Persamaan titik coplanares, contoh dan latihan yang diselesaikan

The Mata Coplanares Mereka semua tergolong dalam pesawat yang sama. Dua mata selalu coplanares, kerana titik -titik ini menentukan garis di mana flat infinites lulus. Kemudian, kedua -dua titik tergolong dalam setiap rancangan yang melewati garis dan oleh itu akan sentiasa menjadi coplanares.

Sebaliknya, tiga mata mentakrifkan satu satah, yang mana diikuti bahawa tiga mata akan sentiasa menjadi coplanares ke pesawat yang mereka tentukan.

Rajah 1. A, B, C dan D mereka adalah coplanares ke pesawat (Ω). E, f dan g bukan coplanares a (Ω) tetapi jika mereka coplanares ke pesawat yang tiga menentukan. Sumber: f. Zapata.

Lebih daripada tiga mata boleh menjadi coplanar atau tidak. Contohnya dalam Rajah 1, titik a, b, c dan d adalah coplanares ke satah (Ω). Tetapi E, F dan G bukan Coplanares A (Ω), walaupun mereka adalah coplanares ke satah yang tiga menentukan.

[TOC]

Persamaan kapal terbang diberikan tiga mata

Persamaan satah yang ditentukan oleh tiga titik yang diketahui a, b, c adalah hubungan matematik yang menjamin bahawa mana -mana titik p koordinat generik (x, y, z) yang memenuhi persamaan milik pesawat tersebut. 

Kenyataan terdahulu bersamaan dengan mengatakan bahawa jika P koordinat (x, y, z) memenuhi persamaan pesawat, maka kata titik akan menjadi copatar dengan tiga mata a, b, c yang menentukan pesawat.

Untuk mencari persamaan pesawat tersebut, mari kita mulakan dengan mencari vektor Ab dan Ac:

Ab = [Bx - kapak, oleh - ay, bz - az]

Ac = [Cx - kapak, cy - ay, cz - az]

Produk vektor Ab X Ac Ia menghasilkan vektor tegak lurus atau normal ke satah yang ditentukan oleh titik a, b, c.

Mana -mana titik koordinat (x, y, z) tergolong dalam pesawat jika benar bahawa vektor Ap berserenjang dengan vektor Ab X Ac, yang dijamin jika dipenuhi:

Boleh melayani anda: Decagon: biasa, tidak teratur, sifat, contoh

AP • (AB X Ac) = 0

Ini bersamaan dengan mengatakan bahawa produk tiga Ap, Ab dan Ac Jadilah batal. Persamaan sebelumnya boleh ditulis dengan cara matriks:

Contoh

Biarkan titik a (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) dan D (ke, 0, 1). Nilai apa yang sepatutnya ke Jadi empat mata adalah coplanares?

Penyelesaian

Untuk mencari nilai A adalah perlu bahawa titik d adalah sebahagian daripada pesawat yang ditentukan oleh A, B dan C, yang dijamin jika persamaan pesawat memenuhi.

Membangunkan penentu yang kita ada:

A (-1-1) + 1 (-1 -7) -1 (1 -7) = -2A -8 + 6 = -2A -2 = 0

Persamaan sebelumnya menunjukkan bahawa A = -1 Untuk memenuhi kesamaan. Dalam erti kata lain, satu -satunya cara titik d (ke, 0.1) menjadi coplanar dengan titik a, b dan c ialah ke Valga -1. Jika tidak, ia tidak akan menjadi coplanar.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Pesawat memotong paksi Cartesian x, y, z dalam 1, 2 dan 3 masing -masing. Persimpangan pesawat tersebut dengan paksi menentukan titik a, b dan c. Cari komponen DZ titik D, yang komponen Cartesiannya:

 D (-dz, dz+1, dz) 

Dengan syarat bahawa d adalah coplanar dengan titik a, b dan c. 

Penyelesaian

Apabila interceptions satah dengan paksi Cartesian diketahui, bentuk segmental persamaan satah boleh digunakan:

x/1 + y/2 + z/3 = 1

Sebagai titik D mesti tergolong dalam pesawat sebelumnya, anda perlu:

-Dz/1 + (dz + 1)/2 + dz/3 = 1

Iaitu:

-Dz + Dz/2 + ½ + Dz/3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½ 

Dz (-1/6⅙) = ½ 

Dz = -3 

Dari yang di atas ia mengikuti titik d (3, -2, -3) adalah untuk couplen dengan titik a (1, 0, 0); B (0, 2, 0) dan C (0, 0, 3).

Ia dapat melayani anda: Kriteria persamaan segi tiga

- Latihan 2

Tentukan sama ada titik a (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) dan D (2, 3, 1) adalah coplanares.

Penyelesaian

Kami membentuk matriks yang pangkatnya adalah koordinat D-A, B-A, dan C-A. Maka penentu dikira dan disahkan sama ada sifar atau tidak.

Setelah melakukan semua pengiraan, disimpulkan bahawa mereka adalah coplanares.

- Latihan 3

Dua baris diberikan di ruang angkasa. Salah satu daripada mereka adalah garis (r) yang persamaan parametriknya ialah:

(R): x = 1 + 2 λ; y = 1 - λ; Z = 1

Dan yang lain adalah garis (s) yang persamaannya:

(S): x + 2 y = 1; Z = -1

Menunjukkan bahawa (r) dan (s) mereka adalah coplanarium lurus, iaitu, mereka berada dalam pesawat yang sama.

Penyelesaian

Mari kita mulakan sewenang -wenangnya dua mata pada baris (r) dan dua di baris:

Lurus (r): λ = 0; A (1, 1, 1) dan λ = 1; B (3, 0, 1)

Mari lakukan x = 0 pada baris (s)=> y = ½; C (0, ½, -1). Dan sebaliknya, jika kita melakukannya y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Iaitu, kami telah mengambil titik a dan b yang tergolong dalam garis (r) dan titik c dan d yang tergolong dalam garis (s). Sekiranya mata tersebut adalah coplanar, maka kedua -dua baris juga akan.

Sekarang kita memilih untuk menunjukkan bagaimana pivot dan kemudian kita dapati koordinat vektor Ab, Ac dan AD. Dengan cara ini anda dapat:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => Ab= (2, -1, 0)

C -A: (0-1, 1/2 -1, -1 -1) => Ac= (-1, -1/2, -2)

D -A: (1-1, 0 -1, -1 -1) => AD= (0, -1, -2)

Langkah seterusnya ialah membina dan mengira penentu yang baris pertama adalah pekali vektor Ab, Baris kedua adalah Ac dan baris ketiga mereka vektor AD:

Boleh melayani anda: miletus seperti teorem

Oleh kerana penentu ternyata menjadi batal, maka kita dapat menyimpulkan bahawa empat mata adalah coplanarios. Di samping itu, boleh dikatakan bahawa garis (r) dan (s) juga coplanares.

- Latihan 4

Garis (r) dan (s) adalah coplanares, seperti yang ditunjukkan dalam Latihan 3. Cari persamaan pesawat yang mengandunginya.

Penyelesaian

Mata A, B, C sepenuhnya menentukan pesawat itu, tetapi kami mahu mengenakan bahawa mana -mana titik x koordinat (x, y, z) tergolong dalam perkara yang sama.

X - a: (x -1, y -1, z - 1) => Kapak= (X -1, y -1, z -1)

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => Ab= (2, -1, 0)

C -A: (0-1, 1/2 -1, -1 -1) => Ac= (-1, -1/2, -2)

Supaya x tergolong dalam satah yang ditakrifkan oleh A, B, C dan di mana garis (r) dan (s) terkandung, adalah perlu bahawa penentu yang dibentuk dalam baris pertama dibatalkan oleh komponen -komponen Kapak, di tempat kedua oleh orang -orang Ab Dan di tempat ketiga oleh orang -orang Ac:

Berikutan hasil ini, kami berkumpulan dengan cara ini:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Dan dengan serta -merta dilihat bahawa ia boleh ditulis semula seperti ini:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Oleh itu x + 2y - z = 2 adalah persamaan satah yang mengandungi garis (r) dan (s).

Rujukan

1. Fleming, w. 1989. Matematik Prealculus. Prentice Hall Ptr.
2. Kolman, b. 2006. Algebra linear. Pendidikan Pearson.
3. Setia, j. M. 2005. Geometri analisis rata. Mérida - Venezuela: Editorial Venezuela C. Ke.
4. Navarro, Rocio. Vektor. Pulih dari: buku.Google.co.Pergi.
5. Pérez, c. D. 2006. Precalculation. Pendidikan Pearson.
6. Prenowitz, w. 2012. Konsep asas geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, m. 1997. Precalculation. Pendidikan Pearson.