Definisi, Contoh dan Contoh Paraboloid Hyperbolic

A Paraboloid hiperbolik Ia adalah permukaan yang persamaan umum dalam koordinat Cartesian (x, y, z) memenuhi persamaan berikut:

(untuk)² - (dan/b)² - Z = 0.

Denominasi "paraboloid" berasal dari fakta bahawa pembolehubah z bergantung pada dataran pembolehubah x dan y. Walaupun kata sifat "hiperbolik" adalah disebabkan oleh fakta bahawa persamaan hyperbola mempunyai nilai tetap z. Bentuk permukaan ini serupa dengan kerusi menunggang kuda.

Rajah 1. Paraboloid Hyperbolic Z = x² - dan². Sumber: f. Zapata melalui Wolfram Mathematica.

[TOC]

Penerangan paraboloid hiperbola

Untuk memahami sifat paraboloid hiperbolik, analisis berikut akan dibuat:

1.- Kes tertentu akan diambil a = 1, b = 1, iaitu persamaan Cartesian paraboloid kekal sebagai z = x² - dan².

2.- Mereka dianggap pesawat selari dengan satah ZX, iaitu y = ctte.

3.- Dengan y = ctte ia adalah z = x² - C, yang mewakili perumpamaan dengan cawangan dan puncak di bawah pesawat XY.

Rajah 2. Keluarga lengkung z = x² - C. Sumber: f. Zapata melalui geogebra.

4.- Dengan x = ctte adalah z = c - y², yang mewakili perumpamaan dengan cawangan ke bawah dan puncak di atas pesawat XY.

Rajah 3. Keluarga lengkung z = c - dan². Sumber: f. Zapata melalui geogebra.

5.- Dengan z = ctte ialah c = x² - dan², yang mewakili hiperbola dalam pesawat selari dengan pesawat XY. Apabila c = 0 terdapat dua baris (A +45º dan -45º berkenaan dengan paksi x) yang dipintas pada asalnya di satah XY.

Rajah 4. Keluarga lengkung x² - dan² = C. Sumber: f. Zapata melalui geogebra ..

Sifat paraboloid hiperbola

1.- Empat mata yang berbeza di ruang tiga dimensi menentukan satu dan hanya paraboloid hiperbola.

Ia boleh melayani anda: had sifat (dengan contoh)

2.- Paraboloid hiperbolik adalah permukaan dua kali ganda yang dikawal selia. Ini bermakna walaupun permukaan melengkung, untuk setiap titik paraboloid hiperbolik dua baris yang berlainan berlalu sepenuhnya ke paraboloid hiperbola. Permukaan lain yang bukan satah dan dikawal selia dua kali ganda adalah Revolusi Hyperboloid.

Ini adalah hak milik kedua paraboloid hiperbola yang telah membolehkan penggunaannya dalam seni bina kerana permukaan dapat dihasilkan dari rasuk atau rentetan lurus.

Harta kedua paraboloid hiperbolik membolehkan definisi alternatifnya: Ia adalah permukaan yang boleh dihasilkan oleh garis mudah alih lurus selari dengan satah tetap dan memotong dua garisan tetap yang berfungsi sebagai panduan. Angka berikut menjelaskan definisi alternatif paraboloid hiperbolik:

Rajah 5. Paraboloid hiperbolik adalah permukaan yang dikawal selia dua kali ganda. Sumber: f. Zapata.

Contoh yang diselesaikan

- Contoh 1

Menunjukkan bahawa persamaan: Z = xy, sepadan dengan paraboloid hiperbola.

Penyelesaian

Transformasi akan digunakan dalam pembolehubah x dan y yang sepadan dengan putaran paksi Cartesian berkenaan dengan z paksi +45. Koordinat x dan y lama diubah menjadi X 'e dan' mengikut hubungan berikut:

x = x ' - y'

y = x ' + dan'

Walaupun koordinat z tetap sama, iaitu z = z '.

Dengan menggantikan persamaan z = x dan kita ada:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Apabila menggunakan produk ketara perbezaan dengan jumlah yang sama dengan perbezaan kuadrat itu:

Z '= x'² - dan '²

yang jelas sesuai dengan definisi yang pada mulanya diberikan paraboloid hiperbola.

Pemintasan pesawat selari dengan paksi XY dengan paraboloid hyperbolic z = x dan tentukan hiperbola sama biasa yang telah menyamuk pesawat x = 0 e y = 0.

Boleh melayani anda: miletus seperti teorem

- Contoh 2

Tentukan parameter ke dan b daripada paraboloid hiperbolik yang melewati titik a (0, 0, 0); B (1, 1, 5/9); C (-2, 1, 32/9) dan D (2, -1, 32/9).

Penyelesaian

Menurut sifatnya, empat mata dalam ruang tiga dimensi menentukan satu paraboloid hyperbolic. Persamaan umum adalah:

Z = (x/a)² - (dan/b)²

Kami menggantikan nilai yang diberikan:

Untuk titik a anda mempunyai 0 = (0/a)² - (0/b)², persamaan yang berpuas hati apa sahaja nilai parameter a dan b.

Menggantikan titik B diperoleh:

5/9 = 1/a² - 1 b²

Sementara untuk titik c ia tetap:

32/9 = 4/a² - 1 b²

Akhirnya, untuk titik D ia diperoleh:

32/9 = 4/a² - 1 b²

Yang sama dengan persamaan sebelumnya. Singkatnya, sistem persamaan perlu diselesaikan:

5/9 = 1/a² - 1 b²

32/9 = 4/a² - 1 b²

Mengurangkan persamaan kedua yang pertama diperoleh:

27/9 = 3/a² yang membayangkan bahawa² = 1.

Begitu juga, persamaan kedua empat kali ganda yang pertama dikurangkan, mendapatkan:

(32-20)/9 = 4/a² - 4/a² -1 b² + 4/b²

Yang dipermudahkan seperti:

12/9 = 3/b² ⇒ b² = 9/4.

Singkatnya, paraboloid hiperbolik yang melewati titik A, B, C dan D yang diberikan mempunyai persamaan Cartesian yang diberikan oleh:

Z = x² - (4/9) dan²

- Contoh 3

Menurut sifat paraboloid hiperbola, dua baris yang benar -benar terkandung di dalamnya lulus untuk setiap titik. Untuk kes z = x^2 - y^2 cari persamaan dua baris yang melewati titik p (0, 1, -1) dengan jelas milik paraboloid hiperbola, sehingga semua titik garis ini juga tergolong dalam sama.

Penyelesaian

Menggunakan produk yang luar biasa dari perbezaan dataran, persamaan paraboloid hiperbola boleh ditulis seperti berikut:

Boleh melayani anda: Quadrilateral: Unsur, sifat, klasifikasi, contoh

(x + y) (x - y) = c z (1/c)

Di mana c adalah pemalar bukan -zero.

Persamaan x + y = c z, dan persamaan x - y = 1/c sesuai dengan dua pesawat dengan vektor biasa n= y m=. Produk vektor m x n = Arah persimpangan garis kedua pesawat memberi kita. Kemudian salah satu baris yang melewati titik P dan milik paraboloid hiperbolik mempunyai persamaan parametrik:

= + t

Untuk menentukan c kita menggantikan titik p dalam persamaan x + y = c z, mendapatkan:

C = -1

Begitu juga, tetapi memandangkan persamaan (x - y = k z) dan (x + y = 1/k) anda mempunyai persamaan parametrik garis:

= + s dengan k = 1.

Pendek kata, dua baris:

= + t y = + s

Mereka benar -benar terkandung dalam paraboloid hiperbolik z = x² - dan² Melalui titik (0, 1, -1).

Sebagai cek anggap t = 1 apa yang memberi kita titik (1,2, -3) pada baris pertama. Anda perlu menyemak sama ada ia juga di paraboloid z = x² - dan²:

-3 = 1² - 2² = 1 - 4 = -3

Yang mengesahkan bahawa pada dasarnya, ia tergolong dalam permukaan paraboloid hiperbola.

Paraboloid hiperbola dalam seni bina

Rajah 6. Oceanographic of Valencia (Sepanyol).Sumber: Wikimedia Commons.

Paraboloid hiperbolik telah digunakan dalam seni bina oleh arkitek avant-garde yang hebat, di antaranya nama-nama arkitek Sepanyol Antoni Gaudí (1852-1926) dan sangat khususnya Sepanyol Félix Candela (1910-1997).

Berikut adalah beberapa kerja berdasarkan paraboloid hiperbolik:

-Chapel of the City of Cuernavaca (Mexico) Kerja oleh Arkitek Félix Candela.

-Oceanographic of Valencia (Sepanyol), juga oleh Félix Candela.

Rujukan

1. Ensiklopedia Matematik. Permukaan memerintah. Pulih dari: EncyclopediaofMath.org
2. Llera Rubén. Paraboloid hiperbolik. Pulih dari: rubenllera.WordPress.com
3. Weisstein, Eric W. "Paraboloid Hyperbolic."Dari Mathworld-A Wolfram Sumber Web. Pulih dari: Mathworld.Wolfram.com
4. Wikipedia. Paraboloid. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Paraboloid. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.com
6. Wikipedia. Permukaan memerintah. Diperoleh dari: dalam.Wikipedia.com