Latihan pemfaktoran yang diselesaikan

The pemfaktoran Ini adalah prosedur algebra yang mana ungkapan algebra menjadi produk yang lebih mudah. Dengan cara ini, banyak pengiraan dipermudahkan.

Latihan pemfaktoran membantu memahami teknik ini, yang banyak digunakan dalam matematik dan terdiri daripada proses menulis jumlah sebagai produk dari istilah tertentu.

Rajah 1.- Melalui pemfaktoran ekspresi algebra yang diperluas diubah menjadi produk faktor yang selesa untuk berfungsi. Sumber: f. Zapata.

Untuk faktor yang mencukupi, anda harus bermula dengan melihat jika terdapat huruf dan nombor yang sama untuk setiap istilah. Contohnya ungkapan 5x⁴ -10x³ + 25x², yang mengandungi tiga istilah, ia boleh menjadi faktor yang menyedari bahawa "x" diulang dalam setiap satu, walaupun dengan kuasa yang berbeza. Bagi koefisien berangka, semuanya adalah gandaan 5.

Jadi, faktor umum terdiri daripada:

-Produk antara pembahagi maksimum maksimum koefisien dan

-Kuasa sedikit huruf yang muncul.

Contohnya, faktor umum ialah:

5x²

Dan ungkapannya tetap seperti ini:

5x⁴ - 10x³ + 25x² = 5x² ⋅ (x² - 2x + 5)

Pembaca boleh menyemak penggunaan harta pengedaran, bahawa kedua -dua ungkapan bersamaan.

[TOC]

Kaedah pemfaktoran: perbezaan persegi

Tidak semua ungkapan algebra adalah pemfaktoran seperti yang telah kita lakukan, jadi di sini kita akan menunjukkan cara menggunakan beberapa kaedah dengan langkah demi langkah yang diselesaikan.

Oleh itu, dengan sedikit amalan, pembaca belajar untuk menggunakan kaedah yang paling mudah dalam kes seperti:

-Pemfaktoran binomial dan trinomial.

-Pemfaktoran polinomial.

-Pengiraan akar polinomial.

Gambar Rajah 1 sangat membantu apabila soalan timbul: jenis pemfaktoran jenis untuk latihan?

Kami akan bermula dengan perbezaan dataran, yang mana Formula 1 dari jadual digunakan.

- Latihan diselesaikan 1

Faktor binomial 16x² - 49

Penyelesaian

Dalam contoh ini kuasa tidak diulang dan pekali berangka bukan sepupu antara satu sama lain, seperti contoh prinsip. Walau bagaimanapun, jika disahkan bahawa ungkapan yang diberikan adalah Perbezaan dataran, Formula 1 boleh digunakan.

Yang diperlukan adalah untuk mengenal pasti syarat ke dan b:

ke² = 16x² → A = √ (16x²) = 4x
b² = 49 → B = 49 = 7

Setelah dikenal pasti, teruskan untuk menggantikan formula:

16x² - 49 = (4x + 7) (4x - 7)

Boleh melayani anda: pengurangan istilah yang serupa

Dan ungkapannya tetap sebagai produk dua faktor.

Dalam ini dan dalam semua kes yang mereka ikuti, pembaca dapat menyokong bahawa jika dia mengembangkan hasilnya dengan harta pengedaran, ungkapan algebra asal diperoleh kembali.

Pemfaktoran trinomial persegi sempurna

Kes -kes ini sesuai dengan formula 2 dan 3 dari Rajah 1. Walau bagaimanapun, sebelum memohon, ia mesti disahkan bahawa ungkapan itu dipenuhi bahawa:

-Dua istilah adalah dataran yang sempurna ke dan b.

-Istilah yang tinggal adalah produk ganda A dan B, iaitu: 2ab.

Sekiranya di atas adalah benar, ia adalah trinomial persegi yang sempurna dan formula digunakan secara langsung.

- Latihan diselesaikan 2

Faktor trinomial: x² + 12x + 36

Penyelesaian

Ungkapan ini nampaknya sesuai untuk memohon Formula 2 di dalam kotak, tetapi pertama -tama kita mesti mengesahkan bahawa ia adalah trinomial persegi yang sempurna. Pertama, diperhatikan bahawa kedua -dua istilah pertama dan ketiga adalah dataran yang sempurna:

• x² Ia adalah persegi yang sempurna x, kerana (x)² = x²
• 36 adalah persegi sempurna 6, sejak 6² = 36

Jadi:

a = x
B = 6

Dan akhirnya ia mesti disahkan bahawa istilah yang tinggal adalah 2ab, dan sememangnya:

12x = 2 ⋅x ⋅6

Ia hanya menolak pemfaktoran mengikut formula:

x² + 12x + 36 = (x + 6)²

- Latihan diselesaikan 3

Tulis ungkapan 4x² -20x + 25 dalam bentuk yang difokuskan.

Penyelesaian

Memandangkan terdapat istilah tanda negatif yang dapat menyajikan Formula 3 di dalam kotak, namun sebelum ia harus disahkan bahawa ia adalah trinomial persegi yang sempurna:

• 4x² Ia adalah persegi 2x, kerana (2x)² = 4x², Oleh itu a = 2x
• 25 sama dengan 5², Kemudian b = 5
• Istilah 20x adalah sama dengan 2 ⋅2x ⋅5 = 20x

Pemfaktoran tetap seperti ini:

4x² -20x + 25 = (2x - 5)²

Jumlah dan perbezaan kiub

Apabila anda mempunyai jumlah atau perbezaan kiub, formula 4 atau 5 terpakai bergantung pada kes itu.

- Latihan diselesaikan 4

Faktor 8x³ - 27

Penyelesaian

Kami mempunyai perbezaan dalam kiub di sini, jadi mengekstrak akar padu setiap istilah:

Kemudian A = 2x dan B = 3.

Formula 4 diikuti, yang sesuai untuk perbezaan kiub:

8x³ - 27 = (2x-3) ⋅ [(2x)² + 2x ⋅3 + 3²] = (2x-3) ⋅ (4x² + 6x + 9)

Pemfaktoran dengan mengumpulkan istilah

Dalam imej berikut terdapat polinomial dengan empat istilah yang mesti difakkan. Tiga istilah pertama mempunyai "x" yang sama, tetapi yang terakhir tidak. Kita juga tidak boleh mengatakan bahawa pekali berangka adalah gandaan faktor yang sama.

Boleh melayani anda: cembung poligon: definisi, elemen, sifat, contoh

Walau bagaimanapun, kami akan cuba mengumpulkan istilah dalam dua bahagian dengan tanda kurung, yang ditunjukkan dengan anak panah kuning: dua istilah pertama mempunyai persamaan "x", sementara dua yang terakhir mempunyai persamaan bahawa pekali adalah gandaan 5.

Kami faktor kedua -dua kumpulan ini (anak panah biru). Sekarang pembaca mesti memerhatikan bahawa semasa pemfaktoran, faktor umum baru keluar: kurungan (3x+2).

Sentuh Faktor untuk kali kedua (anak panah merah jambu), kerana (3x+2) adalah faktor biasa x dan 5.

Rajah 2. Contoh bagaimana cara untuk mengumpulkan istilah. Sumber: f. Zapata.

Akar polinomial

Adalah nilai pemboleh ubah yang membatalkan polinomial. Jika ia adalah polinomial yang pembolehubahnya adalah "x", seperti yang kita lihat, kerana ia adalah tentang mencari nilai -nilai x sedemikian rupa sehingga apabila menggantikan, nilai berangka yang diperolehi adalah 0.

Faktorisasi adalah kaedah untuk mencari nol dalam beberapa polinomial. Mari lihat contoh:

- Latihan diselesaikan 5

Cari nol trinomial x² -2x - 3

Penyelesaian

Kami faktor trinomial, tetapi ini bukan trinomial persegi yang sempurna. Walau bagaimanapun, kita boleh menjalankan prosedur oleh Tanteo. Kami menulis trinomial sebagai produk dua faktor, seperti ini:

x² -2x - 3 = (x) . (x)

Dalam kurungan pertama, tanda trinomial pertama diletakkan, dilihat dari kiri ke kanan. Ini adalah tanda (-). Dalam kurungan kedua, produk dua tanda yang muncul selepas istilah dengan x²:

(-) x (-) = +

Dengan cara ini, pemfaktoran akan dilihat:

x² -2x - 3 = (x -) . (x +)

Sekarang anda perlu mencari dua nombor A dan B yang akan dimasukkan ke dalam ruang kosong. Apabila didarabkan harus 3:

• A x B = 3

Dan mereka juga harus mematuhi hakikat bahawa apabila dihasilkan, ia adalah 2, kerana tanda -tanda tanda kurung adalah berbeza.

(Sekiranya mereka mempunyai tanda yang sama, dua nombor A dan B harus dicari bahawa apabila ditambah mereka memberikan pekali istilah dengan "x"). Jadi:

• A - B = 2

Nombor yang memenuhi kedua -dua keadaan adalah 3 dan 1, sejak:

3 x 1 = 3

3 - 1 = 2

Nombor tertinggi diletakkan dalam kurungan kiri dan pemfaktoran tetap seperti berikut:

x² - 2x - 3 = (x - 3) . (x + 1)

Zeros polinomial adalah nilai x yang membatalkan setiap faktor:

Boleh melayani anda: Bahkan nombor

x - 3 = 0 ⇒ x = 3
x + 1 = 0 ⇒ x = -1

Pembaca dapat mengesahkan bahawa menggantikan nilai -nilai ini dalam trinomial asal, ini dibatalkan.

Latihan lain

- Latihan diselesaikan 6

Faktor polinomial berikut: p (x) = x²-1.

Penyelesaian

Tidak semestinya perlu menggunakan pelarut. Dalam contoh ini, produk yang luar biasa dapat digunakan.

Menulis semula polinomial seperti berikut.

Menggunakan produk yang luar biasa 1, perbezaan dataran, polinomial p (x) boleh menjadi pemfaktoran seperti berikut: p (x) = (x+1) (x-1).

Ini juga menunjukkan bahawa akar p (x) adalah x1 = -1 dan x2 = 1.

- Latihan diselesaikan 7

Fakta polinomial berikut: q (x) = x³ - 8.

Penyelesaian

Terdapat produk yang luar biasa yang mengatakan yang berikut: a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²).

Mengetahui ini, anda boleh menulis semula polinomial q (x) seperti berikut: q (x) = x³ -8 = x³ - 2³.

Sekarang, dengan menggunakan produk penting yang diterangkan, pemfaktoran polinomial q (x) ialah q (x) = x³-2³ = (x-2) (x²+2x+2 ²) = (x-2) (x²+2x+ 4).

Hilang pemfaktoran polinomial kuadrat yang timbul dalam langkah sebelumnya. Tetapi jika diperhatikan, nombor produk yang luar biasa 2 dapat membantu; Oleh itu, pemfaktoran akhir q (x) diberikan oleh q (x) = (x-2) (x+2) ².

Ini mengatakan bahawa akar q (x) adalah x1 = 2, dan x2 = x3 = 2 adalah akar lain q (x), yang diulang.

- Latihan diselesaikan 8

Faktor r (x) = x² - x - 6.

Penyelesaian

Apabila produk yang ketara tidak dapat dikesan, atau pengalaman yang diperlukan untuk memanipulasi ungkapan tidak tersedia, penggunaan resolven itu diteruskan. Nilai adalah berikut a = 1, b = -1 dan c = -6.

Apabila menggantikannya dalam formula ia adalah x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-6)))/2*1 = (-1 ± √25)/2 = (-1 ± 5)/2.

Dari sini terdapat dua penyelesaian yang berikut:

x1 = (-1+5)/2 = 2

x2 = (-1-5)/2 = -3.

Oleh itu, polinomial r (x) boleh menjadi pemfaktoran sebagai r (x) = (x-2) (x-(-3)) = (x-2) (x+3).

- Latihan diselesaikan 9

Faktor H (x) = x³ - x² - 2x.

Penyelesaian

Dalam latihan ini, anda boleh bermula dengan mengeluarkan faktor biasa x dan diperolehi bahawa h (x) = x (x²-x-2).

Oleh itu, ia hanya tetap menjadi faktor polinomial kuadrat. Menggunakan pelarut sekali lagi, akar mesti:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4*1*(-2)))/2*1 = (-1 ± √9)/2 = (-1 ± 3)/2.

Oleh itu, akar polinomial kuadrat adalah x1 = 1 dan x2 = -2.

Kesimpulannya, pemfaktoran polinomial H (x) diberikan oleh h (x) = x (x-1) (x+2).

Rujukan

1. Baldor. 1977. Algebra Elementary. Edisi Kebudayaan Venezuela.
2. Akar polinomial. Apa dan bagaimana langkah demi langkah yang dikira. Pulih dari: ekuatio.com.
3. Jiménez, r. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.
5. Zill, d. 1984. Algebra dan trigonometri. McGraw Hill.