Persamaan parabola am (contoh dan latihan)

The Persamaan Umum Perumpamaan mengandungi istilah kuadrat dalam x dan dalam dan, serta istilah linear dalam kedua -dua pembolehubah ditambah istilah bebas. Paksi simetri pertama selari dengan paksi menegak dan yang kedua adalah paksi mendatar.

Secara umum, persamaan kuadratik yang tidak mempunyai istilah yang diseberang Xy Ia ditulis sebagai:

Kapak² + Cy² +Dx + ey + f = 0

Nilai A, C, D, E dan F adalah nombor sebenar. Memaksakan syarat pada ∙ C = 0 dan A+C ≠ 0, lengkung yang disebabkan oleh grafik mata yang memenuhi persamaan ini adalah parabola.

Kes 1

Untuk perumpamaan menegak, persamaan umumnya ialah:

Kapak² + Dx + ey + f = 0

Di mana a dan e berbeza dari 0. Dengan kata lain, apabila istilah muncul dengan x², Perumpamaan adalah menegak.

Kes 2

Bagi bahagiannya, untuk perumpamaan mendatar yang anda ada:

Cy² + Dx + ey + f = 0

Di sini C dan D juga berbeza dari 0, oleh itu istilah kuadratik sepadan dengan dan².

Walau apa pun, persamaan umum perumpamaan adalah kuadratik dalam salah satu pembolehubah dan linear di pihak yang lain.

Unsur perumpamaan

Rajah 2. Unsur perumpamaan. Jarak QF dan QH sama. Sumber: Wikimedia Commons.

Parabola, yang ditakrifkan sebagai tempat geometri, terdiri daripada set titik satu pesawat yang sama dengan titik lain yang dipanggil Fokus Dan juga garis, yang dikenali sebagai garis panduan lurus.

Dari persamaan umum, adalah mungkin untuk mengkaji perumpamaan dengan menentukan unsur -unsurnya. Termasuk tumpuan dan garis panduan, unsur -unsur ini, yang diterangkan secara ringkas adalah:

-Paksi, yang merujuk kepada paksi simetri parabola, boleh mendatar (selari dengan paksi abscissa) atau menegak (selari dengan paksi ordinat).

Boleh melayani anda: Faktor umum untuk istilah pengelompokan: Contoh, Latihan

-Orientasi, yang seterusnya sepadan dengan orientasi paksi. Perumpamaan adalah menegak jika paksi simetrinya menegak, dan ia mendatar apabila paksi juga.

-Puncak, Ia adalah titik di mana paksi memotong perumpamaan.

-Fokus, titik terletak di paksi, di dalam perumpamaan dan jauh p dari puncak. Semua titik Equidist parabola tumpuan dan arah garis panduan.

-Parameter, Ia adalah jarak p Antara fokus dan puncak.

-Garis panduan lurus, yang berserenjang dengan paksi y dan juga jarak p dari puncak perumpamaan, tetapi tidak bersilang, kerana ia berada di luar.

-Sebelah lurus, Ia adalah tali yang melalui tumpuan, merentasi perumpamaan dalam dua mata, tegak lurus ke paksi.

-Eksentrik, bahawa dalam hal parabola selalu bernilai 1.

-Perwakilan grafik.

Maklumat untuk menentukan semua elemen ini terkandung dalam persamaan umum.

Bentuk kanonik

Untuk menentukan unsur -unsur parabola, kadang -kadang mudah untuk lulus bentuk umum kepada bentuk kanonik yang sama, dengan cara menyelesaikan kuadrat dalam pemboleh ubah kuadrat.

Bentuk kanonik ini adalah:

(X-h)² = 4p (Y-K)

Di mana titik (h, k) adalah titik v dari perumpamaan. Bentuk kanonik ke persamaan umum juga boleh menjadi, membangunkan produk yang ketara dan menyusun semula syarat -syarat.

Contoh

Contoh 1

Berikut adalah persamaan parabola secara umum:

a) 4x² + 5y - 3 = 0

b) 1 - 2y + 3x -and² = 0

Dalam a) Koefisien dikenalpasti: a = 4, c = 0, d = 0, e = 5, f = -3. Ia adalah perumpamaan yang paksi simetri adalah menegak.

Boleh melayani anda: bahagian sintetik

Bagi bahagiannya, dalam b) persamaan umum kekal:

- dan² + 3x - 2y + 1 = 0

Dan pekali adalah: c = -1, d = 3, e = -2 dan f = 1.

Contoh 2

Perumpamaan seterusnya adalah dalam bentuk kanonik:

(Y-1)² = 6 (x-3)

Untuk mencari persamaan umum, produk yang ketara dibangunkan dan kurungan dijalankan di sebelah kanan:

dan² -2y + 1 = 6x -18

Sekarang semua syarat di sebelah kiri diluluskan dan mereka dikelompokkan dengan mudah:

dan² -2y + 1- 6x +18 = 0 → dan² - 6x -2y + 19 = 0

Seperti istilah kuadratik dan² Ia adalah perumpamaan mendatar. Koefisien adalah:

C = 1; D = -6; E = -2, f = 19.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Perumpamaan seterusnya diberikan secara umum:

x² -10x -12y - 11 = 0

Diminta menulisnya dalam bentuk kanonik.

Penyelesaian

Pergi ke bentuk kanonik dicapai dengan melengkapkan dataran, dalam kes ini, dalam pembolehubah x. Istilah dalam x bermula dalam kurungan:

(x² -10x) -12y - 11 = 0

Anda mesti mengubah apa yang ada dalam kurungan ke trinomial persegi yang sempurna, yang dicapai dengan menambahkan 5², yang secara semula jadi harus dikurangkan, kerana jika tidak, ungkapan itu diubah. Ia tetap seperti ini:

(x² -10x+5²) -12y - 11-5²= 0

Tiga istilah dalam kurungan merupakan trinomial persegi yang sempurna (X-5)². Ia boleh diperiksa dengan membangunkan produk yang ketara ini untuk menyokong. Sekarang perumpamaan kekal:

(X-5)² -12y -36 = 0

Apa yang berikut adalah untuk faktor istilah di luar kurungan:

(X-5)² -12 (y +3) = 0

Yang akhirnya berubah menjadi:

(X-5)² = 12 (y +3)

Contoh 2

Cari unsur -unsur perumpamaan sebelumnya dan bina grafik anda.

Penyelesaian

Puncak

Parabola mempunyai koordinat v (5, -3)

Ia dapat melayani anda: prisma hepagon

Paksi

Garis x = 5.

Parameter

Mengenai nilai parameter p yang muncul dalam bentuk kanonik: (x-h)² = 4p (Y-K) membandingkan kedua-dua persamaan:

4p = 12

P = 12/4 = 3

Orientasi

Perumpamaan ini menegak dan terbuka. Oleh kerana puncaknya terletak di x = 5, y = -3, maka paksi simetri adalah garis menegak x = 5.

Fokus

Tumpuannya adalah pada baris x = 5, oleh itu ia mempunyai koordinat x = 5 juga.

Koordinat dan fokus mestilah unit p di atas k, iaitu: p + k = 3 + (-3) = 0, maka fokusnya adalah pada titik (5.0).

Garis panduan lurus

Ia berserenjang dengan paksi, oleh itu ia adalah bentuk y = c, sekarang, sebagai jarak p dari puncak jauh dari, tetapi di luar perumpamaan, itu bermakna ia berada pada jarak p di bawah k:

y = k -p = -3-3 = -6

Sebelah lurus

Segmen ini memotong perumpamaan, melalui tumpuan dan selari dengan garis panduan, oleh itu ia terkandung dalam garis y = 0.

Perwakilan grafik

Ia boleh diperoleh dengan mudah dari perisian grafik dalam talian percuma, seperti geogebra. Di dalam kotak pintu masuk ia diletakkan seperti berikut:

Rajah 3. Graf perumpamaan x² -10x -12y - 11 = 0. Sumber: f. Zapata.

Rujukan

1. Baldor. 1977. Algebra Elementary. Edisi Kebudayaan Venezuela.
2. Hoffman, J. Pemilihan masalah matematik. Jilid 2.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra dan trigonometri. McGraw Hill.