Konsep pengedaran binomial, persamaan, ciri, contoh

The Pengagihan binomial Ini adalah pengagihan kebarangkalian di mana kebarangkalian kejadian kejadian dikira, dengan syarat ia berlaku di bawah dua modaliti: kejayaan atau kegagalan.

Denominasi (kejayaan atau kegagalan) ini benar -benar sewenang -wenangnya, kerana mereka tidak semestinya bermaksud perkara baik atau buruk. Semasa artikel ini kita akan menunjukkan bentuk matematik pengedaran binomial dan kemudian makna setiap istilah akan dijelaskan secara terperinci.

Rajah 1. Pelancaran dadu adalah fenomena yang boleh dimodelkan oleh pengedaran binomial. Sumber: Pixabay.

[TOC]

Persamaan

 Persamaan adalah seperti berikut:

Dengan x = 0, 1, 2, 3 .. .n, di mana:

- P (x) Adakah kebarangkalian mempunyai tepat x kejayaan antara n percubaan atau percubaan.

- x Ia adalah pemboleh ubah yang menggambarkan fenomena kepentingan, sepadan dengan bilangan kejayaan.

- n Bilangan percubaan

- p Ini adalah kebarangkalian kejayaan dalam 1 percubaan

- q Oleh itu, kebarangkalian kegagalan dalam 1 percubaan Q = 1 - P

Simbol kekaguman "!"Ia digunakan untuk notasi faktorial, supaya:

0! = 1

1! = 1

2! = 2.1 = 2

3! = 3.2.1 = 6

4! = 4.3.2.1 = 24

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Dan sebagainya.

Konsep

Pengagihan binomial sangat sesuai untuk menggambarkan situasi di mana peristiwa berlaku atau tidak berlaku. Sekiranya ia berlaku, ia berjaya dan jika tidak, maka itu adalah kegagalan. Di samping itu, kebarangkalian kejayaan mesti sentiasa berterusan.

Terdapat fenomena yang sesuai dengan syarat -syarat ini, contohnya pelancaran mata wang. Dalam kes ini, kita boleh mengatakan bahawa "kejayaan" adalah untuk mendapatkan wajah. Kebarangkalian ½ dan tidak berubah, tidak kira berapa kali mata wang dilancarkan.

Pelancaran dadu yang jujur ​​adalah satu lagi contoh yang baik, serta mengkategorikan dalam kepingan yang baik dan kepingan yang cacat pengeluaran tertentu dan mendapatkan merah dan bukannya hitam.

Boleh melayani anda: Sistem Persamaan: Kaedah Penyelesaian, Contoh, Latihan

Ciri -ciri

Kita dapat meringkaskan ciri -ciri pengedaran binomial seperti berikut:

- Sebarang peristiwa atau pemerhatian, diekstrak dari populasi yang tidak terhingga tanpa penggantian atau populasi terhingga dengan penggantian.

- Hanya dua pilihan yang dipertimbangkan, saling eksklusif: kejayaan atau kegagalan, seperti yang dijelaskan pada awalnya.

- Kebarangkalian kejayaan mestilah berterusan dalam sebarang pemerhatian yang dibuat.

- Hasil dari mana -mana peristiwa adalah bebas daripada sebarang acara lain.

- Purata pengedaran binomial adalah n.p

- Sisihan piawai adalah:

Contoh sebelumnya memenuhi syarat -syarat ini, walaupun terdapat sekatan tertentu untuk memohon.

Contoh permohonan

Mari Ambil Acara Mudah, yang boleh mendapatkan 2 Faces 5 dengan melancarkan dadu yang jujur ​​3 kali. Apakah kebarangkalian yang dalam 3 melancarkan 2 muka 5 diperoleh?

Terdapat beberapa cara untuk mencapainya, contohnya:

- Dua siaran pertama adalah 5 dan yang terakhir tidak.

- Yang pertama dan yang terakhir adalah 5 tetapi bukan dari medium.

- Dua pelancaran terakhir adalah 5 dan yang pertama tidak.

Ambil sebagai contoh urutan pertama yang diterangkan dan dikira kebarangkalian kejadiannya. Kebarangkalian mendapatkan wajah 5 dalam pelancaran pertama adalah 1/6, dan juga pada yang kedua, kerana mereka adalah acara bebas.

Kebarangkalian mendapatkan wajah lain 5 pada pelancaran terakhir ialah 1 - 1/6 = 5/6. Oleh itu kebarangkalian bahawa urutan ini akan keluar, adalah hasil kebarangkalian:

(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023

Bagaimana dengan dua urutan yang lain? Mereka mempunyai kebarangkalian yang sama: 0.023.

Dan kerana kita mempunyai sejumlah 3 urutan yang berjaya, kebarangkalian keseluruhannya:

P (2 muka 5 dalam 3 pelancaran) = bilangan urutan yang mungkin x kebarangkalian urutan tertentu = 3 x 0.023 = 0.069.

Sekarang mari kita cuba binomial, di mana ia selesai:

Boleh melayani anda: kotak mackinder

x = 2 (Dapatkan 2 sisi 5 dalam 3 pelancaran adalah kejayaan)

n = 3

P = 1/6

Q = 5/6

Latihan yang diselesaikan

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan latihan pengedaran binomial. Seperti yang telah kita lihat, yang paling mudah dapat diselesaikan menceritakan berapa banyak kejayaan yang berjaya wujud dan kemudian mengalikan dengan kebarangkalian masing -masing.

Walau bagaimanapun, apabila terdapat banyak pilihan, angka menjadi lebih besar dan lebih baik menggunakan formula.

Dan jika bilangannya lebih tinggi, ada anak lelaki dari pengedaran binomial. Walau bagaimanapun, pada masa ini, mereka telah menjadi usang memihak kepada pelbagai jenis kalkulator yang memudahkan pengiraan.

Latihan 1

Pasangan mempunyai anak dengan kebarangkalian 0.25 untuk mempunyai darah jenis atau. Pasangan ini mempunyai 5 orang anak. Balas: a) Adakah keadaan ini sesuai dengan taburan binomial?, b) Apakah kebarangkalian bahawa betul -betul 2 daripadanya adalah jenis atau?

Penyelesaian

a) Pengagihan binomial diselaraskan, kerana ia memenuhi syarat -syarat yang ditetapkan di bahagian sebelumnya. Terdapat dua pilihan: mempunyai jenis atau "kejayaan" darah, sementara tidak mempunyai "kegagalan", dan semua pemerhatian adalah bebas.

b) Anda mempunyai taburan binomial:

Di mana nilai berikut diganti:

x = 2 (Dapatkan 2 kanak -kanak dengan darah jenis O)

n = 5

P = 0.25

Q = 0.75

= 0.2637

Contoh 2

Sebuah universiti menyatakan bahawa 80% pelajar milik lulusan pasukan bola keranjang universiti. Siasatan mengkaji rekod akademik 20 pelajar yang dimiliki oleh pasukan bola keranjang yang mendaftar di universiti dahulu.

Dari 20 pelajar ini, 11 menamatkan perlumbaan dan 9 meninggalkan kajian.

Rajah 2. Hampir semua pelajar yang bermain untuk pasukan universiti berjaya lulus. Sumber: Pixabay.

Sekiranya kenyataan universiti itu benar, bilangan pelajar yang bermain bola keranjang dan yang berjaya menamatkan pengajian, antara 20, harus mempunyai pengedaran binomial dengan N = 20 dan P = 0.8. Apakah kebarangkalian yang betul -betul 11 ​​dari 20 pemain lulus?

Boleh melayani anda: sudut dalam lilitan: jenis, sifat, latihan yang diselesaikan

Penyelesaian

Dalam taburan binomial:

Nilai berikut mesti diganti:

x = 11

N = 20

P = 0.8

Q = 0.2

= 0.00739

Contoh 3

Para penyelidik menjalankan kajian untuk menentukan sama ada terdapat perbezaan yang signifikan dalam kadar tamat pengajian di kalangan pelajar perubatan yang diterima melalui program khas dan pelajar perubatan yang dimasukkan melalui kriteria kemasukan biasa.

Didapati bahawa kadar tamat pengajian adalah 94% untuk pelajar yang dimasukkan melalui program khas (berdasarkan data dari data Jurnal Persatuan Perubatan Amerika).

Sekiranya 10 pelajar program khas dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa sekurang -kurangnya 9 daripadanya lulus.

b) Adakah ia tidak biasa secara rawak memilih 10 pelajar dari program khas dan memperolehnya hanya 7 daripadanya telah lulus?

Penyelesaian

Kebarangkalian pelajar yang dimasukkan melalui graduan program khas ialah 94/100 = 0.94. Mereka dipilih N = 10 pelajar program khas dan anda ingin mengetahui kebarangkalian bahawa sekurang -kurangnya 9 daripadanya lulus.

Nilai berikut digantikan dalam taburan binomial:

x = 9

N = 10

P = 0.94

Q = 0.06Inilah kebarangkalian bahawa betul -betul 9 akan lulus, tetapi mereka juga boleh lulus tepat 10:

 P (sekurang -kurangnya 9 siswazah) = P (9) + P (10) = 0.3439+0.5386 = 0.8825

b)
Ya itu tidak biasa, kerana kebarangkalian yang diperoleh agak kecil.

Rujukan

1. Berenson, m. 1985. Statistik untuk Pentadbiran dan Ekonomi. Inter -American s.Ke.
2. Mathworks. Pengagihan binomial. Pulih dari: Adakah.Mathworks.com
3. Mendenhall, w. 1981. Statistik untuk Pentadbiran dan Ekonomi. Ke -3. edisi. Kumpulan Editorial Iberoamerica.
4. Moore, d. 2005. Statistik asas digunakan. 2. Edisi.
5. Triola, m. 2012. Statistik asas. 11hb. Ed. Pendidikan Pearson.
6. Wikipedia. Pengagihan binomial. Pulih dari: Adakah.Wikipedia.org