Ciri -ciri segitiga serong, contoh, latihan

The Segitiga serong Mereka adalah mereka yang tidak mempunyai sudut yang betul, oleh itu tidak ada sudut dalaman mereka sama dengan 90º. Jadi, segitiga serong boleh Acutangle atau bodoh.

Dalam kes pertama, sudut dalaman segitiga adalah akut atau apa yang sama: kurang dari 90º, sementara di tempat kedua, selalu ada sudut yang lebih besar dari 90º, iaitu sudut bodoh. Mari lihat contoh masing -masing dalam angka berikut:

Rajah 1. Segitiga serong: Di sebelah kiri segitiga serong dan acutangle. Di sebelah kanan segitiga serong dan bodoh. Sumber: f. Zapata.

Untuk mencari panjang sisi dan ukuran sudut dalaman segitiga jenis ini, tanpa ketiadaan sudut lurus, tidak mungkin untuk menerapkan teorem Pythagoras.

Walau bagaimanapun, terdapat alternatif untuk menyelesaikan segitiga: teorem kosin dan pangkuan dan fakta bahawa jumlah sudut dalaman adalah sama dengan 180º.

[TOC]

Contoh segitiga Oblicuágulos

Membimbing diri kita dengan Rajah 1, kita dapat dengan mudah mengenali segitiga serong melalui dua kriteria yang akan kita berikan di bawah.

Segitiga Acutangle

Jadilah segitiga sisi A, B dan C, dengan α sudut di depan sisi ke.

Sekiranya persegi di sebelah bertentangan dengan sudut akut α, kurang daripada jumlah kuadrat yang tersisa, segitiga adalah acutangle. Secara algebra:

ke² < b² + c²; α < 90º

Segitiga sama rata, yang mempunyai tiga sisi ukuran yang sama, adalah acutangle dan oleh itu serong, kerana sudut dalamannya sama dan ukuran 60º.

Segitiga bodoh

Sebaliknya, jika persegi di seberang ke Pada sudut bodoh α lebih besar daripada jumlah kuadrat dua yang lain, kita berada di hadapan segitiga bodoh. Oleh itu:

ke² > b² + c²; α> 90º

Sebagai contoh, segitiga yang sudut dalamannya adalah 105º, 60º dan 15º adalah segitiga serong bodoh. Perhatikan bahawa 105º + 60º + 15º = 180º.

Teorema sinus dan kosinus

Untuk menyelesaikan segitiga serong, iaitu, untuk mencari ukuran semua sisi mereka dan semua sudut mereka, teorem payudara dan kosinus diperlukan.

Biarkan A, B dan C sisi segitiga, dan α, β dan γ sudut dalaman mereka. Jadi:

Teorem Payudara

Teorem Payudara menetapkan perkara berikut:

Di mana α adalah sudut bertentangan ke sisi A, β adalah sudut yang menentang sisi b dan γ adalah sudut di depan sisi c.

Ia boleh melayani anda: antiderivatif: formula dan persamaan, contoh, latihan

Bersamaan:

Kami memilih untuk menggunakan teorem payudara ketika kami akan menyelesaikan segitiga daripada lebih banyak sudut yang diketahui daripada sisi.

Teorem Coseno

Menurut teorem Coseno:

c² = a² + b² - 2 ⋅ a ⋅b ⋅ cos γ

Sekali lagi sudut γ berada di hadapan sisi c. Kami juga boleh menulis ungkapan yang setara untuk sisi A dan B, seperti berikut:

ke² = b² + c² - 2 ⋅ b ⋅ cos α

Dan

b² = a² + c² - 2 ⋅ ac ⋅ cos β

Teorem Cosine digunakan sebaiknya apabila nilai dua sisi dan sudut di antara mereka diketahui. Juga, apabila ketiga -tiga sisi segitiga telah diketahui, teorem membolehkan kita mengira kosinus sudut antara dua daripadanya.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Periksa bahawa segitiga yang sisinya mengukur unit 20, 10 dan 12 sewenang -wenangnya adalah bodoh.

Penyelesaian

Kami tidak tahu mana -mana sudut dalaman, tetapi mengikut kriteria yang berfungsi untuk mengiktiraf segitiga bodoh, kita dapat meningkatkan ketidaksamaan dengan dataran sisi untuk memerhatikan jika ia dipenuhi.

Mula -mula kita dapati dataran di setiap sisi:

dua puluh² = 400

10² = 100

12² = 144

Dan kita melihat bahawa: 400> 100 + 144, sejak 400> 244. Oleh itu, segitiga mengandungi sudut yang lebih besar daripada 90º, terletak di hadapan sisi yang mengukur 20. Oleh itu, segitiga ini, sebagai tambahan kepada serong, juga bodoh.

- Latihan 2

Memandangkan segitiga serong yang ditunjukkan dalam Rajah 2, langkah -langkah yang diberikan dalam unit sewenang -wenangnya, tentukan:

a) nilai x. Adakah ia acutangle atau segitiga bodoh?

b) Sudut dalaman segitiga yang tinggal

c) perimeter

d) kawasan.

Rajah 2. 2a) Segitiga untuk tahun diselesaikan 2 dan 2b) Segitiga yang sama dengan ketinggian, yang akan berfungsi untuk menentukan kawasan tersebut. Sumber: f. Zapata.

Penyelesaian kepada

Segitiga dua sisi bersebelahan diketahui, yang langkahnya adalah 38.0 dan 45.8 dan sudut di antara mereka, iaitu 30º, oleh itu teorem kosinus segera digunakan:

x² = 38.0² + Empat lima.8² - 2 x 38.0 x 45.8 x cos 30º = 527.18

Oleh itu:

x = (527.18)^1/2 = 22.96

Lukisan menunjukkan bahawa α> 90º dan segitiga adalah bodoh, sebagai tambahan kepada serong. Untuk menyemaknya, kami dapati dataran di sisi, seperti yang dilakukan dalam latihan sebelumnya:

22.96² = 527.18

38.0² = 1444.00

Empat lima.8² = 2097.64

Sudut α lebih besar daripada 90º jika ia benar daripada kuadrat di seberang: 45.8²  Ia lebih besar daripada jumlah kuadrat di sisi lain, iaitu 22.96² + 38.0².

Boleh melayani anda: Undang -undang eksponen

Mari kita lihat apakah ia berlaku:

527.18 + 1444.00 = 1971.2

Malah:

2097.64> 1971.2

Oleh itu sudut α lebih besar daripada 90º.

Penyelesaian b

Sekarang kita boleh menggunakan teorem payudara untuk mencari salah satu sudut yang hilang. Kami akan membesarkannya untuk sudut β:

Sen 30º / 22.96 = sin β / 38

Sen β = 38 x (sen 30º / 22.96) = 0.8275

β = arcsen (0.8275) = 55.84º

Sudut yang hilang dapat dijumpai mengetahui bahawa jumlah sudut dalaman mana -mana segitiga adalah 180º. Oleh itu:

55.84º + 30º + α = 180º

α = 94.16º

Sekiranya disukai, anda juga boleh menggunakan teorem kosinus untuk mencari kosinus sudut yang antara dua sisi bersebelahan. Setelah fungsi arka coseno digunakan untuk menentukan sudut.

Hasilnya mungkin berbeza sedikit dalam perpuluhan, menurut pembulatan yang dijalankan.

Penyelesaian c

Perimeter P adalah kontur angka, bersamaan dengan jumlah ukuran tiga sisi:

P = 22.96 + 38.00 + 45.80 = 106.76 unit sewenang -wenangnya.

Penyelesaian d

Formula untuk mengira kawasan mana -mana segitiga adalah:

A = (1/2) x Base x ketinggian

Kita perlu memilih salah satu sisi sebagai pangkalan dan menentukan ketinggian. Contohnya, memilih sisi yang mengukur 45.8, kita melukis ketinggian h Sehingga puncak A, yang merupakan garis merah dalam Rajah 2b.

Dengan melakukan ini, kita membahagikan segitiga asal menjadi dua segi empat tepat, baik dengan h Sebagai Cateto Biasa. Mana -mana daripada mereka berkhidmat, kerana kita tahu sisi dan sudut tajam.

Kami akan mengambil orang yang mempunyai hypotenusa sama dengan 38, kategori yang mengukur h, yang ketinggian dicari dan sudut akut sama dengan 30º.

Dengan bantuan sebab -sebab trigonometrik sudut akut 30º kita menentukan nilai h:

Sen 30º = Cateto bertentangan dengan 30º / Hypotenusa = H / 38

H = 38 x sen 30º = 19

Oleh itu:

A = (1/2) x 45.8 x 19 = 435.1 kawasan kawasan sewenang -wenang.

Kita boleh memilih pihak lain sebagai pangkalan, contohnya sebelah 38, dalam hal ini, ketinggian h Ia berbeza, kerana segitiga segi empat tepat lain terbentuk, tetapi hasil kawasan itu sama. Ia tetap sebagai latihan bagi pembaca untuk memeriksanya.

- Latihan 3

Memandangkan segitiga ABC bahawa A = 45º, B = 60º dan A = 12 cm, hitung data segitiga yang lain.

Boleh melayani anda: tanda -tanda kumpulan

Penyelesaian

Menggunakan bahawa jumlah sudut dalaman segitiga adalah sama dengan 180º ia harus:

C = 180º-45º-60º = 75º.

Tiga sudut sudah diketahui. Kemudian kami terus menggunakan undang -undang payudara untuk mengira kedua -dua pihak yang hilang.

Persamaan yang timbul adalah 12 / tanpa (45º) = b / tanpa (60º) = c / tanpa (75º).

Dari kesamaan pertama anda boleh membersihkan "B" dan dapatkannya:

B = 12*tanpa (60º)/tanpa (45º) = 6√6 ≈ 14.696cm.

Anda juga boleh membersihkan "C" dan mendapatkannya:

C = 12*dosa (75º)/dosa (45º) = 6 (1+√3) ≈ 16.392cm.

- Latihan 4

Memandangkan segitiga ABC sedemikian rupa sehingga A = 60º, C = 75º dan B = 10cm, hitung data segitiga yang lain.

Penyelesaian

Seperti pada tahun sebelumnya, anda perlu b = 180º-60º-75º = 45º. Di samping itu, menggunakan undang -undang payudara yang anda perlu / tanpa (60º) = 10 / tanpa (45º) = c / tanpa (75º), di mana ia diperolehi bahawa A = 10*tanpa (60º) / tanpa (45º) = 5 √6 ≈ 12.247 cm dan c = 10*dosa (75º)/tanpa (45º) = 5 (1+√3) ≈ 13.660 cm.

- Latihan 5

Memandangkan segitiga ABC sedemikian rupa sehingga A = 10cm, B = 15cm dan C = 80º, hitung data segitiga yang lain.

Penyelesaian

Dalam latihan ini, hanya sudut yang diketahui, oleh itu tidak mungkin untuk memulakan seperti yang dilakukan dalam dua latihan sebelumnya. Di samping itu, undang -undang payudara tidak dapat digunakan kerana tiada persamaan dapat diselesaikan.

Oleh itu, undang -undang cosenos digunakan. Kamu perlu:

C² = 10²+15² - 2 (10) (15) Cos (80º) = 325 - 300*0.173 ≈ 272.905 cm,

Jadi C ≈ 16.51 cm. Sekarang, mengetahui 3 sisi, undang -undang payudara digunakan dan diperolehi:

10 / tanpa (a) = 15 / tanpa (b) = 16.51cm /tanpa (80º).

Dari sini, ketika Clear B tanpa (b) = 15*tanpa (80º)/ 16.51 ≈ 0.894, yang menunjukkan bahawa b ≈ 63.38º.

Sekarang, dapat diperolehi A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

- Latihan 6

Sisi segitiga serong adalah a = 5cm, b = 3cm dan c = 7cm. Kirakan sudut segitiga.

Penyelesaian

Sekali lagi, undang -undang payudara tidak boleh digunakan secara langsung, kerana tiada persamaan akan berfungsi untuk mendapatkan nilai sudut.

Menggunakan undang -undang kosinus, anda perlu c² = a² + b² - 2ab cos (c), dari mana apabila cos (c) = (a² + b² - c²)/ 2ab = (5² + 3² -7²)/ 2*5 *3 = -15/30 = -1/2 dan oleh itu C = 120º.

Sekarang undang -undang payudara boleh digunakan dan dengan itu memperoleh 5/tanpa (a) = 3/tanpa (b) = 7/tanpa (120º), di mana b boleh dibersihkan b dan mendapatkannya tanpa (b) = 3* tanpa (120º )/7 = 0.371, jadi b = 21.79º.

Akhirnya sudut terakhir dikira menggunakan A = 180º-130º-21.79º = 38.21st.

Rujukan

1. Clemens, s. Geometri dengan aplikasi. Addison Wesley.
2. Ibáñez, ms. 2010. Matematik III. Pembelajaran Cengage.
3. Jiménez, r. Matematik II: Geometri dan Trigonometri. 2. Edisi. Pearson.
4. Matematik untuk anda. Segitiga bodoh. Pulih dari: matematik untuk.WordPress.com.
5. Stewart, J. 2007. Precalculation. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.