Konsep gelombang linear, ciri, contoh

The Gelombang linear Ini adalah di mana prinsip superposisi boleh digunakan, iaitu, di mana bentuk gelombang dan evolusi ruang masa dapat dicapai sebagai jumlah penyelesaian asas, contohnya jenis harmonik. Tidak semua gelombang memenuhi prinsip superposisi, yang tidak mematuhi gelombang bukan lineal.

Denominasi "linear" berasal dari fakta bahawa gelombang linear sentiasa memenuhi persamaan pembezaan dalam derivatif separa, di mana semua istilah yang melibatkan pemboleh ubah bergantung atau derivatifnya dibangkitkan kepada kuasa pertama.

Gelombang yang dilihat di kejauhan adalah gelombang linear, namun gelombang yang ketakutan di latar depan tidak lineal. Sumber: Pixabay.

Sebaliknya, gelombang bukan lineal memenuhi persamaan gelombang yang mempunyai darjah kuadratik atau lebih tinggi dalam pemboleh ubah bergantung atau dalam derivatif mereka.

Kadang -kadang ia keliru dengan gelombang linear dengan gelombang membujur, yang mana getaran berlaku dalam arah penyebaran yang sama, seperti gelombang bunyi.

Tetapi gelombang membujur, serta transversal, boleh seterusnya menjadi linear atau tidak linear bergantung kepada, antara faktor lain, amplitud gangguan awal dan persekitaran di mana mereka menyebar.

Secara amnya berlaku apabila gangguan awal adalah amplitud kecil, persamaan yang menggambarkan penyebaran gelombang, adalah jenis linear atau boleh dihidupkan oleh pendekatan tertentu, walaupun tidak selalu begitu.

[TOC]

Persamaan pembezaan dalam gelombang linear

Dalam medium linear, bentuk gelombang terhad dalam ruang dan masa boleh diwakili oleh jumlah fungsi sinus atau cosine gelombang frekuensi dan panjang gelombang yang berbeza melalui siri Fourier. 

Gelombang linear selalu mempunyai persamaan pembezaan jenis linear yang dikaitkan, yang penyelesaiannya mewakili ramalan apa yang akan menjadi gangguan pada saat -saat posterior gangguan awal yang terletak secara spasial pada awal awal awal.

Persamaan gelombang linear klasik, dalam satu dimensi spatial, yang penyelesaiannya adalah gelombang linear adalah:

Dalam persamaan sebelumnya atau mewakili gangguan jumlah fizikal tertentu dalam kedudukan x Dan pada masa ini t, iaitu atau Ia adalah fungsi x dan t:

Ia boleh melayani anda: Apakah vektor coplanares? (Dengan latihan yang diselesaikan)

u = u (x, t)

Contohnya, jika ia adalah gelombang bunyi di udara, atau Ia boleh mewakili variasi tekanan berkenaan dengan nilainya tanpa mengganggu.

Dalam kes gelombang elektromagnet, atau mewakili medan elektrik atau medan magnet berayun tegak lurus ke arah penyebaran.

Sekiranya tali tegang, atau mewakili anjakan silang berkenaan dengan keseimbangan keseimbangan tali, seperti yang ditunjukkan dalam angka berikut:

Bentuk gelombang dalam sekejap yang diberikan, dalam hal gelombang linear bentuk ini adalah tumpang tindih gelombang sinusoidal kekerapan dan panjang gelombang yang berlainan. Sumber: f. Zapata.

Penyelesaian persamaan pembezaan

Sekiranya anda mempunyai dua atau lebih penyelesaian persamaan pembezaan linear, maka setiap penyelesaian didarab dengan pemalar akan menjadi penyelesaian dan juga akan menjadi jumlahnya. 

Tidak seperti persamaan bukan linear, persamaan waveline mengakui penyelesaian harmonik jenis: 

atau₁= A ⋅Sen (k ⋅x - Ω ⋅T) dan atau₂= A ⋅sen (k ⋅x + Ω ⋅T) 

Ini dapat disahkan oleh penggantian mudah dalam persamaan gelombang linear.

Penyelesaian pertama mewakili gelombang progresif yang maju ke kanan, sementara yang kedua ke kiri dengan cepat C = Ω/k.

Penyelesaian Harmonik adalah ciri persamaan gelombang linear.

Sebaliknya, gabungan linear dua penyelesaian harmonik juga merupakan penyelesaian kepada persamaan gelombang linear, sebagai contoh:

u = a₁ cos (k₁⋅x - Ω₁⋅t) + a₂ dosa (k₂⋅x - Ω₂⋅T) adalah penyelesaian.

Ciri -ciri gelombang linear yang paling relevan adalah bahawa sebarang bentuk gelombang, namun kompleks, dapat diperolehi dengan jumlah gelombang harmonik yang mudah di payudara dan kosinus:

u (x, t) = a₀ + Σ_n Ke_n cos (k_n⋅x - Ω_n⋅t) + ∑_m B_m dosa (k_m⋅x - Ω_m⋅T).

Gelombang linear dispersif dan tidak dispersif

Dalam persamaan gelombang linear klasik, c mewakili kelajuan penyebaran nadi.

Gelombang bukan -dispersive

Dalam kes di mana c Ia adalah nilai malar, contohnya gelombang elektromagnet dalam kekosongan, maka nadi pada saat awal t = 0 Bentuk f (x) Ia merebak mengikut:

u (x, t) = f (x - c ⋅T)

Tanpa mengalami gangguan. Apabila ini berlaku, dikatakan bahawa medium tidak dirancang.

Gelombang penyebaran

Walau bagaimanapun, dalam media penyebaran kelajuan penyebaran C boleh bergantung pada panjang gelombang λ, iaitu: c = c (λ).

Boleh melayani anda: Persamaan kesinambungan

Gelombang elektromagnetik dispersif semasa mengembara melalui medium material. Juga gelombang permukaan air bergerak pada kelajuan yang berbeza mengikut kedalaman air.

Kelajuan yang menyebarkan gelombang harmonik A ⋅sen (k ⋅x - Ω ⋅T) adalah Ω/k = c dan kelajuan fasa dipanggil. Sekiranya medium dispersif, maka c Ia adalah fungsi nombor gelombang k: C = c (k), di mana k Ia berkaitan dengan panjang gelombang dengan cara K = 2π/λ.

Hubungan penyebaran

Hubungan antara kekerapan dan panjang gelombang dipanggil nisbah penyebaran, yang dinyatakan dari segi kekerapan sudut Ω dan nombor gelombang k adalah: Ω = c (k) ⋅K.

Beberapa Hubungan Penyebaran Ciri -ciri Gelombang Linear adalah seperti berikut:

Di gelombang di mana panjang gelombang (jarak antara rabung) jauh lebih besar daripada kedalaman H, Tetapi keluasannya jauh lebih rendah daripada kedalaman hubungan penyebaran:

Ω = √ (gh) ⋅K

Dari situ disimpulkan bahawa mereka tersebar dengan kelajuan yang berterusan √ (gh) (separuh tidak berpengalaman).

Tetapi gelombang di perairan yang sangat mendalam tersebar, kerana nisbah penyebaran mereka adalah:

Ω = √ (g/k) ⋅K

Ini bermaksud kelajuan fasa Ω/k Ia berubah dan bergantung pada nombor gelombang dan oleh itu panjang gelombang gelombang.

Kelajuan kumpulan

Sekiranya dua gelombang linear harmonik bertindih tetapi maju pada kelajuan yang berbeza, maka kelajuan kumpulan (iaitu, pakej gelombang) tidak sepadan dengan kelajuan fasa.

Kelajuan kumpulan v_g Ia ditakrifkan sebagai derivatif frekuensi berkenaan dengan nombor gelombang dalam nisbah penyebaran: v_g = Ω '(k).

Angka berikut menunjukkan pertindihan atau jumlah dua gelombang harmonik atau₁= A ⋅sen (k₁⋅x - Ω₁⋅T) dan atau₂= A ⋅sen (k₂⋅x - Ω₂⋅T) yang bergerak dengan kelajuan yang berbeza v₁= Ω₁/k₁ dan v₂= Ω₂/k₂. Perhatikan bagaimana kelajuan kumpulan berbeza dari kelajuan fasa, dalam hal ini kelajuan kumpulan adalah ΔΩ/ΔK.

Ia dapat melayani anda: sifat magnet bahanGelombang linear (biru) dalam medium dispersif. Lengkung merah telah ditambah untuk menyerlahkan bahawa kelajuan kumpulan berbeza dari kelajuan penyebaran

Bergantung pada nisbah penyebaran, kelajuan fasa dan kelajuan kumpulan, dalam arah yang bertentangan, bahkan dapat memiliki arah yang bertentangan.

Contoh gelombang linear

Gelombang elektromagnet

gelombang elektromagnet yang membentuk radiasi elektromagnet

Gelombang elektromagnetik adalah gelombang linear. Persamaan gelombangnya disimpulkan dari persamaan elektromagnetisme (persamaan maxwell) yang juga linear.

Persamaan Schrödinger

Ia adalah persamaan yang menggambarkan dinamik zarah pada skala atom, di mana ciri -ciri bergelombang adalah relevan, contohnya kes elektron dalam atom.

Kemudian fungsi "gelombang elektron" atau gelombang seperti yang dipanggil, adalah gelombang linear.

Ombak di dalam air

Gelombang linear juga adalah di mana amplitud jauh lebih rendah daripada panjang gelombang dan panjang gelombang jauh lebih besar daripada kedalaman. Gelombang di dalam air mendalami teori linear (dikenali sebagai teori bergelombang Airy).

Walau bagaimanapun, gelombang yang mendekati pantai dan membentuk puncak ciri yang digulung (dan pelayar yang suka) adalah gelombang bukan linear.

Bunyi

Sebagai bunyi adalah gangguan kecil tekanan atmosfera, ia dianggap sebagai gelombang linear. Walau bagaimanapun, gelombang kejutan letupan atau gelombang muka pesawat supersonik, adalah contoh gelombang bukan linear biasa.

Gelombang pada tali tegang

Gelombang yang merebak melalui tali tegang adalah linear, dengan syarat bahawa denyutan awal kecil, iaitu batas elastik tali tidak melebihi.

Gelombang linear pada rentetan dicerminkan di hujungnya dan bertindih, menimbulkan gelombang pegun atau mod getaran yang memberikan ciri -ciri nada harmonik dan subarmonik.

Rujukan

1. Griffiths G dan Schiesser W. Gelombang linear dan tidak linear. Pulih dari: sholarpedia.org.
2. Whitham g.B. (1999) "Gelombang linear dan tidak linear". Wiley. 
3. Wikipedia. Gelombang bukan linear. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.com
4. Wikipedia. Akustik tak linear. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Gelombang. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.com
6. Wikiwaves. Gelombang tak linear. Pulih dari: wikiwaves.org