Pemboleh ubah rawak diskret

Kami menerangkan apakah pemboleh ubah rawak yang bijak, ciri -cirinya, kami memberikan contoh dan menyelesaikan latihan

Apa itu pemboleh ubah rawak yang bijak?

A Pemboleh ubah rawak diskret Ia adalah nilai berangka yang diperoleh secara rawak, hasil daripada percubaan dan hanya memerlukan nilai terhingga atau perakaunan. Ini bermakna, diberi dua nilai berturut -turut pembolehubah, tidak ada nilai pertengahan di antara mereka.

Contoh pembolehubah diskret adalah bilangan kelopak bunga, berapa banyak wajah (atau salib) secara serentak dua duit syiling, bilangan ahli atau anak -anak keluarga, bilangan orang yang tinggal di rumah dan banyak lagi.

Dalam semua kes, keputusan menjalankan eksperimen adalah perakaunan. Pembolehubah rawak yang dipanggil "x = bilangan kanak -kanak keluarga" boleh ditakrifkan, dan pembolehubah ini boleh mengambil nilai 0, 1, 2, 3 ..

Oleh itu, untuk kes umum, pemboleh ubah rawak yang bijak dikenalpasti oleh:

X = x₁, x₂, x₃... x_k

Di mana x₁, x₂, x₃... Adakah hasil percubaan yang mungkin.

Ia sering berminat untuk mengetahui kebarangkalian kejadian setiap hasil yang mungkin, dilambangkan sebagai:

p₁ = P (x = x₁)

p₂ = P (x = x₂)
.
.
.

Dan sebagainya untuk setiap nilai x. Indeks "i" berbeza dari 1 hingga k: i = 1,2,3 ... k.

Senarai ini, yang mengandungi kebarangkalian setiap hasil eksperimen yang mungkin dipanggil, dipanggil taburan kebarangkalian Sama ada fungsi kebarangkalian, dengan syarat bahawa pemboleh ubah rawak adalah berangka, kebarangkalian setiap peristiwa adalah antara 0 dan 1 dan jumlah semua kebarangkalian adalah sama dengan 1.

Contoh Pembolehubah rawak diskret

Pembolehubah rawak diskret selalu berangka dan perakaunan. Mereka biasanya mengukur bilangan kali peristiwa berlaku, sebagai contoh:

• Bilangan panggilan yang diterima oleh pusat panggilan pada suatu petang.
• Jumlah deposit bank yang dibuat dalam satu hari.
• Lancarkan dadu dan baca nombor yang muncul di muka atas.
• Bilangan wajah yang keluar ketika melancarkan dua mata wang yang sama.
• Pelajar yang meluluskan peperiksaan Algebra I, yang dipilih secara rawak dari sekumpulan 100 pelajar kejuruteraan dari universiti.
• Ahli Dewasa Gajah Gajah di Rizab Afrika.
• Bilangan kanak -kanak setiap keluarga di bandar tertentu.
• Orang yang menghadiri fungsi filem tengah malam.
• Bilangan kereta yang melewati tol di lebuh raya.

Boleh melayani anda: Produk Cruz

Nilai keseluruhan dan pecahan

Semua pembolehubah rawak diskret yang disebutkan mengambil keseluruhan nilai. Walau bagaimanapun, pembolehubah rawak diskret boleh ditakrifkan dengan nilai pecahan, contohnya, pemboleh ubah rawak yang diberikan oleh:

F = pecahan kepingan yang cacat dengan secara rawak memilih 50 elemen banyak

Nilai yang mungkin adalah seperti berikut:

• Tiada sekeping yang cacat dijumpai: f₁= 0
• Hanya 1 sekeping cacat 50: f₂= 1/50 = 0.02
• Dua kepingan yang cacat dijumpai dalam 50: f₃= 2/50 = 0.04
• Dan sebagainya, sehingga kes di mana 50 keping yang dipilih adalah buruk: f₅₁ = 50/50 = 1

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1: Kenal pasti pemboleh ubah rawak diskret

Mereka mempunyai pembolehubah rawak yang diberikan oleh:

X = bilangan gempa bumi setahun, berlaku di zon geografi tertentu

Y = panjang tepat kaki manusia

Z = saiz kasut dewasa

R = tempoh panggilan ke a Pusat panggilan

Adakah semua pemboleh ubah rawak diskret? Membenarkan jawapannya.

Penyelesaian

Pembolehubah x dan z adalah bijak, kerana bilangan gempa bumi dalam setahun adalah jumlah perakaunan. Sebaliknya, saiz kasut adalah terhingga, penomboran boleh berubah mengikut negara, contohnya 6, 6.5, 7 ..., tetapi ia juga jumlah yang terbatas.

Sebaliknya, panjang kaki manusia yang tepat dapat mengambil apa -apa nilai. Contohnya, antara dua orang yang mengukur kaki 23.5 dan 23.8 cm, selalu mungkin untuk mencari orang lain yang mengukur kaki, katakan 23.6 cm. Pemboleh ubah jenis ini juga rawak, tetapi berterusan.

Bagi masa yang berlangsung panggilan telefon, ia bukan pemboleh ubah yang bijak, kerana terdapat nilai tak terhingga antara dua kali t₁ dan t₂ tempoh.

Boleh melayani anda: keseluruhan nombor

Latihan 2: Dua syiling serentak

Eksperimen terdiri daripada melancarkan dua mata wang yang sama, yang mana pembolehubah rawak x = bilangan muka ditakrifkan. Cari:

a) nilai yang diambil oleh x.

b) kebarangkalian taburan

Penyelesaian kepada

Keputusan percubaan yang mungkin adalah seperti berikut: Tiada mahal (Dua anjing laut), a mahal dan a meterai, a meterai dan satu mahal Dan akhirnya, dua muka.

Menolak wajah sebagai c dan meterai sebagai s, hasilnya diringkaskan seperti berikut:

Ω = (s, s); (C, s); (S, c); (Dc)

Set ini dikenali sebagai ruang sampel.

Oleh itu, pembolehubah rawak x mengambil nilai: 0 (tiada muka), 1 (satu muka dalam sama ada duit syiling) dan 2 (ia mahal di kedua -dua syiling). Oleh kerana hasilnya adalah perakaunan, pembolehubah, sebagai tambahan kepada rawak, adalah bijak:

X = 0.1,2

Penyelesaian b

Apabila duit syiling dilancarkan, jika jujur, mahal Sama ada meterai Mereka mempunyai peluang yang sama untuk meninggalkan, sama dengan ½. Oleh itu, jika dua syiling dilancarkan secara serentak, kerana hasilnya bebas, kerana duit syiling tidak mempengaruhi satu sama lain, kebarangkalian mendapatkan dua sisi (atau dua salib) mengalikan kebarangkalian setiap peristiwa.

Jika dua salib diperoleh, ini bermakna bahawa tiada wajah keluar:

P (2 salib = 0 muka) = p (x = 0) = ½ ∙ ½ = ¼

Sebaliknya, kebarangkalian gabungan CS atau SC adalah jumlah dua kebarangkalian yang baik:

P (1 muka) = p (x = 1) = ¼ + ¼ = ½

Akhirnya, kebarangkalian mendapatkan dua muka adalah:

P (2 muka) = p (x = 2) = ½ ∙ ½ = ¼

Perhatikan bahawa taburan kebarangkalian ini memenuhi keperluan yang ditetapkan pada mulanya:

Kebarangkalian setiap peristiwa adalah antara 0 dan 1.

Dengan menambahkan tiga kebarangkalian, 1: ¼ + ½ + ¼ = 1

Boleh melayani anda: vektor colineal Histogram menunjukkan taburan kebarangkalian pelancaran dua mata wang yang sama. Dalam paksi mendatar pemboleh ubah rawak diletakkan, pusat bar sepadan dengan nilai pembolehubah. Dan dalam paksi menegak kebarangkalian diletakkan, dalam kes ini, peratusan. Sumber: f. Zapata.

Latihan 3: Danda membuang dadu yang seimbang

Eksperimen terdiri daripada membuang dadu seimbang dua kali. Pemboleh ubah rawak yang ditakrifkan adalah:

X = bilangan kali 1 keluar

a) Senaraikan hasil eksperimen yang mungkin dan tentukan nilai pemboleh ubah rawak.

b) Cari taburan kebarangkalian anda.

Penyelesaian kepada

Kerana ia adalah dadu yang seimbang, semua wajah mempunyai kebarangkalian yang sama meninggalkan, dan sejak dadu adalah kiub dengan enam muka, kebarangkalian ini sama dengan 1/6.

Keputusan eksperimen yang mungkin dapat disintesis seperti berikut:

• Anda tidak mendapat 1 atau sekali: x₁= 0
• 1 keluar hanya sekali: x₂= 1
• Kedua -dua pelancaran adalah 1: x₃= 2

Oleh itu, pembolehubah rawak x adalah bijak dan mempunyai tiga nilai:

X = 0.1,2

Penyelesaian b

Bagi kebarangkalian pengagihan pembolehubah ini, perkara pertama adalah untuk melihat bahawa set semua hasil yang mungkin terdiri daripada 36 pasang, yang membentuk ruang sampel:

Ω = (1,1), (1.2), (1.3) ... (1.6); (2,1), (2,2), (2,3); (3,1), (3,2), (3,3); (4.1), (4,2) ... (4.6); (5,1), (5,2) ... (5.6); (6,1), (6.2) ... (6.6)

-Sekarang pasangan itu dikira di mana 1 tidak diperoleh:

x₁ = (X = 0) = (2,2), (2,3) ... (2,6); (3,2), (3,3) ...; (4.2), (4,3) ...; (5,2), (5.3) ...; (6.2), (6.3) ...

Secara keseluruhan, terdapat 25 pasang, di mana 1 tidak keluar, oleh itu, kebarangkalian mendapatkan mana -mana rakan sebaya adalah:

p₁ = P (x = 0) = 25/36

-Kemudian, rakan -rakan di mana 1 muncul sekali sahaja:

x₂ = (X = 1) = (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1) ( 4.1), (5.1), (6,1)

Oleh itu, terdapat 10 pasang:

p₂ = P (x = 1) = 10/36 = 5/18

-Akhirnya, hanya ada satu pasangan di mana 1 keluar dua kali: (1,1). Jadi:

p₃ = P (x = 2) = 1/36