Formula Pengedaran Poisson, Persamaan, Model, Hartanah

The Pengagihan Poisson Ini adalah taburan kebarangkalian diskret, di mana anda dapat mengetahui kebarangkalian bahawa, dalam sampel yang besar dan semasa selang tertentu, suatu peristiwa yang kebarangkaliannya kecil berlaku.

Lazimnya, pengedaran Poisson boleh digunakan dan bukannya pengedaran binomial, selagi syarat -syarat berikut diterangkan dipenuhi: sampel besar dan kebarangkalian kecil.

Rajah 1. Graf pengedaran Poisson untuk parameter yang berbeza. Sumber: Wikimedia Commons.

Siméon-Denis Poisson (1781-1840) mencipta pengedaran ini yang menanggung namanya, sangat berguna ketika datang ke peristiwa yang tidak dapat diramalkan. Poisson menerbitkan hasilnya pada tahun 1837, kerja penyelidikan mengenai kebarangkalian kejadian jenayah yang salah.

Selanjutnya, penyelidik lain menyesuaikan pengedaran di kawasan lain, sebagai contoh, bilangan bintang yang boleh berada dalam jumlah ruang tertentu, atau kebarangkalian bahawa seorang askar akan mati kerana kuda kuda.

[TOC]

Formula dan persamaan

Bentuk matematik pengedaran Poisson adalah seperti berikut:

 - Pemboleh ubah rawak adalah dan

- μ (juga kadang -kadang dilambangkan sebagai λ) Ia adalah parameter purata atau pengedaran

- Nombor Euler: E = 2.71828

- Kebarangkalian mendapatkan y = k ialah p

- k Ia adalah bilangan kejayaan 0, 1,2,3 ..

- n Ia adalah bilangan ujian atau peristiwa (saiz sampel)

Pembolehubah rawak diskret, seperti namanya, bergantung kepada peluang dan hanya mengambil nilai diskret: 0, 1, 2, 3, 4 ..., k.

Purata pengedaran diberikan oleh:

Varians σ, yang mengukur penyebaran data, adalah satu lagi parameter penting. Untuk pengedaran Poisson adalah:

σ = μ

Poisson menentukan bahawa apabila n → ∞, dan p → 0, purata μ -juga dipanggil nilai yang dijangkakan- Ia cenderung tetap:

μ → tetap

Penting: p Ini adalah kebarangkalian terjadinya peristiwa yang mengambil kira jumlah penduduk, sementara P (y) Ini adalah ramalan Poisson mengenai sampel.

Model dan sifat

Pengedaran Poisson mempunyai sifat berikut:

-Saiz sampel besar: N → ∞.

-Peristiwa atau peristiwa yang dipertimbangkan adalah bebas antara satu sama lain dan berlaku secara rawak.

-Kebarangkalian P Apa peristiwa tertentu dan Ia berlaku untuk tempoh masa tertentu sangat kecil: P → 0.

-Kebarangkalian lebih daripada satu peristiwa dalam selang waktu adalah 0.

-Nilai purata hampir dengan pemalar yang diberikan oleh: μ = n.P (n ialah saiz sampel)

-Oleh kerana penyebaran σ adalah sama dengan μ, kerana ia mengamalkan nilai yang lebih besar, kebolehubahan juga lebih besar.

-Peristiwa mesti diedarkan secara merata dalam selang masa yang digunakan.

-Set nilai acara yang mungkin dan Ia adalah: 0.1,2,3,4 .. .

Boleh melayani anda: Eksperimen rawak: konsep, ruang sampel, contoh

-Jumlah Yo Pembolehubah yang mengikuti pengedaran Poisson, juga merupakan pemboleh ubah Poisson yang lain. Nilai purata adalah jumlah nilai purata pembolehubah ini.

Perbezaan dengan pengedaran binomial

Pengedaran Poisson berbeza dari pengedaran binomial dalam aspek penting berikut:

-Pengagihan binomial dipengaruhi oleh saiz sampel S dan kebarangkalian P, Tetapi pengedaran Poisson hanya dipengaruhi oleh purata μ.

-Dalam taburan binomial, nilai yang mungkin bagi pemboleh ubah rawak dan Mereka adalah 0.1,2, ..., sebaliknya dalam pengedaran Poisson tidak ada had atas untuk nilai -nilai ini.

Contoh

Poisson pada mulanya menggunakan pengedarannya yang terkenal kepada kes -kes undang -undang, tetapi di peringkat perindustrian, salah satu kegunaan pertama adalah dalam pembuatan bir. Dalam proses ini tanaman yis digunakan untuk penapaian.

Ragi terdiri daripada sel -sel hidup, yang penduduknya berubah dalam masa. Dalam pembuatan bir, perlu menambah jumlah yang diperlukan, jadi perlu mengetahui jumlah sel per unit jumlah.

Semasa Perang Dunia II, pengedaran Poisson digunakan untuk mengetahui sama ada orang Jerman benar -benar menunjuk ke London dari Calais, atau hanya menembak secara rawak. Ini penting bagi Sekutu untuk menentukan betapa baiknya teknologi yang tersedia untuk Nazi.

Aplikasi praktikal

Aplikasi pengedaran Poisson selalu merujuk kepada jumlah masa atau jumlah ruang. Dan sebagai kebarangkalian kejadian kecil, ia juga dikenali sebagai "undang -undang peristiwa jarang".

Berikut adalah senarai peristiwa yang jatuh dalam salah satu kategori ini:

-Pendaftaran zarah dalam kerosakan radioaktif, yang seperti pertumbuhan sel yis, adalah fungsi eksponen.

-Bilangan lawatan ke laman web tertentu.

-Ketibaan orang ke satu baris untuk membayar atau dihadiri (teori ekor).

-Bilangan kereta yang melalui titik tertentu di jalan raya, untuk selang waktu tertentu.

Rajah 2. Jumlah kereta yang melalui satu titik mengikuti kira -kira pengedaran Poisson. Sumber: Pixabay.

-Mutasi yang dialami dalam rantaian DNA tertentu setelah menerima pendedahan kepada radiasi.

-Nombor meteor diameter lebih besar daripada 1 m jatuh dalam setahun.

-Kecacatan setiap meter persegi kain.

-Jumlah sel darah dalam 1 sentimeter padu.

-Panggilan seminit ke pertukaran telefon.

-Sparks coklat hadir dalam 1 kg adunan kek.

-Bilangan pokok yang dijangkiti dengan jalan di 1 hektar hutan.

Perhatikan bahawa pembolehubah rawak ini mewakili bilangan kali peristiwa berlaku untuk tempoh masa yang tetap (Panggilan seminit ke pertukaran telefon), atau kawasan ruang tertentu (Kecacatan kain setiap meter persegi).

Boleh melayani anda: variasi berkadar

Peristiwa -peristiwa ini, seperti yang telah ditetapkan, adalah bebas dari masa yang telah berlalu sejak kejadian terakhir.

Menghampiri pengedaran binomial dengan pengedaran Poisson

Pengedaran Poisson adalah pendekatan yang baik untuk pengedaran binomial selagi:

-Saiz sampel besar: n ≥ 100

-Kebarangkalian P adalah kecil: p ≤ 0.1

- μ berada dalam urutan: NP ≤ 10

Dalam kes sedemikian, pengedaran Poisson adalah alat yang sangat baik, kerana pengedaran binomial dapat menjadi rumit untuk memohon dalam kes ini.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Kajian seismologi menentukan bahawa dalam tempoh 100 tahun yang lalu, terdapat 93 gempa bumi besar di seluruh dunia, sekurang -kurangnya 6.0 pada skala Richter -Logarithmic-. Katakan pengedaran Poisson adalah model yang mencukupi dalam kes ini. Cari:

a) Kejadian purata gempa bumi besar setiap tahun.

b) Ya P (y) Ia adalah kebarangkalian berlaku dan Gempa bumi untuk tahun yang dipilih secara rawak, dapatkan kebarangkalian berikut:

P(0), P(1), P (2), P (3), P (4), P (5), P (6) dan P (7).

c) Keputusan sebenar kajian adalah seperti berikut:

- 47 tahun (0 gempa bumi)

- 31 tahun (1 gempa bumi)

- 13 tahun (2 gempa bumi)

- 5 tahun (3 gempa bumi)

- 2 tahun (4 gempa bumi)

-  0 tahun (5 gempa bumi)

- 1 tahun (6 gempa bumi)

- 1 tahun (7 gempa bumi)

Bagaimana hasil ini dengan yang diperolehi dalam subseksyen b? Adakah pengedaran Poisson adalah pilihan yang baik untuk memodelkan peristiwa ini?

Penyelesaian untuk)

a) gempa bumi adalah peristiwa yang kebarangkaliannya p Dia kecil dan kita sedang mempertimbangkan tempoh masa yang terhad, selama satu tahun. Purata gempa bumi adalah:

μ = 93/100 gempa bumi / tahun = 0.93 gempa bumi setahun.

Penyelesaian b)

b) Untuk mengira kebarangkalian yang diminta, nilai digantikan dalam formula yang diberikan pada mulanya:

Contohnya untuk mencari P (2), yang akan menjadi kebarangkalian bahawa terdapat 2 gempa bumi besar setahun:

y = 2

μ = 0.93

E = 2.71828

Dan ini adalah kebarangkalian bahawa terdapat 7 gempa bumi besar selama setahun:

Ia agak kurang daripada p (2).

Hasilnya disenaraikan di bawah:

P (0) = 0.395, p (1) = 0.367, p (2) = 0.171, p (3) = 0.0529, p (4) = 0.0123, p (5) = 0.00229, p (6) = 0.000355, p (7) = 0.0000471.

Sebagai contoh, kita boleh mengatakan bahawa terdapat kebarangkalian 39.5 % yang tidak berlaku gempa bumi yang besar pada tahun tertentu. Atau bahawa terdapat 5.29 % bahawa 3 gempa bumi besar berlaku pada tahun itu.

Penyelesaian c)

c) Frekuensi dianalisis, mendarab dengan n = 100 tahun:

39.5; 36.7; 17.1; 5.29; 1.23; 0.229; 0.0355 dan 0.00471.

Boleh melayani anda: derivatif algebra

Sebagai contoh:

- Kekerapan 39.5 menunjukkan bahawa, dalam 39.5 dari 100 tahun atau gempa bumi besar berlaku, kita boleh mengatakan bahawa ia agak dekat dengan hasil sebenar 47 -tahun tanpa gempa bumi yang besar.

Mari kita bandingkan hasil Poisson yang lain dengan hasil sebenar:

- Nilai yang diperoleh dari 36.7 bermaksud bahawa dalam tempoh 37 tahun terdapat 1 gempa bumi yang hebat. Hasil sebenar ialah dalam 31 tahun terdapat 1 gempa bumi yang besar, kebetulan yang baik dengan model.

- 17 dijangka.1 tahun dengan 2 gempa bumi besar dan diketahui bahawa dalam 13 tahun, yang merupakan nilai yang dekat, terdapat 2 gempa bumi besar.

Oleh itu model Poisson boleh diterima untuk kes ini.

Latihan 2

Sebuah syarikat menganggarkan bahawa bilangan komponen yang gagal sebelum menyelesaikan 100 jam operasi, mengikuti taburan Poisson. Jika purata bilangan kegagalan adalah 8 pada masa itu, cari kebarangkalian berikut:

a) bahawa komponen gagal dalam 25 jam.

b) Kegagalan kurang daripada dua komponen, dalam 50 jam.

c) sekurang -kurangnya tiga komponen gagal dalam 125 jam.

Penyelesaian untuk)

a) diketahui bahawa kesalahan purata dalam 100 jam adalah 8, oleh itu dalam 25 jam bahagian keempat kegagalan dijangka, iaitu 2 kegagalan. Ini akan menjadi parameter μ.

Kebarangkalian komponen gagal 1 diminta, pemboleh ubah rawak adalah "komponen yang gagal sebelum 25 jam" dan nilainya adalah y = 1. Dengan menggantikan fungsi kebarangkalian:

 b) Sekarang pemboleh ubah rawak adalah "komponen yang gagal sebelum 50 jam". Parameternya μ = 4, Oleh kerana nilai kegagalan yang dijangkakan dalam 50 jam adalah 4.

Walau bagaimanapun, persoalannya adalah kebarangkalian bahawa kurang daripada dua komponen gagal dalam 50 jam, bukannya betul -betul 2 komponen gagal dalam 50 jam, oleh itu kita mesti menambah kebarangkalian bahawa:

-Tidak ada yang gagal

-Gagal hanya 1

P (kurang daripada 2 komponen) = p (0) + p (1)

P (kurang daripada 2 komponen) = 0.0183+0.0732 = 0.0915

c) bahawa sekurang -kurangnya 3 komponen gagal pada tahun 125, ini bermakna bahawa 3, 4, 5 atau lebih pada masa itu boleh gagal.

Kebarangkalian yang berlaku sekurang -kurangnya satu daripada beberapa peristiwa adalah sama dengan 1, kecuali kebarangkalian bahawa tidak ada peristiwa yang akan berlaku.

-Acara yang dicari adalah gagal 3 atau lebih komponen dalam 125 jam

-Bahawa peristiwa itu tidak berlaku bermakna kurang daripada 3 komponen gagal, yang kebarangkaliannya: P (0)+P (1)+P (2)

Parameter μ pengedaran dalam kes ini ialah:

 μ = 8 + 2 = 10 kegagalan dalam 125 jam.

P (jatuh 3 atau lebih komponen) = 1- p (0)- p (1)- p (2) =

= 1-0.0026786 = 0.9972

Rujukan

1. Mathworks. Pengagihan Poisson. Pulih dari: Adakah.Mathworks.com
2. Mendenhall, w. 1981. Statistik untuk Pentadbiran dan Ekonomi. Ke -3. edisi. Kumpulan Editorial Iberoamerica.
3. Stat Trek. Ajarkan diri anda statistik. Pengagihan Poisson. Pulih dari: stattrek.com,
4. Triola, m. 2012. Statistik asas. 11hb. Ed. Pendidikan Pearson.
5. Wikipedia. Pengagihan Poisson. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.org