Teorem kewujudan dan demonstrasi keunikan, contoh dan latihan

Dia Teorem kewujudan dan keunikan menetapkan syarat yang diperlukan dan mencukupi untuk persamaan pembezaan pertama, dengan keadaan awal yang diberikan, mempunyai penyelesaian dan penyelesaian ini juga satu -satunya. 

Walau bagaimanapun, teorem tidak memberikan sebarang teknik atau petunjuk bagaimana mencari penyelesaian sedemikian. Teorem kewujudan dan keunikan juga meluas kepada persamaan pembezaan urutan yang lebih tinggi dengan keadaan awal, yang dikenali sebagai masalah cauchy.

Rajah 1. Persamaan pembezaan dengan keadaan awal dan penyelesaiannya ditunjukkan. Teorem kewujudan dan keunikan menjamin bahawa ia adalah satu -satunya penyelesaian yang mungkin.

Kenyataan rasmi tentang kewujudan dan keunikan teorem adalah seperti berikut:

"Untuk persamaan pembezaan dan '(x) = f (x, y) dengan keadaan awal dan (a) = b,  ada sekurang -kurangnya satu penyelesaian di kawasan segi empat tepat pesawat Xy mengandungi titik (A, b), Yeah f (x, y) Ia berterusan di rantau itu. Dan jika terbitan separa F berkenaan dengan dan: G = ∂f/ ∂y Ia berterusan di kawasan segi empat tepat yang sama, jadi penyelesaiannya unik dalam persekitaran titik (A, b) kandungan di rantau kesinambungan F dan g."

Kegunaan teorem ini terletak terlebih dahulu untuk mengetahui apa kawasan pesawat XY di mana terdapat penyelesaian dan juga tahu jika penyelesaian yang dijumpai adalah satu -satunya yang mungkin atau jika ada orang lain. 

Perhatikan bahawa sekiranya keadaan unik.

[TOC]

Demonstrasi kewujudan dan keunikan teorem

Rajah 2. Kepada Charles Émile Picard (1856-1941) salah satu demonstrasi pertama tentang kewujudan dan keunikan teorem diakreditasi. Sumber: Wikimedia Commons.

Untuk teorem ini, dua demonstrasi yang mungkin diketahui, salah seorang daripada mereka adalah demonstrasi Charles Émile Picard (1856-1941) dan yang lain adalah disebabkan oleh Giuseppe Peano (1858-1932) berdasarkan karya-karya Augustin Louis Cauchy (1789-1857 ).

Boleh melayani anda: vektor serentak: ciri, contoh dan latihan

Harus diingat bahawa minda matematik yang paling terang pada abad kesembilan belas mengambil bahagian dalam demonstrasi teorem ini, sehingga dapat menjadi intuit yang tidak mudah.

Untuk secara rasmi menunjukkan teorem, perlu terlebih dahulu menubuhkan satu siri konsep matematik yang lebih maju, seperti fungsi jenis Lipschitz, ruang Banach, Caratheodory dan beberapa lagi Teorem kewujudan, yang melarikan diri dari tujuan artikel tersebut.

Sebilangan besar persamaan pembezaan yang ditangani dalam fizik berurusan dengan fungsi yang berterusan di kawasan yang menarik, oleh itu kita akan mengehadkan diri kita untuk menunjukkan cara di mana teorem digunakan dalam persamaan mudah.

Contoh

- Contoh 1

Pertimbangkan persamaan pembezaan berikut dengan keadaan awal:

dan '(x) = - y; dengan dan (1) = 3

Adakah terdapat penyelesaian untuk masalah ini? Adakah satu -satunya penyelesaian yang mungkin?

Jawapan

Pertama, kewujudan penyelesaian persamaan pembezaan dinilai dan ia juga memenuhi keadaan awal. 

Dalam contoh ini f (x, y) = - y Keadaan kewujudan memerlukan mengetahui sama ada  f (x, y) Ia berterusan di kawasan kapal terbang Xy mengandungi titik koordinat x = 1, y = 3.

Tetapi f (x, y) = -y Ia adalah fungsi berkaitan, yang berterusan dalam domain nombor sebenar dan wujud dalam keseluruhan julat nombor sebenar.

Oleh itu disimpulkan bahawa f (x, y) berterusan dalam r², Oleh itu, teorem menjamin kewujudan sekurang -kurangnya satu penyelesaian.

Mengetahui ini, sudah tiba masanya untuk menilai sama ada penyelesaiannya unik atau jika sebaliknya terdapat lebih daripada satu. Untuk ini adalah perlu untuk mengira derivatif separa F Mengenai pemboleh ubah dan:

∂f/∂y = ∂ (-y)/∂y = -1

Jadi G (x, y) = -1 yang merupakan fungsi yang berterusan, yang juga ditakrifkan untuk semua r² Dan ia juga berterusan di sana. Ini berikutan bahawa teorem kewujudan dan keunikan menjamin bahawa masalah nilai awal ini mempunyai penyelesaian yang unik, walaupun tidak memberitahu kita apa itu.

Boleh melayani anda: cembung poligon: definisi, elemen, sifat, contoh

- Contoh 2

Pertimbangkan persamaan pembezaan biasa pertama yang berikut dengan keadaan awal:

dan '(x) = 2√y; dan (0) = 0.

Adakah terdapat penyelesaian dan (x) untuk masalah ini? Jika ya, tentukan sama ada terdapat satu atau lebih daripada satu.

Jawapan

Kami menganggap fungsi tersebut f (x, y) = 2√y. Fungsinya F hanya ditakrifkan untuk y≥0, Nah, kita tahu bahawa bilangan negatif tidak mempunyai akar sebenar. Selain f (x, y) Ia berterusan di semiplane atas r²  termasuk paksi x, begitu juga Teorem kewujudan dan keunikan menjamin Sekurang -kurangnya satu penyelesaian di rantau itu.

Sekarang, keadaan awal x = 0, y = 0 berada di pinggir kawasan penyelesaian. Kemudian kita mengambil derivatif separa f (x, y) berkenaan dengan y:

∂f/∂y = 1/√y

Dalam hal ini fungsi tidak ditakrifkan untuk y = 0, tepat di mana keadaan awal adalah.

Apa yang memberitahu kita teorem? Ia memberitahu kita bahawa walaupun kita tahu bahawa terdapat sekurang -kurangnya satu penyelesaian semiplane atas paksi x termasuk paksi x, kerana keadaan keunikan tidak dipenuhi, tidak ada jaminan bahawa ada satu penyelesaian.

Ini bermakna terdapat satu atau lebih penyelesaian di rantau kesinambungan F (x, y). Dan seperti biasa, teorem tidak memberitahu kita apa yang boleh.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Selesaikan masalah Cauchy Contoh 1:

dan '(x) = - y; dengan dan (1) = 3. 

Cari fungsi y (x) yang memenuhi persamaan pembezaan dan keadaan awal.

Penyelesaian

Dalam Contoh 1 ia ditentukan bahawa masalah ini mempunyai penyelesaian dan juga unik. Untuk mencari penyelesaian, perkara pertama yang harus diperhatikan ialah ia adalah persamaan pembezaan pertama pembolehubah yang boleh dipisahkan, yang ditulis seperti berikut:

Boleh melayani anda: pekali variasi: Apa itu, pengiraan, contoh, latihan

dy /dx = - dan → dy = -y dx

Membahagikan antara dan dalam kedua -dua ahli untuk memisahkan pembolehubah yang kita ada:

dy/y = - dx

Integral tidak terbatas dalam kedua -dua ahli digunakan:

∫ (1/y) dy = - ∫dx

Menyelesaikan integral yang tidak terbatas ialah:

ln (y) = -x + c

Di mana C adalah pemalar integrasi yang ditentukan oleh keadaan awal:

Ln (3) = -1 + c, iaitu c = 1 + ln (3)

Menggantikan nilai C dan penyusunan semula adalah:

ln (y) - ln (3) = -x + 1

Memohon harta logaritma berikut:

Perbezaan logaritma adalah logaritma kuota

Ekspresi sebelumnya boleh ditulis semula seperti ini:

ln (y/3) = 1 - x

Fungsi eksponen digunakan dengan kedua -dua ahli untuk mendapatkan:

Y / 3 = e^{(1 - x)}

Yang bersamaan dengan:

 y = 3e e^-x

Ini adalah penyelesaian unik persamaan dan '= -y dengan y (1) = 3. Graf penyelesaian ini ditunjukkan dalam Rajah 1.

- Latihan 2

Cari dua penyelesaian kepada masalah yang dibangkitkan dalam Contoh 2:

dan '(x) = 2√ (y); dan (0) = 0.

Penyelesaian

Ia juga merupakan persamaan pembolehubah berasingan, yang ditulis secara berbeza tetap:

Dy / √ (y) = 2 dx

Mengambil integral yang tidak terbatas dalam kedua -dua ahli masih kekal:

2 √ (y) = 2 x + c

Seperti yang diketahui bahawa y≥0 Di rantau penyelesaian kita ada:

y = (x + c)² 

Tetapi sebagai keadaan awal x = 0, y = 0 mesti dipenuhi, maka pemalar c adalah sifar dan penyelesaian berikut tetap:

dan (x) = x².

Tetapi penyelesaian ini tidak unik, fungsi y (x) = 0 juga merupakan penyelesaian masalah yang dibangkitkan. Teorem kewujudan dan keunikan yang digunakan untuk masalah ini dalam Contoh 2 telah meramalkan bahawa terdapat lebih dari satu penyelesaian.

Rujukan

1. Coddington, Earl a.; Levinson, Norman (1955), Teori Persamaan Pembezaan Biasa, New York: McGraw-Hill.
2. Ensiklopedia Matematik. Teorem Cauchy-Lipschitz. Pulih dari: EncyclopediaofMath.org
3. Lindelöf, Selatan L'a A Application of Methode des A Campuran Penggantian Aux équations Différentielles Ordinaires du Premier Ordre; COMPTTES RENDUS HEBDOMADES DES Séances de L'Anc Acadequie des Sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454-457. Pulih dari: Gallic.Bnf.fr.
4. Wikipedia. Kaedah pendekatan berturut -turut Picard. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.com
5. Wikipedia. Teorem Picard-Lindelöf. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.com.
6. Zill, d.1986. Persamaan pembezaan asas dengan aplikasi.Prentice Hall.