Mengira teknik teknik, aplikasi, contoh, latihan

The Teknik mengira Mereka adalah satu siri kaedah kebarangkalian untuk mengira kemungkinan jumlah pengaturan dalam satu set atau beberapa set objek. Ini digunakan semasa membuat akaun secara manual menjadi rumit kerana banyak objek dan/atau pembolehubah.

Sebagai contoh, penyelesaian masalah ini sangat mudah: bayangkan bos anda meminta anda mengira produk terkini yang telah tiba pada jam terakhir. Dalam kes ini, anda boleh pergi dan mengira produk satu persatu.

Walau bagaimanapun, bayangkan masalahnya ialah: bos anda meminta anda mengira berapa banyak kumpulan 5 produk yang sama boleh dibentuk dengan mereka yang telah tiba jam terakhir. Dalam kes ini, pengiraannya rumit. Untuk jenis situasi ini, teknik pengiraan yang dipanggil digunakan.  

Teknik -teknik ini adalah beberapa, tetapi yang paling penting dibahagikan kepada dua prinsip asas, yang berbilang dan aditif; permutasi dan kombinasi.

[TOC]

Prinsip Multiplicative

Aplikasi

Prinsip berbilang, bersama -sama dengan bahan tambahan, adalah asas untuk memahami operasi teknik mengira. Dalam kes multiplikasi, ia terdiri daripada yang berikut:

Bayangkan suatu aktiviti yang melibatkan beberapa langkah tertentu (jumlah yang kita tandakan sebagai "r"), di mana langkah pertama boleh dibuat dalam bentuk n1, langkah kedua n2, dan langkah "r" bentuk nr. Dalam kes ini, aktiviti boleh dilakukan dalam bilangan bentuk yang terhasil daripada operasi ini: n1 x n2 x .. .X NR Borang

Itulah sebabnya prinsip ini dipanggil berbilang, dan menunjukkan bahawa setiap langkah yang diperlukan untuk menjalankan aktiviti itu mesti dijalankan selepas yang lain. 

Contoh

Mari kita bayangkan seseorang yang ingin membina sekolah. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bahawa pangkalan bangunan boleh dibina dalam dua cara, simen atau konkrit yang berbeza. Bagi dinding, mereka boleh menjadi adobe, simen atau bata.

Bagi bumbung, ini boleh dibina daripada simen atau lembaran tergalvani. Akhirnya, lukisan terakhir hanya dapat dilakukan dengan cara. Persoalan yang timbul adalah seperti berikut: Berapa banyak cara sekolah?

Pertama, kita menganggap bilangan langkah, yang akan menjadi pangkalan, dinding, bumbung dan lukisan. Secara keseluruhan, 4 langkah, jadi r = 4.

Boleh melayani anda: peranan peranan

Berikut adalah untuk menyenaraikan N:

N1 = cara membina asas = 2

N2 = cara untuk membina dinding = 3

N3 = cara untuk melakukan bumbung = 2

N4 = cara untuk melakukan cat = 1

Oleh itu, bilangan cara yang mungkin akan dikira oleh formula yang diterangkan di atas:

N1 x n2 x n3 x n4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 cara untuk melaksanakan sekolah.

Prinsip tambahan

Aplikasi

Prinsip ini sangat mudah, dan ia adalah, dalam hal beberapa alternatif untuk menjalankan aktiviti yang sama, cara yang mungkin terdiri daripada jumlah cara yang berbeza untuk melaksanakan semua alternatif.

Dalam erti kata lain, jika kita mahu menjalankan aktiviti dengan tiga alternatif, di mana alternatif pertama boleh dilakukan dalam bentuk m, kedua bentuk n dan bentuk terakhir W, aktiviti boleh dilakukan: m + n + … + Bentuk w.

Contoh

Bayangkan kali ini seseorang yang ingin membeli raket tenis. Untuk melakukan ini, anda mempunyai tiga jenama untuk dipilih: Wilson, Babolat atau kepala.

Semasa dia pergi ke kedai, dia melihat bahawa raket Wilson boleh dibeli dengan mengendalikan dua saiz yang berbeza, L2 atau L3 dalam empat model yang berbeza dan boleh terikat atau tanpa menyulam.

Raket Babolat, sebaliknya, mempunyai tiga mangga (L1, L2 dan L3), terdapat dua model yang berbeza dan juga boleh terikat atau tanpa menyulam.

Sementara itu, raket kepala hanya dengan mangga, l2, dalam dua model yang berbeza dan hanya tanpa menyulam. Persoalannya ialah: Berapa banyak cara orang ini perlu membeli raket mereka?

M = bilangan cara untuk memilih raket Wilson

N = bilangan cara untuk memilih raket babolat

W = bilangan cara untuk memilih rak kepala

Kami melaksanakan prinsip pengganda:

M = 2 x 4 x 2 = 16 borang

N = 3 x 2 x 2 = 12 borang

W = 1 x 2 x 1 = 2 borang

 M + n + w = ​​16 + 12 + 2 = 30 cara untuk memilih raket.

Untuk mengetahui bila prinsip berbilang dan aditif mesti.

Permutasi

Aplikasi

Untuk memahami apa permutasi, penting untuk menjelaskan gabungan apa yang dapat membezakannya dan mengetahui bila menggunakannya.

Gabungan akan menjadi susunan unsur -unsur di mana kita tidak berminat dengan kedudukan yang masing -masing menduduki.

Sebaliknya, permutasi akan menjadi susunan unsur -unsur di mana kita berminat dengan kedudukan yang masing -masing menduduki.

Boleh melayani anda: 7 petunjuk pertumbuhan ekonomi dan ciri -cirinya

Mari memberi contoh untuk lebih memahami perbezaannya.

Contoh

Bayangkan kelas dengan 35 pelajar, dan dengan situasi berikut:

1. Guru mahu tiga pelajarnya membantunya menjaga kelas membersihkan atau menyampaikan bahan kepada pelajar lain ketika dia memerlukannya.
2. Guru ingin melantik perwakilan kelas (presiden, pembantu dan kewangan).

Penyelesaiannya adalah seperti berikut:

1. Bayangkan dengan undi Juan, María dan Lucía dipilih untuk membersihkan kelas atau menyampaikan bahan. Jelas, kumpulan lain dari tiga orang boleh dibentuk, antara 35 orang pelajar yang mungkin.

Kita mesti bertanya kepada diri sendiri yang berikut: Adakah perintah atau kedudukan yang diduduki oleh setiap pelajar yang penting ketika memilihnya?

Sekiranya kita memikirkannya, kita melihat bahawa ia benar -benar tidak penting, kerana kumpulan itu akan menjaga kedua -dua kerja sama. Dalam kes ini, ia adalah gabungan, kerana kita tidak berminat dengan kedudukan unsur -unsur.

2. Sekarang mari kita bayangkan Juan dipilih sebagai presiden, Maria sebagai pembantu dan Lucia sebagai kewangan.

Dalam kes ini, adakah perkara itu penting? Jawapannya adalah ya, kerana jika kita menukar unsur -unsur, tukar hasilnya. Iaitu, jika bukannya meletakkan Juan sebagai presiden, kami meletakkannya sebagai pembantu, dan Maria sebagai presiden, hasil akhir akan berubah. Dalam kes ini ia adalah permutasi.

Setelah perbezaannya difahami, kita akan memperoleh formula permutasi dan kombinasi. Walau bagaimanapun, sebelum anda perlu menentukan istilah "n!"(Ene factorial), kerana ia akan digunakan dalam formula yang berbeza.

n!= kepada produk dari 1 hingga n.

n!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Menggunakannya dengan nombor sebenar:

10!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5!= 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Formula permutasi akan menjadi seperti berikut:

Npr = n!/(N-r)!

Dengan itu kita dapat mengetahui pengaturan di mana pesanan adalah penting, dan di mana unsur -unsur berbeza.

Kombinasi

Aplikasi

Seperti yang telah kita sebutkan di atas, kombinasi adalah pengaturan di mana kita tidak peduli dengan kedudukan unsur -unsur.

Formulanya adalah seperti berikut:

Ncr = n!/(N-r)!r!

Contoh

Sekiranya terdapat 14 pelajar yang ingin menjadi sukarelawan untuk membersihkan bilik darjah, berapa banyak kumpulan pembersih dapat dibentuk jika setiap kumpulan mestilah 5 orang?

Oleh itu, penyelesaiannya akan menjadi seperti berikut:

N = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/ 9!5!= 2002 kumpulan

Boleh melayani anda: Bangunan atau Akaun Bangunan: Apa, Contohnya

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Sumber: Pixabay.com

Natalia ditugaskan oleh ibunya untuk pergi ke kedai makanan dan membeli soda untuk menyejukkan. Ketika Natalia meminta minum yang bergantung, dia memberitahunya bahawa terdapat empat perisa soda, tiga jenis dan tiga saiz.

Rasa minuman ringan boleh: ekor, lemon, oren dan pudina.

Jenis minuman ringan ekor boleh: normal, tanpa gula, tanpa kafein.

Saiznya boleh: kecil, sederhana dan besar.

Ibu Natalia tidak menentukan jenis soda yang dikehendaki berapa banyak cara Natalia harus membeli minuman itu?

Penyelesaian

M = saiz dan nombor jenis yang boleh anda pilih semasa memilih soda ekor.

N = saiz dan jenis nombor yang boleh anda pilih semasa memilih soda lemon.

W = saiz dan nombor jenis yang boleh anda pilih semasa memilih soda oren.

Y = saiz dan nombor jenis yang boleh anda pilih semasa memilih soda pudina.

Kami melaksanakan prinsip pengganda:

M = 3 × 3 = 9 Borang

N = 3 × 3 = 9 Borang

W = 3 × 3 = 9 Borang

Y = 3 × 3 = 9 Borang

 M + n + w + y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 cara untuk memilih soda.

Latihan 2

Sumber: Pixabay.com

Kelab sukan mengumumkan bengkel akses percuma supaya kanak -kanak belajar meluncur. 20 kanak -kanak didaftarkan, jadi dua kumpulan sepuluh orang memutuskan untuk membahagikan supaya pengajar dapat memberikan kelas lebih selesa.

Sebaliknya, mereka memutuskan untuk mengatasi kumpulan mana setiap kanak -kanak akan jatuh. Dalam berapa banyak kumpulan yang boleh dimasukkan oleh anak.

Penyelesaian

Dalam kes ini, cara untuk mencari jawapan adalah melalui teknik gabungan, yang formulanya adalah: ncr = n!/(N-r)!r!

n = 20 (bilangan kanak -kanak)

  R = 10 (saiz kumpulan)

20C10 = 20! / (20 - 10)!10! = 20! / 10!10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10!/ 10!10!= 184.756 kumpulan.

Rujukan

1. Jeffrey, r.C., Kebarangkalian dan seni penghakiman, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Pengenalan kepada teori kebarangkalian dan aplikasinya", (Vol 1), ed 3, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno DE (1970). "Asas Logik dan Pengukuran Kebarangkalian Subjektif". Tindakan psikologi.
4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Pengenalan kepada Statistik Matematik (Edisi ke -6.). Sungai Saddle Atas: Pearson.
5. Franklin, j. (2001) Sains Sangkaan: Bukti dan Kebarangkalian Sebelum Pascal,Johns Hopkins University Press.