Koordinat Sfera Contoh dan Latihan Diselesaikan

The Koordinat sfera Mereka adalah sistem lokasi titik di ruang tiga dimensi yang terdiri daripada koordinat radial dan dua koordinat sudut yang dipanggil koordinat polar dan koordinat azimutal.

Dalam Rajah 1, yang kita lihat di bawah, koordinat sfera (r, θ, φ) titik m ditunjukkan. Koordinat ini dirujuk ke sistem ortogonal paksi Cartesian x, y, z asal atau.

Rajah 1. Koordinat sfera (r, θ, φ) dari titik m. (Wikimedia Commons)

Dalam kes ini, menyelaraskan r titik m adalah jarak dari titik ke asal atau. Koordinat kutub θ mewakili sudut antara semi -axis z positif dan radius vektor om. Walaupun koordinat azimutal φ adalah sudut antara separuh -axis x positif dan radius vektor om ', iaitu m' unjuran ortogonal m pada pesawat xy.

Koordinat radial r hanya mengambil nilai positif, tetapi jika titik terletak pada asalnya maka r = 0. Koordinat kutub θ diambil sebagai nilai minimum 0º untuk mata yang terletak pada separuh positif. Akhirnya, koordinat azimutal φ mengambil nilai minimum 0º dan tahap maksimum 360º.

0 ≤ r < ∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ  < 360º

[TOC]

Perubahan koordinat

Seterusnya, formula yang membolehkan koordinat Cartesian (x, y, z) titik m akan diberikan, dengan mengandaikan koordinat sfera yang sama (r, θ, φ) titik:

x = r sen (θ) cos (φ)

y = r sen (θ) dosa (φ) 

z = r cos (θ)

Dengan cara yang sama, adalah berguna untuk mencari hubungan untuk bergerak dari koordinat Cartesian (x, y, z) titik yang diberikan kepada koordinat sfera pada titik itu:

R = √ (x^2 + y^2 + z^2)

θ = arcan (√ (x^2 + y^2) / z)

Boleh melayani anda: Pemboleh ubah rawak diskret

φ = arctan (y / x)

Asas vektor dalam koordinat sfera

Dari koordinat sfera, asas ortonormal vektor asas ditakrifkan, yang dilambangkan oleh Ur, Uθ, Uφ. Rajah 1 menunjukkan tiga vektor unit ini, yang mempunyai ciri -ciri berikut:

- Ur Ia adalah tangen vektor unit ke garisan radial θ = ctte dan φ = ctte;

- Uθ Ia adalah vektor tangen unit ke arka φ = ctte dan r = ctte;

- Uφ Ia adalah tangen vektor kesatuan untuk arka r = ctte dan θ = ctte.

Elemen garis dan kelantangan dalam koordinat sfera

Kedudukan vektor titik dalam ruang dalam koordinat sfera ditulis seperti ini:

r = r Ur

Tetapi variasi yang sangat kecil atau anjakan titik dalam ruang tiga dimensi, dalam koordinat ini dinyatakan oleh hubungan vektor berikut:

dr = dr Ur + r dθ Uθ + r sen (θ) dφ Uφ

Akhirnya, dv volume infinitesimal dalam koordinat sfera ditulis seperti ini:

dv = r^2 sin (θ) dr dθ dφ

Hubungan ini sangat berguna untuk pengiraan integral garis dan kelantangan dalam situasi fizikal yang mempunyai simetri sfera.

Hubungan dengan koordinat geografi

Koordinat geografi difahami bahawa mereka berfungsi untuk mencari tempat di permukaan bumi. Sistem ini menggunakan koordinat latitud dan panjang untuk mencari kedudukan di permukaan bumi.

Dalam sistem koordinat geografi, permukaan bumi sepatutnya.

Rajah 2. Panjang α dan β lintang pemerhati di permukaan bumi.

Lintang β adalah sudut yang dibentuk oleh jejari yang bermula dari pusat bumi ke titik yang anda ingin kedudukan. Ia diukur dari satah khatulistiwa, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 2. Sebaliknya, panjang α adalah sudut yang meridian titik yang meletakkan borang berkenaan dengan sifar meridian (dikenali sebagai greenwich meridian).

Boleh melayani anda: nilai relatif

Lintang boleh menjadi latitud utara atau selatan, bergantung kepada sama ada tempat yang terletak berada di hemisfera utara atau di hemisfera selatan. Begitu juga, panjangnya boleh menjadi barat atau ini bergantung kepada sama ada lokasi itu adalah barat atau timur sifar meridian.

Formula untuk berubah dari geografi ke sfera

Untuk mendapatkan formula ini, perkara pertama adalah untuk menubuhkan sistem koordinat. Pesawat XY dipilih bertepatan dengan satah khatulistiwa, menjadi separuh -axis x positif yang pergi dari pusat bumi dan melalui sifar meridian. Sebaliknya, paksi dan melewati 90º dan meridian. Permukaan bumi mempunyai radio RT.

Dengan sistem koordinat ini, geografi kepada transformasi sfera adalah:

αEβN → (RT, θ = 90º-β, φ = α)

αoβN → (RT, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβ → (RT, θ = 90º+β, φ = α)

αoβs → (rt, θ = 90º+β, φ = 360º-α) 

Contoh

Contoh 1

Koordinat geografi Palma de Mallorca (Sepanyol) adalah:

Panjang timur 38,847º dan latitud utara 39,570º. Untuk menentukan koordinat sfera yang sepadan dengan Palma de Mallorca, yang pertama dari formula formula bahagian sebelumnya digunakan:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

Maka koordinat sfera adalah:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

Dalam tindak balas sebelumnya, R sama dengan jejari purata bumi telah diambil.

Contoh 2

Mengetahui bahawa Kepulauan Falkland (Falkland) mempunyai koordinat geografi 59ºO 51.75ºS, tentukan koordinat kutub yang sepadan. Ingatlah bahawa paksi X pergi dari pusat bumi ke 0º meridian dan pada satah khatulistiwa; Paksi Y juga dalam satah khatulistiwa dan melalui 90º West Meridian; Akhirnya paksi z pada paksi putaran terestrial di arah selatan-utara.

Boleh melayani anda: curtosis: definisi, jenis, formula, apa itu, contohnya

Untuk kemudian mencari koordinat sfera yang sepadan, kami menggunakan formula yang dibentangkan di bahagian sebelumnya:

59ºO 51.75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º+51.75º, φ = 360º-59º)

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141.75º, φ = 301º)

Latihan

Latihan 1

Cari koordinat Cartesian Palma de Mallorca dalam sistem rujukan Cartesiano XYZ yang ditunjukkan dalam Rajah 2.

Penyelesaian: Sebelum ini, dalam Contoh 1 koordinat sfera diperolehi berdasarkan koordinat geografi Palma de mallorca. Supaya formula yang dibentangkan di atas boleh digunakan untuk bergerak dari sfera ke kartes:

x = 6371 km sen (50.43º) cos (38.85º)

Y = 6371 km sen (50.43º) sen (38.85º) 

Z = 6371 km cos (50.43º)

Melaksanakan pengiraan yang sepadan adalah:

Palma de Mallorca: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

Latihan 2

Cari koordinat Cartesian Kepulauan Falkland di sistem rujukan Cartesiano XYZ yang ditunjukkan dalam Rajah 2.

Penyelesaian: Sebelum ini dalam Contoh 2 koordinat sfera diperolehi berdasarkan koordinat geografi Kepulauan Falkland. Supaya formula yang dibentangkan di atas boleh digunakan untuk bergerak dari sfera ke kartes:

x = 6371 km sen (141.75º) cos (301º)

Y = 6371 km sen (141.75º) sen (301º) 

Z = 6371 km cos (141.75º)

Melaksanakan pengiraan yang sepadan diperolehi:

Kepulauan Falkland: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Rujukan

1. Arfken G dan Weber H. (2012). Kaedah matematik untuk ahli fizik. Panduan komprehensif. Edisi ke -7. Akhbar Akademik. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Pengiraan CC. Masalah koordinat silinder dan sfera yang diselesaikan. Pulih dari: pengiraan.DC
3. Bengkel Astronomi. Latitud dan longitud. Diperolehi dari: kadar.Blogspot.com/
4. Weisstein, Eric W. "Koordinat sfera."Dari Mathworld-A Wolfram Web. Pulih dari: Mathworld.Wolfram.com
5. Wikipedia. Sistem koordinat sfera. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Medan vektor dalam koordinat silinder dan sfera. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.com