The notasi faktorial Ia digunakan untuk mengira produk yang pertama n Nombor semula jadi, iaitu, bilangan bulat positif, bermula dari 1 hingga nilai n. Ia dilambangkan dengan tanda kekaguman dan dipanggil n Faktorial:

n! = 1 ⋅2 ⋅3 .. . (N-1) ⋅n

Mengira faktorial nombor adalah mudah, sebagai contoh, produk dari enam nombor semula jadi yang pertama dinyatakan oleh:

6! = 1 ⋅ 23 344 ⋅ 5 = 720

Rajah 1. Notasi faktorial boleh ditulis padat oleh simbol produk dari k = 1 hingga n. Sumber: f. Zapata.

Faktor muncul mengenai isu -isu seperti teori binomial dan gabungan Newton yang sering digunakan dalam pengiraan kebarangkalian. Dalam hal ini, panggilan sering muncul Nombor gabungan yang boleh dinyatakan sebagai faktorial.

Notasi n! Ia adalah penciptaan doktor Perancis dan matematik. Secara bebas, faktorial juga ditemui oleh ahli matematik Perancis yang lain: Louis Arbogast (1759-1803), Kramp Kontemporari.

Seperti penjimatan, ada cara untuk menyatakan produk nombor semulajadi N yang pertama dengan cara ringkasan:

 Simbol yang serupa dengan huruf modal "pi" yang muncul dalam ungkapan, dipanggil "menghasilkan" atau "pendaraban".

Sifat notasi faktorial

Biarkan M dan N dua bilangan bulat positif, ia dipenuhi bahawa:

1. Dengan kemudahan ia dipersetujui untuk menentukan 0! Sama dengan 1, iaitu: 0! = 1.
2. Nilai 1! = 1
3. Ya! = b!, Ini bermaksud bahawa a = b, dengan syarat bahawa a ⋅ b ≠ 0. Pengecualian adalah nilai 0 dan 1, sejak 1! = 1 = 0!, Seperti yang dinyatakan, tetapi jelas bahawa 1 ≠ 0.
4. Ya m < n, entonces m! < n! dan oleh itu m! Ia terkandung dalam n!:
   n! = 1 ⋅ 2 3 3 4 ... (m -1) ⋅ m ... n
5. Untuk n lebih besar daripada atau sama dengan 2 anda perlu:
   n! = N ⋅ (n-1)!
   Kerana mengikut definisi:
   n! = [1 ⋅ 23 3 ⋅ 4 5 .. . (N-1)] ⋅N
   Ungkapan yang terkandung dalam kurungan persegi adalah tepat (n-1)!
6. N ⋅N! = (n+1)! - n!
   Sesungguhnya, meningkatkan operasi sebelah kanan persamaan:
   (N+1)! - n! =] . n] =
   = [1 ⋅ 23 3 4 ⋅ 5 .. . N] ⋅ [(n+1) - 1] = [1 ⋅223 4 ⋅5 .. . n] ⋅ n = n! ⋅ n

Boleh melayani anda: Radio konvergensi: definisi, contoh dan latihan yang diselesaikan

Factorial, Semi-Data atau Quasi-Facorial dari nombor

Separa -jantif separuh daripada nombor semulajadi bergantung kepada sama ada ia sama atau ganjil. Dalam notasi, tanda ganda kekaguman atau faktorial berganda digunakan dan ditakrifkan oleh peraturan berikut:

-Sekiranya n adalah:

n!! = 2 ⋅ 466 ⋅8 ... n

-Sekiranya N adalah ganjil:

n!! = 1 ⋅3 ⋅ 5 7 ... n

Formula untuk separuh faktor

Formula berikut membantu mengira separuh faktor dengan lebih mudah, terutamanya apabila ia datang kepada jumlah yang besar.

Berikut ini diperhatikan untuk kes bahawa n adalah:

n!! = (2 ⋅1) ⋅ (2 ⋅2) ⋅ (2 ⋅3) ⋅ (2 ⋅4) ... 2 ⋅ (n/2) = (2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅2....) ⋅ [1 ⋅2 ⋅ 3 ⋅4 ... (n/2)] =

= 2^(N/2) . (N/2)!

Dan jika n adalah ganjil, maka:

n!! = 1 ⋅3 ⋅ 5 7 ... n

Mengalikan dan membahagikan pada masa yang sama dengan [2 . 4 . 6 ... (n - 1)], ungkapan tetap:

n!! = [1Mero

Tetapi jumlah antara kunci adalah:

1 ⋅ 23 34 45 566 .. . (N -1) ⋅N

Dan ini n!, Seperti yang dilihat di atas, maka, apabila menggantikan:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6 ... (n -1)]

Apa yang ada di persegi ditulis semula seperti ini:

[2 ⋅ 4 ⋅ 6 ... (n -1)] = 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Oleh itu:

n!! = n! ÷ [2 ⋅ 4 ⋅ 6 ... (n -1)] = n! ÷ 2^[(N-1)/2] ⋅ [(n-1)/2)]!

Contoh

Ciri -ciri di atas digunakan untuk memudahkan ungkapan yang mengandungi faktorial, dengan mengambil kira bahawa, secara umum, ungkapan berikut tidak setara:

1. (m ± n)! ≠ m! ± n!
2. (m x n)! ≠ m! x n!
3. (m ÷ n)! ≠ m! ÷ n!
4. (mⁿ)! ≠ (m!)ⁿ
5. (m!)! ≠ m!!

Contoh 1

Apabila secara langsung mengira faktorial ini:

hingga 5!

Ia boleh melayani anda: kebarangkalian kekerapan: konsep, bagaimana ia dikira dan contohnya

b) 8!

c) 4!!

d) 11!!

e) 14!!

f) (2n+1)!!

Nilai diperoleh:

hingga 5! = 5 . 4. 3. 2. 1 = 120

b) 8! = 8 . 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40320

c) 4!! = 2 ⋅4 = 8

d) 11!! = 11 ⋅ 9 ⋅7 ⋅ 5 3 3 ⋅1 = 10395

e) 14!! = 14 ⋅1210101088864 4 = 645120

f) (2n+1)!! = 1 ⋅3 ⋅ 5 7 ... (2n-3) ⋅ (2n-1) ⋅ (2n+1)

Keputusan a) sehingga e) juga boleh disokong dengan kalkulator. Kalkulator saintifik mempunyai fungsi untuk mengira nilai x secara langsung!.

Seperti yang dapat dilihat, hasil faktorial, kecuali dengan bilangan kecil, adalah nilai yang tumbuh dengan cepat.

Contoh 2

Ekspresi pecahan berikut boleh dipermudahkan apabila menggunakan sifat:

Latihan yang diselesaikan

Latihan diselesaikan 1

Semak, menggunakan formula kilang bersama, keputusan ini diperolehi sebelum ini:

a) 11!! = 10395

b) 14!! = 645120

Penyelesaian kepada

Oleh kerana 11 adalah ganjil, nilai -nilai digantikan dengan teliti dalam formula yang sesuai:

n!! = n! ÷ 2^[(N-1)/2] . [(N-1)/2)]!

Dan hasilnya dipermudahkan oleh sifat -sifat faktorial:

sebelas!! = 11! ÷ 2^[(11-1)/2] . [(11-1)/2)]! = 11! ÷ 2^[(10)/2] . [(10)/2)]! = 11! ÷ 2⁵ . 5! = (11 . 10. 9. 8. 7. 6. 5!) ÷ [(32). 5!] = (111010 ⋅9 ⋅ 8 ⋅7 ⋅6) ÷ 32 = 10395

Seperti yang dijangkakan, hasil yang sama diperolehi dengan mengira 11!! Secara langsung, menggunakan formula adalah berfaedah untuk nilai N yang besar, kerana ia membolehkan untuk menyatakan faktorial ganda sebagai hasil daripada dua faktor.

Penyelesaian b

Dengan menggunakan formula separa kilang untuk n tar, dan menggantikan nilai, berikut diperoleh:

14!!= 2^(14/2) ⋅ (14/2)! = 2⁷ ⋅ 7! = 128 × 5040 = 645120

Latihan diselesaikan 2

Tulis operasi berikut sebagai petikan faktorial:

a) 7 ⋅6 ⋅ 5 ⋅4 ⋅3

b) n (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3)

c) (n-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9)

Penyelesaian kepada

7 ⋅6 ⋅ 5 443 = 7! / 2!

Penyelesaian b

N ⋅ (n-1) ⋅ (n-2) ⋅ (n-3) = n! / (N - 4)!

Penyelesaian c

(N-1) ⋅ (n-2) .. .(N-9) = (n-1)! / (N-10)!

Latihan diselesaikan 3

Terdapat 4 dataran warna: biru, oren, ungu dan hijau, dan anda ingin mencari satu sama lain di atas meja. Berapa banyak cara yang boleh diletakkan?

Boleh melayani anda: Fungsi berterusan: Ciri, contoh, latihan Rajah 2. Berapa banyak kombinasi yang boleh dibuat dengan menyelaraskan empat kotak warna?. Hasilnya boleh dinyatakan sebagai nombor nombor faktorial: f. Zapata.

Penyelesaian

Terdapat beberapa cara untuk melupuskan dataran, contohnya menetapkan warna terlebih dahulu. Berikut adalah beberapa pilihan:

-Biru, oren, ungu dan hijau

-Biru, Hijau, Jeruk dan Violet

-Biru, ungu, hijau dan oren

Dan sebagainya. Pembaca dapat mengesahkan bahawa terdapat 6 kombinasi dataran yang bermula dengan biru.

Perhatikan bahawa apabila anda menetapkan warna sebagai pilihan pertama, anda boleh menetapkan 3 warna yang lain. Setelah yang kedua ditetapkan, ada 2 untuk dipilih, dan setelah warna ini dipilih, hanya 1 warna tetap.

Ini boleh dinyatakan dengan produk: 4 ⋅3 ⋅ 221, yang merupakan faktorial 4!:

4! = 4 ⋅3 ⋅ ⋅1 = 24

Disimpulkan bahawa secara keseluruhan, terdapat 24 gabungan yang mungkin.

Dengan cara ini, ia dipanggil permutasi, di mana urutan di mana unsur -unsur diletakkan.

Latihan diselesaikan 4

Selesaikan persamaan berikut:

a) (x² + x)! = 720

Penyelesaian kepada

Pada mulanya dilihat bahawa 6! = 720, oleh itu:

(x² + x)! = 6!

Kemudian, jumlah antara kurungan mestilah 6:

x² + x = 6

Ini adalah persamaan darjah kedua dalam x:

x² + x - 6 = 0

Persamaan ini dapat diselesaikan menggunakan formula umum atau oleh pemfaktoran trinomial.

Menggunakan kaedah terakhir ini, trinomial dipalsukan seperti berikut:

x² + x - 6 = (x+3) ⋅ (x -2) = 0

Penyelesaian persamaan adalah x₁ = -3 dan x₂ = 2

Penyelesaian b

Kedua -dua pengangka dan penyebutnya adalah faktor, dengan tujuan untuk memudahkan yang paling banyak lagi. Untuk memulakan, dalam penyebut anda boleh menjadi faktor (x+7)!

Dengan ini adalah mungkin untuk membatalkan istilah (x+7)!, Menginap:

Sebagai (x+9)! = (x+9) ⋅ (x+8)! Penyebut boleh dibatalkan dan kekal:

(x+8)! = 14!

Harta 3 adalah persamaan yang mudah:

x+8 = 14

x = 6

Rujukan

1. Hoffman, J.G. Pemilihan masalah matematik. Ed. Spphinx.
2. Lipschutz, s. 2007. Matematik diskret. Siri Schaum. Ke -3. Edisi. McGraw Hill.
3. Matematik menyeronokkan. Fungsi faktorial. Pulih dari: Mathisfun.com.
4. Smartick. Faktorial Apa yang kita gunakan untuknya?. Pulih dari: Smartick.adalah.
5. Stewart, J. 2006. Preccculment: Matematik untuk Pengiraan. 5th. Edisi. Pembelajaran Cengage.