Matematik

Homotecia negatif

Homotecia negatif
Rajah 1. Segitiga a'b'c 'adalah transformasi homothetic segitiga ABC berkenaan dengan titik atau dengan alasan homotecia negatif r = -1.5 (disediakan oleh: f zapata).

Apa itu homotecia negatif?

Homotecia negatif adalah transformasi di mana poligon yang terkandung dalam satah mempunyai imejnya yang lain poligon dalam satah yang sama, sudut yang sama dan dengan sisi yang sama berkadar dengan yang asal. Apabila homotecia negatif, imej diputar separuh giliran berkenaan dengan angka awal.

Homotecia dicirikan oleh Pusat Homotecia Sama ada dan pemalar berkadar dipanggil alasan r. Bila r Ia adalah nombor negatif sehingga ada ceramah homotekia negatif.

Bagaimana transformasi homotecia dibuat?

Untuk menjelaskan bagaimana homotecia negatif dilakukan, kita akan mengambil kes angka 1 di mana segitiga ABC Siapa yang mahu membina homothet negatifnya.

1.- Ia mula memilih pusat homotecia, yang mana kes ini adalah titik Sama ada.

2.- Dari Sama ada Segmen berorientasikan dibina (vektor) OA, Ob dan OC yang pergi dari pusat homotecia ke setiap simpang segitiga.

3.- Sebab Homotecia dipilih r. Seperti yang anda mahukan homotecia negatif, maka r Ia mestilah kurang daripada sifar. Sekiranya berlaku angka 1 ia diambil R = -1.5.

4.- Vektor ditarik Oa ', Ob ' dan Oc ', yang masing -masing Oa '= r ∙ oa, Ob '= r ∙ ob  dan Oc '= r ∙ oc. Sebagai R = -1.5, itu adalah nombor negatif, maka vektor Oa ', Ob ' dan Oc ' Mereka mempunyai arah yang bertentangan dengan rakan sejawatnya yang sepadan, iaitu OA, Ob dan OC. Tetapi sebagai nilai mutlak sebab r adalah | R | = 1.5 saiz Oa ', Ob'Dan Oc ' Mereka sekali setengah lebih besar daripada rakan mereka OA, Ob dan OC.

5.- Petua vektor Oa ', Ob ' dan Oc ' Tentukan simpang segitiga A'b'c ' Apakah homotetik negatif segitiga ABC.

Sifat homotecia negatif

The Homotecia negatif, juga dipanggil Homotecia songsang, Ia mempunyai sifat berikut:

Ia dapat melayani anda: gandaan 8: Apa dan penjelasan

1.- Sisi yang sepadan antara poligon imej dan poligon asal mempunyai panjang berkadar, yang tetap berkadar dengan nilai mutlak nisbah homotecia, iaitu imej dikuatkan dalam faktor | r | selagi | r | lebih besar daripada unit, tetapi imej dikurangkan jika | r | kurang dari unit.

2.- Sudut di antara sisi imej yang sama dan angka asal mempunyai langkah yang sama.

3.- Sisi homolog antara asal dan imej selari antara satu sama lain.

4.- Segmen yang sepadan dalam kes homotecia negatif selari, tetapi dengan bimbingan atau arah yang bertentangan. Contohnya dalam Rajah 1, Segmen AB mempunyai homolog A'B 'selari dengan yang pertama, tetapi dengan arah yang bertentangan.

Perbandingan dengan homotecia positif

Ia dipanggil homotecia positif yang di mana nisbah homotecia adalah nombor positif. Untuk membina homotecia positif, langkah yang sama diikuti sebagai homotecia negatif:

1.- Pilih Pusat Homotecia, dalam hal kami titik Sama ada (Lihat Rajah 2).

2.- Lukis segmen berorientasikan (vektor), dari pusat homotekia ke simpang poligon, dalam hal Rajah 2 ini adalah: OA, Ob dan OC.

3.- Pilih nisbah homotecia yang merupakan nombor positif, contohnya, dalam hal Rajah 2 ia telah dipilih R = 0.5.

4.- Vektor ditarik Oa ', Ob ' dan Oc ', yang masing -masing Oa '= r ∙ oa, Ob '= r ∙ ob dan Oc '= r ∙ oc. Sebagai r Ia adalah nombor positif, maka vektor Oa ', Ob ' dan Oc ' Mereka mempunyai alamat yang sama seperti OA, Ob dan OC. Panjangnya Oa ', Ob'Dan Oc ' Mereka separuh OA, Ob dan OC, Sejak alasannya R = 0.5.

5.- Akhirnya, simpul a'b'c 'bergabung untuk mendapatkan segitiga homothetik ke ABC dengan alasan 1/2.

Boleh melayani anda: Quadrilateral: Unsur, sifat, klasifikasi, contoh Rajah 2. Homotecia positif betul 0.5 hasil segitiga ABC. Dalam homotecia positif orientasi dikekalkan. (Disediakan oleh: f. Zapata)

Contoh Homotecia

Homotecia muncul dalam pelbagai situasi:

Projektor filem

Dalam projektor filem, imej yang direkodkan dalam bingkai diproyeksikan dan berkembang pada skrin, dan untuk unjuran dilihat di sebelah kanan, adalah perlu bahawa bingkai dilaburkan, kerana pusat homotecia berada di tengah -tengah lensa Kanta lensa projektor, antara bingkai dan skrin (homotecia negatif, lihat Rajah 3)

Rajah 3. Homotecia negatif muncul dalam projektor filem, antara imej yang direkodkan pada bingkai lut dan imej yang diproyeksikan pada skrin. Pusat Homotecia terletak di pusat optik lensa, pada gilirannya terletak di antara bingkai dan skrin. Sumber: f. Zapata.

Kamera foto

Prinsip ini juga terpakai kepada kamera: cahaya dari imej yang terletak jarak tertentu dari lensa diproyeksikan pada sensor fotografi, yang boleh menjadi filem kimia sensitif cahaya atau sensor CCD, jika ia adalah kamera digital.

Imej yang direkodkan dalam sensor terbalik dengan yang sebenar dan biasanya secara proporsional kurang dari dia.

Permohonan praktikal

Matahari tidak boleh melihat secara langsung, kerana ia menyebabkan kerosakan kekal pada retina, tetapi terdapat dua kemungkinan untuk mengkajinya: Gunakan penapis yang melemahkan intensiti cahaya atau memproyeksikan imejnya pada skrin.

Boleh melayani anda: variasi berkadar

Peranti unjuran terdiri daripada tiub panjang d. Salah satu hujung tiub ditutup dengan kerajang aluminium dan latihan di tengahnya dengan pin. Hujung yang lain, yang akan berfungsi sebagai skrin, ditutup dengan kertas lut, yang boleh menjadi kertas bawang atau kertas Albanene (kertas sayuran).

Senaman

Tentukan diameter matahari, mengetahui bahawa jejari orbital daratan adalah urutan 150 juta kilometer, bahawa tiub unjuran, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4, panjangnya 2.2 meter dan imej yang diunjurkan adalah 2, 1 cm diameter.

Rajah 4. Di dalam tiub untuk memproyeksikan cakera solar nisbah homotecia negatif berlaku. Sumber: f. Zapata.

Penyelesaian

Data adalah seperti berikut:

  • Panjang tiub: D = 2.2m
  • Diameter gambar yang diunjurkan matahari: s = 2.1 cm
  • Jarak dari tiub matahari: r = 150 x 10^9 m
  • Diameter matahari sebenar: s = ¿?

Untuk mendapatkan diameter matahari, nisbah perkadaran digunakan mengikut perkadaran homotecia (lihat Rajah 4):

Jarak ke matahari berada di panjang tiub sebagai diameter matahari adalah keameter imej yang diunjurkan:

(R / d) = (s / s)

Mengosongkan kesamaan ini bahawa diameter sebenar matahari mempunyai diameter unjuran yang didarab dengan kuota antara jarak ke matahari dan panjang tiub:

S = s (r / d)

Meletakkan nilai berangka adalah:

S = 2.1 x 10-2 M (150 x 109 m / 2.2 m)

S = 1.43 x 109 m.

Hasil ini ditafsirkan seperti berikut: Diameter sebenar matahari adalah 1.43 juta kilometer.

Rujukan

  1. Álvaro rendón, ke. R. 2004. Lukisan Teknikal: Buku Nota Aktiviti.
  2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. 2002. Affinity, Homology dan Homotecia.
  3. Baer, ​​r. 2012. Algebra linear dan geometri projektif. Couer Corporation.
  4. Hebert, dan. 1980. Matematik Umum, Kebarangkalian dan Statistik.
  5. Messerve, b. Dan. 2014. Konsep asas geometri. Couer Corporation