + i _* Sen (-mɵ)

(Cos ɵ + i _* sen ɵ)ⁿ = cos (nɵ) - i _* dosa (nɵ).

Dengan cara ini, boleh dikatakan bahawa teorem terpakai kepada semua nilai "n".

Latihan yang diselesaikan

Pengiraan kuasa positif

Salah satu operasi dengan nombor kompleks dalam bentuk kutubnya ialah pendaraban antara dua ini; Dalam hal ini modul berlipat ganda dan argumen ditambah.

Sekiranya anda mempunyai dua nombor kompleks z₁ dan z₂ Dan anda mahu mengira (z₁*z₂)², Kemudian teruskan seperti berikut:

z₁z₂ = [r₁ (cos ɵ₁ + Yo _* sen ɵ₁)] * [R₂ (cos ɵ₂ + Yo _* sen ɵ₂)]

Harta pengedaran digunakan:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo _* cos ɵ_1* Yo _* sen ɵ₂ + Yo _* sen ɵ_1* cos ɵ₂ + Yo²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂).

Mereka dikelompokkan, melukis istilah "i" sebagai faktor ungkapan biasa:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂) + i²_* sen ɵ_1* sen ɵ₂]

Seperti i² = -1, ia digantikan dalam ungkapan:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos ɵ_1* cos ɵ₂ + I (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂) - sen ɵ_1* sen ɵ₂]

Istilah sebenar dengan sebenar, dan khayalan dengan khayalan dikumpulkan semula:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos ɵ_1* cos ɵ₂ - sen ɵ_1* sen ɵ₂) + i (cos ɵ_1* sen ɵ₂ + sen ɵ_1* cos ɵ₂)]

Akhirnya, sifat trigonometri digunakan:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + saya sen (ɵ₁ + Ɵ₂)].

Kesimpulannya:

(z₁*z₂)²= (r₁ r₂ [cos (ɵ₁ + Ɵ₂) + saya sen (ɵ₁ + Ɵ₂))))²

= R₁²r₂²[cos 2*(ɵ₁ + Ɵ₂) + saya berdosa 2*(ɵ₁ + Ɵ₂)].

Latihan 1

Tulis nombor kompleks dalam bentuk kutub jika z = - 2 -2i. Kemudian, menggunakan teorem Moivre, hitung z⁴.

Penyelesaian

Nombor kompleks z = -2 -2i dinyatakan dalam bentuk segi empat tepat z = a +bi, di mana:

A = -2.

B = -2.

Mengetahui bahawa bentuk kutub adalah z = r (cos ɵ + i _* sen ɵ), adalah perlu untuk menentukan nilai modul "r" dan nilai argumen "ɵ". Sebagai r = √ (a²+b²), nilai yang diberikan diganti:

Ia boleh melayani anda: Fungsi Trigonometrik: Asas, Dalam Plane Cartesian, Contoh, Latihan

R = √ (a²+b²) = √ ((-2) ²+(-2) ²)

= √ (4+4)

= √ (8)

= √ (4*2)

= 2√2.

Kemudian, untuk menentukan nilai "ɵ", bentuk segi empat tepat ini digunakan, yang diberikan oleh formula:

jadi ɵ = b ÷ a

Tan ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Sebagai (ɵ) = 1 dan ia harus<0, entonces se tiene que:

Ɵ = Arcan (1) +π.

= Π/4 +π

= 5π/4.

Seperti yang telah dicapai dengan nilai "R" dan "ɵ", nombor kompleks z = -2 -2i boleh dinyatakan dalam bentuk kutub menggantikan nilai -nilai:

Z = 2√2 (cos (5π/4)+ i _* dosa (5π/4)).

Sekarang teorem Moivre digunakan untuk mengira z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π/4)+ i _* dosa (5π/4))⁴

= 32 (cos (5π)+ i _* dosa (5π)).

Latihan 2

Cari produk nombor kompleks yang menyatakannya dalam bentuk kutubnya:

Z1 = 4 (cos 50^{Sama ada} + Yo_* Sen 50^{Sama ada})

Z2 = 7 (kos 100^{Sama ada} + Yo_* Sen 100^{Sama ada}).

Kemudian, hitung (z1*z2) ².

Penyelesaian

Pertama produk nombor yang diberikan dibentuk:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^{Sama ada} + Yo_* Sen 50^{Sama ada})] * [7 (cos 100^{Sama ada} + Yo_* Sen 100^{Sama ada})]

Kemudian modulnya berlipat ganda antara satu sama lain, dan hujah -hujah ditambah:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [Cos (50^{Sama ada} + 100^{Sama ada}) + i_* Sen (50^{Sama ada} + 100^{Sama ada})]

Ungkapannya dipermudahkan:

z₁ z₂ = 28 _* (COS 150^{Sama ada} + (Yo_* Sen 150^{Sama ada}).

Akhirnya, Teorem Moivre terpakai:

(Z1*z2) ² = (28 _* (COS 150^{Sama ada} + (Yo_* Sen 150^{Sama ada})) ² = 784 (cos 300^{Sama ada} + (Yo_* Sen 300^{Sama ada}).

Pengiraan kuasa negatif

Untuk membahagikan dua nombor kompleks z₁ dan z₂ Dalam bentuk kutubnya, modul dibahagikan dan argumen dikurangkan. Oleh itu, kuota adalah z₁ ÷ z₂ Dan ia dinyatakan seperti berikut:

z₁ ÷ z₂ = R1/R2 ([cos (ɵ₁- Ɵ₂) + saya sen (ɵ₁ - Ɵ₂)))).

Seperti dalam kes sebelumnya, jika anda ingin mengira (z1 ÷ z2) ³ Bahagian ini adalah kesan pertama dan kemudian teorem moivre digunakan.

Latihan 3

DES:

Z1 = 12 (cos (3π/4) + i*sin (3π/4)),

Z2 = 4 (cos (π/4) + i*sin (π/4)),

hitung (z1 ÷ z2) ³.

Penyelesaian

Berikutan langkah -langkah yang diterangkan di atas, dapat disimpulkan bahawa:

(Z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π/4 - π/4) + i*sin (3π/4 - π/4))) ³

= (3 (cos (π/2) + i*sin (π/2)) ³

= 27 (cos (3π/2) + i*sin (3π/2)).

Rujukan

1. Arthur Goodman, l. H. ( Sembilan belas sembilan puluh enam). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
2. Croucher, m. (s.F.). Oleh teorem Moivre untuk identiti trig. Projek demonstrasi Wolfram.
3. Hazewinkel, m. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, w. L. (1972). Algebra dan trigonometri.
5. Pérez, c. D. (2010). Pendidikan Pearson.
6. Stanley, g. (s.F.). Algebra linear. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Prequalculus. Pendidikan Pearson.