Pilihan rawak dengan atau tanpa penggantian

The pemilihan rawak Ia terdiri daripada memilih, secara rawak, elemen atau sampel, berdasarkan satu set data atau objek. Dengan penggantian, ia bermaksud mengembalikan elemen ke set asal, dan tanpa penggantian itu bermakna ia tidak kembali.

Dalam kes pertama, apabila elemen yang dipilih kembali ke set asal, ia tidak diubahsuai, meninggalkan kemungkinan kemungkinan yang mengatakan elemen dipilih lebih dari sekali. Dengan cara ini, pengekstrakan tak terhingga dapat dijalankan pada populasi yang sama, walaupun ia terdiri daripada unsur -unsur, yang terbatas.

Tetapi jika pemilihan dibuat tanpa penggantian, set elemen asal berubah setiap kali beberapa elemen diekstrak daripadanya untuk membentuk sampel. Dan unsur -unsur yang diekstrak tidak mempunyai kemungkinan dipilih lagi.

Apabila penduduk berkurangan, bilangan pengekstrakan yang boleh dilakukan di atasnya adalah terhingga.

Sekiranya saiz populasi n kecil, terdapat perbezaan yang signifikan antara memilih elemen rawak dengan atau tanpa penggantian. Sebaliknya, ketika n sangat besar, perbezaannya jauh lebih rendah, seperti yang akan dilihat kemudian.

Pemilihan dengan penggantian

Kebarangkalian bahawa peristiwa X tertentu berlaku adalah nisbah antara bilangan kes yang menggalakkan dan jumlah kes:

P (x) = kes yang baik/jumlah.

Sekiranya penduduk terdiri daripada un elemen yang berbeza: x₁, x₂, x₃..., kebarangkalian memilih elemen x₁ adalah p (x₁) = 1/n.

Memandangkan terdapat penggantian, saiz penduduk kekal n, maka kebarangkalian memilih elemen seterusnya x₂ adalah p (x₂) = 1/n.

Dan dengan cara yang sama, setiap elemen yang tinggal mempunyai kebarangkalian yang sama dipilih:

Boleh melayani anda: gred polinomial: bagaimana ia ditentukan, contoh dan latihan

P (x_n) = 1/n

Oleh itu, sebagai peristiwa bebas antara satu sama lain, kebarangkalian bersama kejadian adalah hasil kebarangkalian masing -masing:

P (x₁, x₂, x₃... x_n) = (1/n) × (1/n) × ... × (1/n)

Pemilihan tanpa pengganti

Apabila memilih elemen tertentu tanpa penggantian populasi saiz n, kebarangkalian bahawa elemen tersebut dipilih adalah:

P (x₁) = 1/n

Sebaik sahaja ini selesai, unsur -unsur n - 1 kekal dalam populasi, oleh itu, kebarangkalian memilih seterusnya adalah:

P (x₂) = 1/(n - 1)

Memilih elemen ini, penduduk kini terdiri daripada unsur -unsur n - 2, dalam kes ini, kebarangkalian memilih yang berikut adalah:

P (x₃) = 1/(n - 2)

Dan sebagainya. Kebarangkalian untuk satu -satunya elemen ialah:

P (x_n) = 1/[n- (n-1)]

Akhirnya, kebarangkalian bersama memilih elemen x₁, x₂, x₃... Sebagai sebahagian daripada sampel, ia adalah hasil dari setiap kebarangkalian:

P (x₁, x₂, x₃...) = 1/n × 1/(n-1) × 1/(n-2) × ... × 1/[n- (n-1)] = 1/[n × (n-1) × (n -2) × ... × [n- (n-1)]

Contoh

Dalam statistik, tindakan memilih sampel adalah percubaan, set hasil yang mungkin adalah ruang sampel dan hasil eksperimen merupakan peristiwa.

Contoh 1

Kotak dengan kelereng warna yang berbeza disediakan: 12 merah, 7 biru dan 5 hijau. Eksperimen ini terdiri daripada mengekstrak marmar rawak tunggal.

Seperti jumlahnya terdapat 24 guli di dalam kotak, di mana 12 adalah merah, kebarangkalian mengambil marmar merah, dilambangkan p (r), adalah:

P (r) = 12/24 = 1/2 = 0.5

Selepas ini, anda ingin mengetahui kebarangkalian mengekstrak marmar hijau, iaitu, p (v).

Boleh melayani anda: jumlah kuadrat dua nombor berturut -turut

Kebarangkalian ini bergantung kepada sama ada marmar merah yang diekstrak di tempat pertama kembali ke kotak atau tidak. Sekiranya marmar merah dimasukkan lagi ke dalam kotak dengan yang lain, pemilihannya adalah dengan penggantian atau penggantian, dan sebaliknya ia adalah pemilihan tanpa penggantian.

Dalam pilihan dengan penggantian, ruang sampel tidak berubah, masih terdapat 24 guli di dalam kotak dan kebarangkalian mengekstrak marmar hijau adalah:

P (v) = 5/24 = 0.dua puluh satu

Dan jika marmar merah awal tidak dikembalikan ke kotak, di dalamnya terdapat 23 guli, dan kebarangkalian mengekstrak hijau harus lebih besar:

P (v) = 5/23 = 0.22

Contoh 2

Dalam percubaan lain dengan kotak marmar, anda ingin mengira kebarangkalian bahawa, apabila dua guli diekstrak, yang pertama adalah merah dan seterusnya adalah biru. Anda boleh meneruskan dalam dua cara:

a) dengan penggantian

Kedua -dua peristiwa itu bebas, iaitu, warna marmar yang diekstrak terlebih dahulu tidak mempengaruhi kebarangkalian mendapatkan marmar lain warna tertentu.

P (RA) = (12/24) × (7/24) = 84/576 = 0.146

b) Tiada pengganti

Apabila meninggalkan marmar pertama di luar, jika ini merah, kebarangkalian mengekstrak biru pada kali kedua sedikit lebih besar:

P (ra) = (12/24) × (7/23) = 84/552 = 0.152

Contoh 3

Bandar mempunyai 30.000 penduduk, yang mana 15.423 adalah wanita. Anda ingin mengira kebarangkalian bahawa, dengan memilih dua penduduk, kedua -duanya adalah wanita.

a) dengan penggantian

Biarkan p (m) menjadi kebarangkalian penduduk yang dipilih adalah seorang wanita, maka:

P (m) = 15.423/30.000 = 0.51410

Boleh melayani anda: mengapa algebra penting dalam situasi kehidupan seharian tertentu?

Oleh itu, kebarangkalian bahawa orang kedua yang dipilih juga seorang wanita adalah:

P (mm) = p (m) × p (m) = 0.5140² = 0.2643

b) Tiada pengganti

Jika orang pertama yang dipilih tidak "dikembalikan", maka kebarangkalian memilih seorang wanita dalam percubaan kedua ialah:

P (m) = 15.422/29.999 = 0.51408

Tidak ada perbezaan yang signifikan dengan kes sebelumnya. Dan produk 0.51410 × 0.51408 hampir sama dengan 0.2643, pembaca boleh menyemaknya dengan kalkulator.

Latihan diselesaikan

Kotak mempunyai 5 orang percaya hijau, 2 orang percaya biru dan 3 orang percaya merah, semua yang baru dan identik. Tentukan kebarangkalian bahawa, dengan mengekstrak dua orang percaya dari kotak itu, tidak ada yang merah:

a) dengan penggantian. Adakah peristiwa -peristiwa ini bebas?

b) tanpa penggantian, menunjukkan sama ada peristiwa itu bebas atau tidak.

Penyelesaian kepada

Terdapat 10 percaya secara keseluruhan, yang mana 3 merah dan 7 tidak. Kebarangkalian p (r^*) bahawa yang pertama percaya tidak merah adalah:

P₁(R^*) = 7/10 = 0.7

Percaya dikembalikan ke kotak dan pengekstrakan kedua dibuat, dengan hasil yang sama:

P₂(R^*) = 7/10 = 0.7

Oleh itu, peristiwa -peristiwa yang bebas, oleh itu, kebarangkalian bahawa dalam eksperimen ini tidak ada kepercayaan yang merah adalah:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.7 = 0.49

Penyelesaian b

Kebarangkalian mendapatkan kepercayaan yang tidak merah dalam percubaan pertama adalah sama seperti dalam Bahagian A). Tetapi dalam pengekstrakan kedua, sudah ada 9 orang percaya di dalam kotak, oleh itu:

P₂(R^*) = 6/9 = 0.666 ..

Dan dalam kes ini, kebarangkalian mengekstrak percaya bahawa tidak merah adalah:

P₁(R^*) × p₂(R^*) = 0.7 × 0.666 ... = 7/15 = 0.47

Peristiwa tidak berdikari.