Fungsi vektor

Apakah fungsi vektor?

A fungsi vektor parameter t, Ia adalah fungsi yang domainnya adalah nilai sebenar t, sementara laluan dibentuk oleh vektor borang r (t). Fungsi sedemikian boleh dinyatakan sebagai:

r (t) = f (t) Yo + g (t) J + H (t) k

Di mana Yo, J dan k Mereka adalah vektor unit dalam tiga arah utama ruang, dan fungsi f, g dan h adalah fungsi sebenar pembolehubah t. Notasi menggunakan berani, untuk membezakan magnitud vektor.

Fungsi vektor di ruang angkasa boleh digunakan untuk menggambarkan lengkung c, menyertai titik ekstrem setiap vektor yang ditentukan oleh fungsi tersebut. Sumber: Wikidot.

Satu lagi cara untuk menandakan fungsi vektor adalah melalui kurungan persegi:

r (t) = t), G (t), H (t)>

Fungsi vektor boleh digunakan untuk mengkaji lengkung dalam satah dan ruang, seperti trajektori yang mengikuti objek bergerak. Contohnya ialah perumpamaan yang diterangkan oleh bola yang diproyeksikan dengan kelajuan awal, di bawah graviti.

Sekiranya anda ingin mengetahui kedudukan bola pada setiap masa t, Fungsi vektor dengan dua komponen, satu mendatar dan satu menegak:

r (t) = x (t) Yo + dan (t) J

Kedua -dua x (t) sebagai y (t) Mereka adalah fungsi masa t. Oleh itu, ketika menyertai titik melampau setiap vektor r(t) Mungkin, membentuk perumpamaan yang diterangkan oleh bola dalam pesawat Xy.

Konsep ini mudah dilanjutkan ke lengkung C di ruang angkasa, seperti yang ditunjukkan dalam angka di atas. Vektor muncul di dalamnya r (-1), r (0), r (1) r (2), yang hujungnya melukis lengkung c, ditarik hijau.

Had, diperolehi dan penting fungsi vektor

Alat pengiraan yang digunakan untuk fungsi pembolehubah sebenar juga boleh digunakan untuk fungsi vektor.

Boleh melayani anda: pemfaktoran

Had fungsi vektor

Had fungsi vektor r (t) = f (t) Yo + g (t) J + H (t) k, Apabila T → A, ia ditakrifkan sebagai:

Dengan mengandaikan bahawa terdapat had masing -masing f (t), G (t) dan h (t), bila t → a.

Berasal dari fungsi vektor

Takrif yang diperoleh dari fungsi vektor r (t) = f (t) Yo + g (t) J + H (t) k Ia sama dengan terbitan fungsi sebenar pemboleh ubah sebenar. Memanggil r'(t) untuk dikatakan terbitan, anda mempunyai:

Derivatif wujud apabila had sebelumnya wujud, dan jika ya, fungsi r(t) boleh dibezakan dalam t.

Integral fungsi vektor

Menjadi r (t) = f (t) Yo + g (t) J + H (t) k fungsi vektor, seperti fungsi f, g dan h adalah integrasi t.

Jadi:

Dengan:

C = c₁ Yo + c₂ J

Yang bermaksud bahawa pemalar integrasi juga merupakan vektor, tetapi tetap.

Contoh fungsi vektor

Contoh 1

Anda mempunyai fungsi vektor yang diberikan oleh r (t) = 3sec t Yo + 2tan t J. Adalah mungkin untuk menilainya untuk nilai t yang berbeza, seperti t = π/4 dan t = π, menimbulkan vektor r (π/4) dan r (π):

r (π/4) = 3sec (π/4) Yo + 2tan (π/4) J = 3√2 Yo + 2 J

r (π) = 3sec (π) Yo+2tan (π) J = - 3 Yo

Walau bagaimanapun, r (t) Ia tidak wujud untuk nilai t = ∓π/2, ∓3π/2, ∓5π/2 ..., kerana fungsi SEC t = 1 /cos t Ia tidak ditakrifkan, sama ada begitu t = sen t / cos t.

Oleh itu, domain fungsi r (t) adalah semua nilai sebenar t, kecuali bentuk:

∓ (2n+1) π/2; Dengan n = 0, 1, 2, .. .

Grafik fungsi adalah hiperbola:

Graf fungsi vektor r (t) = 3sec t Yo+2 tan t J. Sumber: f. Zapata melalui Desmos.

Contoh 2

Dalam pelancaran projektil yang cenderung, kedudukan mudah alih adalah fungsi vektor r (t) = x (t) Yo + dan (t) J . Dengan mengandaikan bahawa rintangan udara tidak campur tangan, dan graviti itu adalah satu -satunya daya yang bertindak pada mudah alih, pergerakan mendatar adalah rektilinar seragam, sementara menegak secara seragam dipercepat, iaitu g = 9.8 m/s² Nilai pecutan. Pecutan ini menegak ke arah tanah.

Boleh melayani anda: peraturan derivasi (dengan contoh)

Dalam kes ini, fungsi x (t) dan (t) Masing -masing, masing -masing:

• x (t) = x_{Sama ada} + v_lembu∙ t
• dan (t) = y_{Sama ada} + v_Oy∙ t - ½ gt²

Jumlah v_lembu dan v_Oy Mereka adalah komponen fungsi vektor yang menggambarkan kelajuan mudah alih pada setiap masa:

v (t) = v_x(t) Yo + v_dan(t) J

Dengan:

• v_lembu = v_{Sama ada}∙ cos θ
• v_Oy = v_{Sama ada}∙ sen θ

Menjadi θ sudut yang membentuk kelajuan awal berkenaan dengan mendatar.

Bagi bahagiannya, kedudukan awal mudah alih adalah titik koordinat (x_{Sama ada},dan_{Sama ada}), atau bersamaan, vektor kedudukan yang diberikan oleh:

r_{Sama ada} (t) = x_{Sama ada} Yo + dan_{Sama ada} J

Perhatikan bahawa, dalam persamaan yang ditunjukkan, tanda negatif telah diberikan kepada arah menegak, jadi istilah ketiga persamaan untuk y (t) mengambilnya. Ia juga mungkin untuk memberikan asal kepada kedudukan awal mudah alih.

Kelajuan peluru segera

Kelajuan seketika v (t) adalah yang pertama diperoleh dari kedudukan, berkenaan dengan masa. Ia dikira dengan menggunakan peraturan terbitan yang diketahui:

v(t) = R ' (t) = [x (t) Yo + dan (t) J]'= x '(t) Yo + dan '(t) J = v_lembu Yo + (v_Oy - Gt) J

Modul kelajuan diberikan oleh:

Percepatan segera peluru

Adalah diketahui bahawa ia adalah g, ke arah menegak dan arah ke bawah. Ini disahkan mengetahui bahawa pecutan adalah derivatif pertama kelajuan berkenaan dengan masa (atau derivatif kedua kedudukan berkenaan dengan masa, jika disukai):

ke(t) = V ' (t) = [V_lembu Yo + (v_Oy - Gt) J] '= [V_lembu Yo] '+ [(v_Oy - Gt) J] '= = - g J

Ini adalah hasil yang diharapkan.

Latihan diselesaikan

Memandangkan fungsi vektor r (t) = 3t Yo + (T - 1) J, cari R '(t) dan r "(T).

Penyelesaian

Memohon peraturan derivasi kepada setiap komponen, anda mempunyai:

Boleh melayani anda: pemalar integrasi: makna, pengiraan dan contoh

R '(t) = = 3 Yo + J

Dan, kerana terbitan pemalar adalah 0:

r "(t) = 0

Iaitu, r "(t) sama dengan vektor null.

Rujukan

1. Figueroa, d. 2005. Siri: Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Kinematik. Diedit oleh Douglas Figueroa (USB).
2. Larson, r. Pengiraan dengan geometri analisis. 2. Edisi. McGraw Hill.
3. Mathonline. Fungsi bernilai vektor. Pulih dari: Mathonline.Wikidot.com.
4. Opentax. Jilid Kalkulus 3. Diperolehi dari: OpenStax.org.
5. Purcell, e. J. 2007. Pengiraan. Pendidikan Pearson.