Nombor integer

Apakah nombor keseluruhan?

Nombor keseluruhan merupakan satu set nombor berguna untuk mengira objek lengkap yang ada dan yang tidak. Juga untuk mengira mereka di satu pihak dan yang lain dari tempat rujukan tertentu.

Juga dengan keseluruhan nombor, penolakan atau perbezaan boleh dilakukan antara nombor dan yang lain lebih besar daripada dia, diselesaikan sebagai hutang, sebagai contoh. Perbezaan antara keuntungan dan hutang dibuat dengan tanda + dan - masing -masing.

Rajah 1. Garis berangka untuk nombor keseluruhan. Sumber: Wikimedia Commons. Leomg/cc by-sa (https: // creativeCommons.Org/lesen/by-sa/3.0).

Itulah sebabnya keseluruhan nombor keseluruhan termasuk yang berikut:

-Integer positif, yang ditulis didahului oleh tanda +, atau hanya tanpa tanda, kerana ia juga difahami bahawa mereka positif. Contohnya: +1, +2, +3 ... dan sebagainya.

-0, di mana tanda itu tidak relevan, kerana ia tidak menambahkannya untuk menolaknya dari jumlah. Tetapi 0 sangat penting, kerana ia adalah rujukan bagi bilangan bulat: di satu sisi yang positif terletak dan negatif, seperti yang kita lihat di angka atas.

-Integer negatif, yang mesti selalu ditulis dari tanda -, kerana dengan mereka jumlah seperti hutang dan semua yang berada di sisi lain rujukan dibezakan. Contoh bilangan bulat negatif adalah: -1, -2, -3 ... dan sejak itu.

Bagaimana keseluruhan nombor?

Pada mulanya kita mewakili keseluruhan nombor dengan penetapan set: z = ... -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4 ..., iaitu, disenaraikan dan teratur. Tetapi perwakilan yang sangat berguna adalah yang menggunakan garis berangka. Untuk ini, adalah perlu untuk melukis garis, yang biasanya mendatar, di mana 0 ditandakan dan dibahagikan kepada bahagian yang sama:

Rajah 2. Perwakilan nombor keseluruhan pada garis berangka. Dari 0 ke kanan adalah bilangan bulat positif dan dari 0 ke kiri negatif. Sumber: f. Zapata.

Negatif pergi ke kiri 0 dan yang positif pergi ke kanan. Anak panah di garisan nombor melambangkan bahawa nombor terus menjadi tak terhingga. Memandangkan nombor keseluruhan, selalu mungkin untuk mencari yang lebih besar atau selain daripada yang lebih rendah.

Nilai mutlak integer

Nilai mutlak integer adalah jarak antara nombor dan 0. Dan jarak sentiasa positif. Oleh itu nilai mutlak integer negatif adalah nombor tanpa tanda yang kurang.

Contohnya, nilai mutlak -5 ialah 5. Nilai mutlak dilambangkan dengan bar, seperti berikut:

| -5 | = 5

Untuk menggambarkannya, sudah cukup untuk mempunyai ruang pada garis berangka, dari -5 hingga 0. Walaupun nilai mutlak integer positif adalah nombor yang sama, contohnya | +3 | = 3, kerana jaraknya hingga 0 adalah 3 ruang:

Boleh melayani anda: Undang -undang sandwic: penjelasan dan latihanRajah 3. Nilai mutlak integer selalu menjadi jumlah positif. Sumber: f. Zapata.

Sifat

-Set nombor keseluruhan dilambangkan sebagai z dan termasuk set nombor semulajadi n, unsur -unsur mereka tidak terhingga.

-Nombor integer dan yang berikut (atau yang mendahuluinya) selalu berbeza dalam unit. Sebagai contoh, selepas 5 datang pada 6, iaitu 1 perbezaan di antara mereka.

-Setiap nombor keseluruhan mempunyai pendahulu dan pengganti.

-Mana -mana integer positif lebih besar daripada 0.

-Integer negatif selalu kurang dari 0 dan nombor positif. Mari kita ambil contoh nombor -100, ini kurang dari 2, daripada 10 dan 50. Tetapi ia juga kurang daripada -10, -20 dan -99 dan lebih besar daripada -200.

-0 tidak mempunyai pertimbangan tanda, kerana tidak negatif atau positif.

-Dengan keseluruhan nombor, operasi yang sama yang dijalankan dengan nombor semulajadi boleh dijalankan, iaitu: jumlah, penolakan, pendaraban, potentiasi dan banyak lagi.

-Seluruh bertentangan dengan integer tertentu x, adalah -x dan jumlah integer dengan sebaliknya adalah 0:

x + (-x) = 0.

Operasi dengan keseluruhan nombor

- Tambahan

-Jika nombor yang akan ditambah mempunyai tanda yang sama, nilai mutlak mereka ditambah dan hasilnya diletakkan tanda bahawa tambahan itu ada. Berikut adalah beberapa contoh:

a) (+8) +( +9) = 8 +9 = +17

b) (-12) + ( - 10) = - (12 + 10) = -22

-Sekiranya angka -angka itu mempunyai tanda yang berbeza, nilai mutlak (utama kecil) dikurangkan dan hasilnya diletakkan tanda nombor dengan nilai mutlak tertinggi, seperti berikut:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = -(9-4) = -5

Sifat jumlah nombor keseluruhan

-Jumlahnya adalah komutatif, oleh itu urutan tambahan tidak mengubah jumlahnya. Biarkan A dan B menjadi dua nombor keseluruhan, ia dipenuhi bahawa a+b = b+a

-0 adalah elemen neutral dari jumlah keseluruhan nombor: a + 0 = a

-Sebarang nombor keseluruhan ditambah dengan sebaliknya adalah 0. Sebaliknya + a -a, dan sebaliknya, sebaliknya -a es + a. Oleh itu: (+ a)+ (-a) = 0.

Rajah 4. Tanda -tanda Peraturan untuk jumlah nombor keseluruhan. Sumber: Wikimedia Commons.

- Penolakan

Untuk menolak nombor keseluruhan, anda harus dipandu oleh peraturan ini: Penolakan bersamaan dengan jumlah nombor dengan sebaliknya. Biarkan dua nombor A dan B, kemudian:

A - b = a + (-b)

Sebagai contoh, katakan anda perlu melakukan operasi berikut: (-3) - (+7), kemudian:

(-3) -(+7) = (-3)+( -7) = -(3+7) = -10

- Pendaraban

Pendaraban nombor keseluruhan mengikuti peraturan tertentu untuk tanda -tanda:

-Produk dua nombor dengan Tanda yang sama Ia sentiasa positif.

-Apabila dua nombor membiak tanda yang berbeza, Hasilnya selalu negatif.

Boleh melayani anda: Apakah bahagian pecahan? (Contoh)

-Nilai produk adalah sama dengan mengalikan nilai mutlak masing -masing.

Segera beberapa contoh yang menjelaskan perkara di atas:

(-5) x (+8) = -5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Sifat pendaraban nombor keseluruhan

-Pendaraban adalah komutatif. Menjadi dua nombor keseluruhan a dan b, memang benar bahawa: a.b = b.A, yang juga boleh dinyatakan sebagai:

Perintah faktor tidak mengubah produk.

-Elemen pendaraban neutral ialah 1. Ke integer, oleh itu ke.1 = 1

-Mana -mana integer didarab dengan 0 adalah sama dengan 0: a.0 = 0

Harta pengedaran

Pendaraban memenuhi harta pengedaran berkenaan dengan jumlah. Ya A, B dan C adalah keseluruhan nombor kemudian:

ke.(b +c) = a.B + a.c

Kemudian contoh cara menerapkan harta ini:

(-3). [(-4) + 11] = (-3).(-4)+(-3).11 = 12 -33 = 12 + (-33) = -21

Potentiation

-Sekiranya asasnya positif, hasil operasi sentiasa positif.

-Apabila asasnya negatif, jika eksponennya, hasilnya positif. Dan jika eksponen itu ganjil, hasilnya negatif.

- Bahagian

Di bahagian ini peraturan tanda yang sama berlaku seperti dalam pendaraban:

-Dengan membahagikan dua bilangan bulat tanda yang sama, hasilnya sentiasa positif.

-Apabila dua bilangan bulat yang berbeza dibahagikan, quotient adalah negatif.

Sebagai contoh:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Penting: Bahagian ini tidak komutatif, dengan kata lain kepada ÷ b ≠ b ÷ a dan seperti biasa, pembahagian antara 0 tidak dibenarkan.

- Potentiation

Jadilah nombor keseluruhan dan kami ingin membangkitkannya kepada eksponen n, maka kita mesti membiak dengan sendirinya, seperti yang ditunjukkan di bawah:

keⁿ = a.ke.ke.ke.... ke

Mari kita pertimbangkan yang berikut, dengan mengambil kira bahawa n adalah nombor semula jadi:

-Sekiranya A negatif dan n adalah, hasilnya positif.

-Apabila a negatif dan n adalah ganjil, ia menghasilkan nombor negatif.

-Sekiranya A positif dan N adalah walaupun atau ganjil, ia selalu menjadi integer positif.

-Mana -mana integer ditinggikan hingga 0 adalah sama dengan 1: a⁰ = 1

-Setiap nombor tinggi hingga 1 adalah sama dengan nombor: a¹ = a

Mari kita letakkan sebagai contoh yang ingin anda cari (-3)⁴ , Untuk menjadikannya membiak (-3) empat kali dengan sendirinya, seperti ini: (-3).(-3).(-3).(-3) = 81.

Satu lagi contoh, juga dengan integer negatif ialah:

(-2)³ = (-2).(-2).(-2) = -8

Produk kuasa asas yang sama

Katakan dua kuasa asas yang sama, jika kita melipatgandakan mereka, kita mendapat kuasa lain dengan pangkalan yang sama, yang eksponennya adalah jumlah eksponen yang diberikan:

keⁿ · Ke^m = a^{n + m}

Nisbah serbuk asas yang sama

Dengan membahagikan kuasa asas yang sama, hasilnya adalah kuasa dengan pangkalan yang sama, yang eksponennya adalah pengurangan eksponen yang diberikan:

Boleh melayani anda: sudut dalam lilitan: jenis, sifat, latihan yang diselesaikan

keⁿ ÷ a^m = a^{n - m}

Kemudian dua contoh yang menjelaskan perkara ini:

(-2)³.(-2)⁵ = (-2) ³⁺⁵= (-2)⁸

5⁶ ÷ 5⁴ = 5^6-4 = 5²

Contoh

Mari kita lihat contoh mudah untuk menerapkan peraturan ini, ingat bahawa dalam hal bilangan bulat positif, tanda itu dapat dibebaskan dengan:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + ( - 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = -16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = [(+4) + (-8)] + (-25) = [4-8] -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) -( + 15) = (-8) + (-15) = -8 -15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = -5 x 12 = -60

i) (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Semut bergerak pada baris nombor Rajah 1. Bermula dari titik x = +3 melakukan anjakan berikut:

-7 unit bergerak ke kanan

-Sekarang 5 unit dikembalikan ke kiri

-Berjalan 3 unit ke kiri.

-Ia mengembalikan dan menggerakkan 4 unit ke kanan.

Pada titik apa semut di hujung laluan?

Penyelesaian

Mari panggil anjakan. Apabila mereka berada di sebelah kanan mereka diberi tanda positif dan ketika mereka berada di tanda negatif kiri. Dengan cara ini, dan bermula dari x = +3 anda mempunyai:

-Pertama D: x₁ = +3 +7 = +10

-Kedua D: x₂ = +10 +(-5) = +5

-Ketiga D: x₃ = +5 +(-3) = +2

-Keempat D: x₄ = +2 +4 = +6

Apabila semut berakhir berjalannya berada di kedudukan x = +6. Iaitu, 6 unit di sebelah kanan 0 pada baris berangka.

- Latihan 2

Selesaikan operasi berikut:

36 + [- (-4 + (-5)- 7)].-[-6+5- (2+7-9)]+2 (-8+6)]

Penyelesaian

Operasi ini mengandungi tanda -tanda kumpulan, yang merupakan kurungan, kurungan dan kunci persegi. Semasa menyelesaikan, anda perlu menjaga tanda kurung terlebih dahulu, selepas kurungan persegi dan akhirnya kunci. Dengan kata lain, anda mesti bekerja dari dalam ke luar.

Dalam latihan ini, titik mewakili pendaraban, tetapi sekiranya antara satu nombor dan kurungan atau simbol lain tidak ada gunanya, dengan cara yang sama difahami bahawa ia adalah produk.

Seterusnya, resolusi langkah demi langkah, warna berfungsi sebagai panduan untuk mengikuti hasil pengurangan kurungan, yang merupakan simbol kumpulan yang paling dalaman:

36 + [- (-4 + (-5)- 7)].-[-6+5- (2+7-9)]+2 (-8+6)] =

= 36 + [- (-16)].-[-6+ 5- (0)]+ 2 (-2)] =

= 36 + [16].-[-1] -4] =

= 52.1- 4] = 52.-3 = -156

- Latihan 3

Selesaikan persamaan ijazah pertama:

12 + x = 30 + 3x

Penyelesaian

Istilah dikumpulkan dengan yang tidak diketahui di sebelah kiri kesamaan, dan istilah berangka di sebelah kanan:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

X = 18 / (-2)

x = - 9