Demonstrasi peristiwa bebas, contoh, latihan

Dua Peristiwa adalah bebas, Apabila kebarangkalian bahawa salah satu daripada mereka akan berlaku tidak dipengaruhi oleh fakta bahawa yang lain berlaku -atau tidak berlaku -membuhkan bahawa peristiwa -peristiwa ini berlaku secara rawak.

Keadaan ini selalu diberikan bahawa proses yang dihasilkan oleh hasil peristiwa 1, tidak mengubah dengan cara apa -apa kebarangkalian kemungkinan hasil peristiwa 2. Tetapi jika ini tidak berlaku, dikatakan bahawa peristiwa itu bergantung.

Rajah 1. Guli berwarna sering digunakan untuk menjelaskan kebarangkalian peristiwa bebas. Sumber: Pixabay.

Keadaan peristiwa bebas adalah seperti berikut: Katakan bahawa dua dadu enam sisi dilemparkan, satu biru dan merah jambu yang lain. Kebarangkalian 1 dalam dadu biru bebas dari kebarangkalian bahawa 1 -atau tidak keluar - di dadu merah jambu.

Satu lagi kes dua acara bebas adalah untuk melancarkan duit syiling dua kali berturut -turut. Hasil pelancaran pertama tidak akan bergantung kepada hasil yang kedua dan sebaliknya.

[TOC]

Demonstrasi dua acara bebas

Untuk mengesahkan bahawa dua peristiwa adalah bebas, kami akan menentukan konsep kebarangkalian yang dikondisikan satu peristiwa berkenaan dengan yang lain. Untuk ini, perlu membezakan antara peristiwa eksklusif dan peristiwa inklusif:

Dua peristiwa adalah eksklusif jika nilai atau unsur -unsur peristiwa A, tidak mempunyai persamaan dengan nilai atau unsur peristiwa b.

Oleh itu, dalam dua peristiwa eksklusif, set persimpangan A dengan B adalah kekosongan:

Acara eksklusif: a∩b = Ø

Sebaliknya, jika peristiwa -peristiwa itu termasuk, ia boleh berlaku bahawa satu hasil dari peristiwa A juga bertepatan dengan yang lain B, yang A dan B peristiwa yang berbeza. Dalam kes ini:

Acara inklusif: A∩b ≠ Ø

Ini membawa kita untuk menentukan kebarangkalian yang dikondisikan dua peristiwa inklusif, dengan kata lain, kebarangkalian berlakunya peristiwa A, dengan syarat bahawa peristiwa B berlaku:

P (a | b) = p (a∩b)/p (b)

Oleh itu, kebarangkalian terkondisi adalah kebarangkalian yang berlaku dan b dibahagikan dengan kebarangkalian yang berlaku b. Kebarangkalian yang berdasarkan pada:

P (b | a) = p (a∩b)/p (a (a)

Kriteria untuk mengetahui sama ada dua acara bebas

Seterusnya kami akan memberikan tiga kriteria untuk mengetahui sama ada dua acara bebas. Sudah cukup bahawa salah satu daripada ketiga -tiga mereka dipenuhi, sehingga kemerdekaan peristiwa ditunjukkan.

1.- Jika kebarangkalian yang akan berlaku selagi b adalah sama dengan kebarangkalian A, maka ini adalah peristiwa bebas:

Ia boleh melayani anda: harta algebra kunci: demonstrasi, contoh

P (a | b) = p (a) => a bebas daripada b

2.- Jika kebarangkalian yang berlaku B diberikan, sama dengan kebarangkalian B, maka mereka mempunyai peristiwa bebas:

P (b | a) = p (b) => b bebas daripada a

3.- Sekiranya kebarangkalian yang berlaku kepada dan b, sama dengan produk kebarangkalian yang berlaku untuk kebarangkalian yang berlaku b, maka ini adalah peristiwa bebas. Kebalikannya juga benar.

P (a∩b) = p (a) p (b) a dan b adalah peristiwa bebas.

Contoh peristiwa bebas

Sol getah yang dihasilkan oleh dua pembekal yang berbeza dibandingkan. Sampel setiap pengilang tertakluk kepada beberapa ujian dari mana mereka disimpulkan sama ada mereka berada dalam spesifikasi. 

Rajah 2. Pelbagai sol getah. Sumber: Pixabay.

Ringkasan yang dihasilkan daripada 252 sampel adalah seperti berikut:

Pengilang 1; 160 memenuhi spesifikasi; 8 tidak memenuhi spesifikasi.

Pengilang 2; 80 memenuhi spesifikasi; 4 tidak memenuhi spesifikasi.

Acara A: "Sampel adalah dari Pengilang 1".

Acara B: "Sampel itu memenuhi spesifikasi".

Dikehendaki mengetahui sama ada peristiwa -peristiwa ini A dan B adalah atau tidak bebas, yang mana kami memohon salah satu daripada tiga kriteria yang disebutkan di bahagian sebelumnya.

Kriteria: p (bped) = p (b) => b bebas daripada a

P (B) = 240/252 = 0.9523

P (b | a) = p (a ⋂ b)/p (a) = (160/252)/(168/252) = 0.9523

Kesimpulan: Peristiwa A dan B adalah bebas.

Katakan peristiwa c: "Bahawa pertunjukan itu datang dari pengilang 2"

Adakah ia akan menjadi peristiwa b bebas dari peristiwa c?

Kami menggunakan salah satu kriteria.

Kriteria: p (b | c) = p (b) => b bebas daripada c

P (b | c) = (80/252)/(84/252) = 0.9523 = p (b)

Oleh itu, menurut data yang ada, kebarangkalian bahawa satu -satunya getah yang dipilih secara rawak memenuhi spesifikasi, bebas daripada pengeluar. 

Menjadikan acara bebas menjadi tanggungan

Mari lihat contoh berikut untuk membezakan antara peristiwa tanggungan e bebas. 

Kami mempunyai beg dengan dua bola coklat putih dan dua bola hitam. Kebarangkalian mendapatkan bola putih atau hitam adalah sama dalam percubaan pertama.

Katakan hasilnya adalah bola putih. Sekiranya bola yang diekstrak diisi semula dalam beg, keadaan asal diulang: dua bola putih dan dua bola hitam.

Jadi dalam acara kedua atau pengekstrakan, kemungkinan mengeluarkan bola putih atau bola hitam adalah sama dengan yang pertama kali. Oleh itu, peristiwa bebas.

Tetapi jika bola putih tidak diisi semula dalam acara pertama kerana kami telah memakannya, dalam pengekstrakan kedua terdapat kemungkinan besar untuk mendapatkan bola hitam. Kebarangkalian bahawa dalam pengekstrakan kedua diperoleh lagi putih, berbeza dengan peristiwa pertama dan dikondisikan oleh hasil sebelumnya.

Boleh melayani anda: Segitiga Scaleno

Latihan

- Latihan 1

Dalam kotak kami meletakkan 10 guli dalam Rajah 1, di mana 2 berwarna hijau, 4 biru dan 4 putih. Mereka akan memilih dua guli rawak, satu pertama dan satu selepas itu. Diminta untuk mencari
Kebarangkalian bahawa tiada seorang pun daripada mereka menjadi biru, di bawah syarat -syarat berikut:

a) Dengan penggantian, iaitu, kembali ke kotak marmar pertama sebelum pemilihan kedua. Nyatakan sama ada mereka adalah peristiwa bebas atau bergantung.

b) Tanpa penggantian, supaya marmar pertama yang diekstrak, keluar dari kotak pada masa membuat pilihan kedua. Begitu juga, tunjukkan jika mereka bergantung atau peristiwa bebas.

Penyelesaian kepada

Kami mengira kebarangkalian bahawa marmar pertama yang diekstrak tidak biru, iaitu 1 kurang kebarangkalian bahawa ia adalah biru p (a), atau secara langsung bahawa ia tidak biru, kerana ia keluar hijau atau putih:

P (a) = 4/10 = 2/5

P (tidak biru) = 1 - (2/5) = 3/5

Wahai:

P (hijau atau putih) = 6/10 = 3/5.

Sekiranya marmar dikembalikan, semuanya sudah lagi seperti dahulu. Dalam pengekstrakan kedua ini terdapat juga 3/5 kebarangkalian bahawa marmar yang diekstrak bukan biru.

P (tidak biru, tidak biru) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Peristiwa -peristiwa itu bebas, kerana marmar yang diekstrak kembali ke kotak dan peristiwa pertama tidak mempengaruhi kebarangkalian terjadinya kedua.

Penyelesaian b

Untuk pengekstrakan pertama, perkara yang sama diteruskan di bahagian sebelumnya. Kebarangkalian bahawa ia tidak biru adalah 3/5.

Untuk pengekstrakan kedua, kami mempunyai 9 guli dalam beg, kerana yang pertama tidak kembali, tetapi ia tidak biru, oleh itu 9 guli dan 5 bukannya ditinggalkan di dalam beg:

P (hijau atau putih) = 5/9.

P (tidak menjadi biru) = p (pertama tidak ada biru). P (kedua bukan -blue /pertama tidak biru) = (3/5) . (5/9) = 1/3

Dalam kes ini bukan mengenai peristiwa bebas, kerana keadaan acara pertama yang kedua.

- Latihan 2

Sebuah kedai mempunyai 15 baju dalam tiga saiz: 3 kecil, 6 sederhana dan 6 besar. 2 baju dipilih secara rawak.

a) Kebarangkalian apakah baju terpilih kecil, jika seseorang pertama kali dikeluarkan dan tanpa menggantikan lot yang lain?

b) Apa yang mungkin, kedua -dua baju terpilih kecil, jika seseorang pertama kali dikeluarkan, yang kedua diganti dan yang kedua dikeluarkan?

Ia dapat melayani anda: fungsi pembolehubah sebenar dan perwakilan grafiknya

Penyelesaian kepada

Berikut adalah dua acara:

Acara A: Baju yang dipilih pertama kecil

Acara B: Baju yang dipilih kedua kecil

Kebarangkalian peristiwa A ialah: p (a) = 3/15

Kebarangkalian yang berasal dari peristiwa B ialah: p (b) = 2/14, kerana baju telah diekstrak (14), tetapi ia juga ingin memenuhi acara itu ke baju pertama yang diekstrak mestilah kecil dan ada di sana 2 kecil.

Dalam erti kata lain, kebarangkalian A dan B akan menjadi hasil kebarangkalian adalah:

P (a dan b) = p (bped) p (a) = (2/14) (3/15) = 0.029

Oleh itu, kebarangkalian menjadi peristiwa a dan b adalah sama dengan produk yang peristiwa itu, kerana kebarangkalian peristiwa b jika peristiwa itu diberikan.

Harus diperhatikan bahawa:

P (b | a) = 2/14

Kebarangkalian yang berlaku B tanpa mengira sama ada peristiwa itu akan diberikan:

P (b) = (2/14) jika yang pertama adalah kecil, atau p (b) = 3/14 jika yang pertama tidak kecil.

Secara umum, perkara berikut dapat disimpulkan:

P (bped) tidak sama dengan p (b) => b tidak bebas daripada a

Penyelesaian b

Terdapat dua acara lagi:

Acara A: Baju yang dipilih pertama kecil

Acara B: Baju yang dipilih kedua kecil

P (a) = 3/15

Ingat apa hasilnya, baju itu diganti dari lot dan sekali lagi secara rawak menghilangkan baju. Kebarangkalian yang menjadi peristiwa B, jika peristiwa A telah diberikan:

P (B | a) = 3/15

Kebarangkalian bahawa peristiwa akan diberikan A dan B akan:

P (a dan b) = p (bped) p (a) = (3/15) (3/15) = 0.04

Perhatikan bahawa: 

P (b | a) sama dengan p (b) => b bebas daripada a.

- Latihan 3

Pertimbangkan dua acara bebas a dan b. Adalah diketahui bahawa kebarangkalian peristiwa berlaku adalah 0.2 dan kebarangkalian peristiwa B berlaku adalah 0.3. Apa kebarangkalian bahawa kedua -dua peristiwa berlaku?

Penyelesaian 2

Mengetahui bahawa peristiwa adalah bebas, diketahui bahawa kebarangkalian bahawa kedua -dua peristiwa berlaku adalah hasil kebarangkalian individu. Iaitu,

P (a∩b) = p (a) p (b) = 0.2 * 0.3 = 0.06

Perhatikan bahawa ia adalah kebarangkalian yang jauh lebih rendah daripada kebarangkalian bahawa setiap peristiwa berlaku tanpa mengira hasil yang lain. Atau dengan kata lain, lebih kurang daripada kebarangkalian individu.

Rujukan

1. Berenson, m. 1985. Statistik untuk Pentadbiran dan Ekonomi. Inter -American s.Ke. 126-127.
2. Institut Monterrey. Kebarangkalian peristiwa bebas. Pulih dari: monterreyinstitute.org
3. Profesor Mats. Peristiwa bebas. Pulih dari: youtube.com
4. Superprof. Jenis peristiwa, peristiwa yang bergantung. Pulih dari: superprof.adalah
5. Tutor maya. Kebarangkalian. Diperolehi daripada: Vitutor.jaring
6. Wikipedia. Kemerdekaan (kebarangkalian). Pulih dari: wikipedia.com