Musim panas teleskopik bagaimana ia diselesaikan dan diselesaikan latihan

The penjumlahan Teleskopik Ia adalah cabang operasi dengan siri berangka. Menangani ringkasan elemen dari nilai awal kepada "n" ekspresi yang argumennya disebabkan oleh mana -mana corak berikut:

(F_x - F_x+1); F_x+1  - F_x)

Di mana ungkapan ringkasannya ditakrifkan seperti berikut:

Juga:

Sumber: Pixabay.com

Mereka mewakili sejumlah elemen yang, ketika berkembang, tertakluk kepada pembatalan istilah yang bertentangan. Menyebabkan kesamaan berikut untuk penjumlahan teleskopik:

Namanya berasal dari hubungan dengan kemunculan teleskop klasik, yang boleh dilipat dan digunakan, mengubah dimensi dengan ketara. Begitu juga, penjumlahan teleskopik, yang dalam sifatnya tidak terhingga, dapat diringkaskan dalam ekspresi mudah:

F₁ - F_N+1

[TOC]

Demonstrasi

Semasa membangunkan jumlah istilah, penghapusan faktor agak jelas. Di mana bagi setiap kes, unsur -unsur yang bertentangan akan muncul dalam lelaran berikut.

Kes pertama akan diambil sebagai contoh, (f_x - F_x+1), kerana proses berfungsi homolog kepada (f_x+1-F_x).

Membangunkan 3 nilai pertama 1, 2, 3 kecenderungan penyederhanaan diperhatikan

X₁     (F₁ - F₁₊₁) = F₁ - F₂

X₂     (F₂ - F₂₊₁) = F₂ - F₃

X₃     (F₃ - F₃₊₁) = F₃ - F₄

Di mana dengan menyatakan jumlah unsur -unsur yang diterangkan:

X₁ + X₂ + X₃ = F₁ - F₂ + F₂ - F₃ + F₃ - F₄

Diperhatikan bahawa istilah f₂ dan f₃ Mereka digambarkan dengan lawan mereka, yang menjadikan penyederhanaan mereka tidak dapat dielakkan. Dengan cara yang sama diperhatikan bahawa istilah f₁ dan f₄ kekal.

Jika jumlahnya dibuat dari x = 1 hingga x = 3, ini bermakna elemen f₄ sepadan dengan istilah generik f_N+1.

Dengan itu menunjukkan kesamaan:

Bagaimana ia diselesaikan?

Tujuan penjumlahan teleskopik adalah untuk memudahkan kerja, sehingga tidak perlu untuk mengembangkan jumlah terma yang tidak terhingga, atau memudahkan beberapa rantaian yang terlalu panjang.

Boleh melayani anda: Kaedah Trachtenberg: Apa itu, Contohnya

Untuk resolusi, hanya perlu untuk menilai istilah f₁ dan f_N+1. Penggantian mudah ini membentuk hasil akhir dari jumlah.

Keseluruhan istilah tidak akan dinyatakan, menjadi perlu untuk demonstrasi hasilnya, tetapi bukan untuk proses pengiraan biasa.

Yang penting ialah melihat penumpuan siri berangka. Kadang -kadang hujah jumlah itu tidak akan dinyatakan dengan cara teleskopik. Dalam kes ini, pelaksanaan kaedah pemfaktoran alternatif sangat biasa.

Kaedah pemfaktoran ciri dalam ringkasan teleskopik ialah pecahan mudah. Ini berlaku apabila pecahan asal terurai ke dalam jumlah pecahan, di mana corak teleskopik dapat diperhatikan (f_x - F_x+1) atau (f_x+1  - F_x).

Penguraian dalam pecahan sederhana

Untuk mengesahkan penumpuan siri berangka, sangat biasa untuk mengubah ungkapan rasional dengan kaedah pecahan mudah. Matlamatnya adalah untuk memodelkan hujah sehingga bentuk penjumlahan teleskopik.

Sebagai contoh, kesamaan berikut mewakili penguraian dalam pecahan mudah:

Apabila membangunkan siri berangka dan memohon sifat -sifat yang sepadan, ungkapan mengambil seperti berikut:

Di mana bentuk teleskopik dapat dilihat (f_x - F_x+1).

Prosedur ini agak intuitif dan terdiri daripada mencari nilai pengangka yang, tanpa melanggar kesamaan, membolehkan memisahkan produk yang ada dalam penyebut. Persamaan yang timbul dalam penentuan nilai -nilai ini, dibangkitkan mengikut perbandingan antara kedua -dua belah persamaan.

Prosedur ini diperhatikan langkah demi langkah dalam pembangunan Latihan 2.

Boleh melayani anda: 6 teka -teki matematik yang menyeronokkan untuk kanak -kanak

Sejarah

Tidak pasti dapat menentukan masa bersejarah di mana penjumlahan teleskopik dibentangkan. Walau bagaimanapun, pelaksanaannya mula dilihat pada abad ketujuh belas, dalam kajian siri berangka yang dijalankan oleh Leibniz dan Huygens.

Kedua -dua ahli matematik, ketika meneroka penjumlahan nombor segi tiga, mula melihat trend dalam penumpuan siri tertentu unsur -unsur berturut -turut. Tetapi lebih menarik lagi adalah permulaan pemodelan ungkapan -ungkapan ini, dalam unsur -unsur yang tidak semestinya berlaku.

Malah, ungkapan yang sebelum ini digunakan untuk merujuk kepada pecahan mudah:

Ia disampaikan oleh Huygens dan segera memanggil perhatian Leibniz. Yang dari masa ke masa dapat memerhatikan penumpuan kepada nilai 2. Tanpa mengetahui, ia melaksanakan penjumlahan teleskopik.

Latihan

Latihan 1

Tentukan istilah yang mana jumlah berikut berkumpul:

Apabila jumlahnya dibangunkan secara manual, corak berikut diperhatikan:

(2³ - 2⁴) + (2⁴ - 2⁵) + (2⁵ - 2⁶) ... (2¹⁰ - 2^sebelas)

Di mana faktor dari 2⁴ sehingga 2¹⁰ Mereka membentangkan bahagian positif dan negatif, menjadikan pembatalan mereka jelas. Maka satu -satunya faktor yang tidak akan dipermudahkan akan menjadi yang pertama "2³"Dan yang terakhir" 2^sebelas".

Dengan cara ini, dalam melaksanakan kriteria ringkasan teleskopik, ia diperolehi:

Latihan 2

Mengubah hujah menjadi jumlah jenis teleskopik dan tentukan konvergensi siri:

Seperti yang ditunjukkan dalam kenyataan itu, perkara pertama adalah untuk mengurai dalam pecahan mudah, untuk memikirkan semula hujah dan menyatakannya dalam bentuk teleskopik.

2 pecahan yang penyebutnya masing -masing "n" dan "n+1" mesti dijumpai, di mana kaedah yang digunakan di bawah mesti mencapai nilai -nilai pengangka yang memenuhi persamaan.

Nilai a dan b ditakrifkan. Jumlah pecahan pertama dibuat.

Boleh melayani anda: 60 pembahagi

Kemudian, penyebut dipermudahkan dan persamaan linear ditubuhkan.

Dalam langkah seterusnya, ekspresi kanan dikendalikan, sehingga corak yang setanding dengan "3" di sebelah kiri.

Untuk menentukan persamaan yang akan digunakan, hasil kedua -dua belah persamaan mesti dibandingkan. Iaitu, tiada nilai n yang berubah -ubah diperhatikan di sebelah kiri, dengan cara ini A +B harus sama dengan sifar.

A + B = 0; A = -b

Sebaliknya, nilai malar harus sama dengan nilai malar 3.

A = 3

Oleh itu.

A = 3 dan b = -3

Sudah menentukan nilai pengangka untuk pecahan mudah, jumlahnya memikirkan semula.

Di mana bentuk penjumlahan teleskopik generik telah dicapai. Siri teleskopik dibangunkan.

Di mana dengan membahagikan dengan jumlah yang sangat besar, hasilnya akan semakin banyak, memerhatikan penumpuan siri ini kepada nilai 3.

Siri jenis ini tidak dapat diselesaikan dengan kata lain, kerana jumlah lelaran yang tidak terhingga yang menentukan masalahnya. Walau bagaimanapun, kaedah ini, bersama -sama dengan banyak lagi bingkai cabang pengajian siri berangka, yang objektifnya adalah untuk menentukan nilai konvergensi atau menentukan perbezaan siri ini.

Rujukan

1. Pelajaran Pengiraan Infinitesimal. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. Editum, 1994.
2. Pengiraan Komprehensif: Penggantian dan siri fungsi. Antonio Rivera Figueroa. Kumpulan Editorial Patria, 21 Okt. 2014.
3. Kursus dalam kalkulus dan analisis sebenar. Sudhir r. Ghorpade, Balmohan v. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 Jun. 2006.
4. Siri Infinite. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
5. Unsur -unsur teori perarakan tak terhingga. Lloyd Leroy Smail. Syarikat Buku McGraw-Hill, Incorpan, 1923.